Е.В. Радкевич - Лекции по урматфизу (1120444), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Äëÿ íåãî îòâå÷àåò óæå ñîîòíîøåíèå ui+1,j = ui,j+2è ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â ôîðìå∞Xu(t, x) =i,j=0u0,2i+jti x j.i! j!Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòà ôîðìóëà íå äàåò ðåøåíèÿ äàæå äëÿ ïðîñòåéøèõ àíàëèòè÷åñêèõ íà÷àëüíûõ1äàííûõ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü u(0, x) = 1+x2 . Óêàçàííàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ïðè|x| < 1 è ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä1x2x424=1−x+x−···=1−2!+4!− ...1 + x22!4!Êàê âèäíî, äëÿ ôóíêöèè u(t, x), óäîâëåòâîðÿþùåé òàêîìó íà÷àëüíîìó óñëîâèþ, êîýôôèöèåíòû u0käëÿ íå÷åòíûõ k ðàâíû íóëþ, à äëÿ ÷åòíûõ k = 2p (−1)p (2p)!. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ðÿäu(t, x) =∞X(−1)j (2i + 2j)!i,j=0ti x2ji! (2j)!ðàñõîäèòñÿ â ëþáîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (0, 0) (íàïðèìåð, âèäíî, ÷òî ïðè x = 0 îí ïðåâðàùàåòñÿ â ðÿäPi(2i)! ti! ñ íóëåâûì ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè).
Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå ìåòîä ñòåïåííûõ ðÿäîâîêàçàëñÿ íåóäà÷íûì ïîëó÷åííîå ôîðìàëüíî ðåøåíèå íà ñàìîì äåëå îêàçàëîñü ïðîñòî íè÷åãî íåîçíà÷àþùèì íàáîðîì áóêâ (òàê êàê íàéòè ïî ïîëó÷åííîé ôîðìóëå, ÷åìó ðàâíî, íàïðèìåð, u(1, 0),íåâîçìîæíî).  ÷åì çäåñü ïðîáëåìà â ñàìîì óðàâíåíèè èëè â ìåòîäå ðÿäîâ? ýòîì äàííîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå äåëî îêàçûâàåòñÿ â ìåòîäå. Íåñêîëüêî ïîçæå ìû ñ Âàìèáóäåì èçó÷àòü ýòî óðàâíåíèå, è Âû óâèäèòå, ÷òî îíî èìååò ðåøåíèå äëÿ ëþáîãî äèôôåðåíöèðóåìîãîíà÷àëüíîãî óñëîâèÿ.
Íî ýòî ðåøåíèå íå ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé, è èìåííî ïîýòîìó íàìíå óäàëîñü åãî ïîñòðîèòü ìåòîäîì ðÿäîâ.Ïî ñóùåñòâó ïðèìåð 4 èëëþñòðèðóåò òîò ôàêò, ÷òî ïðèìåíåíèå ìåòîäà ðÿäîâ îêàçûâàåòñÿýôôåêòèâíûì íå äëÿ âñåõ óðàâíåíèé, à òîëüêî äëÿ òàêèõ, ó êîòîðûõ âûäåëåííàÿ ñëåâà ïðîèçâîäíàÿïî t èìååò ïîðÿäîê íå ìåíüøèé, ÷åì ó îñòàëüíûõ ôèãóðèðóþùèõ â óðàâíåíèè ïðîèçâîäíûõ.
ÊàêÂû âèäåëè, ýòî óñëîâèå ÿâíûì îáðàçîì ôèãóðèðóåò â òåîðåìå Êîâàëåâñêîé, áåç íåãî òåîðåìà ïðîñòîáóäåò íåâåðíà (õîòÿ íåàíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå ìîãóò è áûòü).Ïðèìåð 5. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå, ñ êîòîðûì ìû óæå ðàáîòàëè, ut = ux è äîïóñòèì, ÷òîèçâåñòíî åãî ðåøåíèå íå ïðè t = 0, à ïðè t = λx (÷òî ñîîòâåòñòâóåò,ðàâíîìåðíîP∞ íàïðèìåð,käâèæóùåìóñÿ äàò÷èêó).
Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî u(0, x) = φ(x) =φx/k!.Àíàëîãè÷íûåkk=0ïðîâåäåííûì âûøå ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ðåøåíèå â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèäu(t, x) =∞X(x + t)kφk,(λ + 1)kk!i,j=0÷òî äàåò õîðîøåå, àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå âñåãäà, êîãäà λ + 1 6= 0.Ñëó÷àé λ = −1, ò.å. êîãäà ìû çíàåì ðåøåíèå íà ïðÿìîé x + t = 0, îñîáåííûé. Âîò çäåñüìû ñòàëêèâàåìñÿ óæå íå ñî ñâîéñòâîì ìåòîäà, à ñî ñâîéñòâîì ñàìîãî óðàâíåíèÿ: äàæå åñëè ìûðàññìîòðèì îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ (êîòîðîå Âû óæå íàõîäèëè íà ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèÿõ)u(t, x) = φ(t+x), ïîäñòàíîâêà â íåãî t+x = 0 äàåò êîíñòàíòó: u(t, x)|x+t=0 = φ(0), òàê ÷òî íà ïðÿìîét + x = 0 ðåøåíèå íå ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé.Ëèíèè x + t = const íàçûâàþòñÿ õàðàêòåðèñòèêàìè óðàâíåíèÿ ut = ux .
Ýôôåêò ïîÿâëåíèÿñïåöèôè÷åñêèõ ëèíèé (â ñëó÷àå áîëüøåãî êîëè÷åñòâà ïåðåìåííûõ ïîâåðõíîñòåé), íà êîòîðûõ"ðóøèòñÿ"íà÷àëüíàÿ çàäà÷à î÷åíü õàðàêòåðåí äëÿ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. Èìåííîïîýòîìó â óñëîâèÿõ òåîðåìû Êîøè-Êîâàëåâñêîé óñëîâèå íåõàðàêòåðèñòè÷íîñòè ïîâåðõíîñòè, íàêîòîðîé çàäàþòñÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, îêàçûâàåòñÿ îäíèì èç öåíòðàëüíûõ.Ïðèìåð 6. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå utx = 0. Ìåòîä ðÿäîâ äàåò íàì óñëîâèÿ uij = 0, åñëè i ≥ 1èëè j ≥ 1. Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå èìååò âèäu(t, x) =∞X∞ui0i=0ti Xxj+u0j ,i! j=1j!P∞è ïîäñòàíîâêà â íà÷àëüíûå óñëîâèÿ u(0, x) = φ(x) = k=0 φk xk /k! ïîçâîëÿåò íàéòè êîýôôèöèåíòûu0j .
Îäíàêî îäíîãî óñëîâèÿ ìàëî: ïðè òàêîé ïîñòàíîâêå çàäà÷è îñòàþòñÿ íåîïðåäåëåííûìè êîýôôèöèåíòûui0 . Ìîæíî çàäàòü è âòîðîå óñëîâèå íà ïðîèçâîäíóþ ut (0, x), îäíàêî íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî îíî,âî-ïåðâûõ, íèêàê íå ïîìîãàåò íàéòè ýòè êîýôôèöèåíòû, à âî-âòîðûõ, ýòà ïðîèçâîäíàÿ îêàçûâàåòñÿêîíñòàíòîé, íå çàâèñÿùåé îò x, òàê ÷òî çàäàâàòü åå ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì ìû óæå íå ìîæåì.Âûõîäèò, ÷òî îäíîãî óñëîâèÿ ìàëî, à äâóõ ìíîãî è âñå ðàâíî íå õâàòàåò! Çäåñü ìû òàêæå èìååìäåëî ñ õàðàêòåðèñòèêàìè óðàâíåíèÿ: äëÿ óðàâíåíèÿ utx = 0 õàðàêòåðèñòèêàìè îêàçûâàþòñÿ êàêðàç ïðÿìûå t = const, à òàêæå ïðÿìûå x = const.Ïðèìåð 7.
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå ut + uux = 0. Ýòî óðàâíåíèå óæå íåëèíåéíîå, íî ìåòîä ðÿäîâïðèìåíèì è ê íåìó. Ïîäñòàíîâêà (1) â ýòî óðàâíåíèå äàåò∞∞∞Xti xj Xtk xl ti x j X+ui,j,uk,l+1ui+1,ji! j!i! j! i,j=0k! l!i,j=0i,j=0ïîñëå ïåðåãðóïïèðîâêè âûðàæåíèå â ñêîáêàõ ïðèâîäèòñÿ ê âèäó∞∞nmX t x Xn! m! ui,j ui,j+1,n! m! i+k=n,i!k! j!l!n,m=0j+l=mè ìû ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèåun+1,m = −n XmXi=0 j=0ui,j un−i,m−j+1n!m!.i!(n − i)! j!(m − j)!(3)Õîòÿ îíî ãîðàçäî ñëîæíåå, ÷åì âñå, ÷òî ìû ïîëó÷àëè äî ñèõ ïîð, òåì íå ìåíåå èñïîëüçîâàíèåãðàôè÷åñêîé ñõåìû (ñì. ðèñ. 2) ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòà ôîðìóëà ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü ýëåìåíò n +Ðèñ. 2: Ãðàôè÷åñêàÿ ñõåìà äëÿ óðàâíåíèÿ ut + uux = 01-îé ñòðîêè ïî ýëåìåíòàì ïðåäûäóùèõ ñòðîê, òàê ÷òî åñëè èçâåñòíû ýëåìåíòû u0j , ÿâëÿþùèåñÿêîýôôèöèåíòàìè ðàçëîæåíèÿ u(0, x), òî ïîñëåäîâàòåëüíî âû÷èñëÿþòñÿ è âñå îñòàëüíûå.
Èìåííîýòîò ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîëó÷èòü çäåñü ÿâíîå ðåøåíèå ìåòîäîì ðÿäîâ çàäà÷à, áëèçêàÿ êáåçíàäåæíîé, íî çàòî ìîæíî ïîëó÷èòü îöåíêè êîýôôèöèåíòîâ uij .Äåéñòâèòåëüíî, èç òîãî, ÷òî ðÿä äëÿ u(0, x) ñõîäèòñÿ â èíòåðâàëå |x| < R, ìîæíî ïîëó÷èòü,ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé äëÿ ðàäèóñà ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà, ÷òî |u0j | ≤ j!M j , ãäå M íåêîòîðàÿêîíñòàíòà.
Íî òîãäà, ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (3), ìîæíî ïîëó÷èòü îöåíêè äëÿ u1j , çàòåì äëÿ u2j èò.ä., à çàòåì, ïîëüçóÿñü ýòèìè îöåíêàìè, äîêàçàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà.Ðåçþìèðóÿ ýòó ñåðèþ ïðèìåðîâ, õîòåëîñü áû åùå ðàç îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî â óñëîâèÿõnòåîðåìû Êîâàëåâñêîé ïðèñóòñòâóþò äâà âàæíûõ óñëîâèÿ. Ïåðâîå ÷òî â óðàâíåíèè ∂t j u = f (. . . )ñïðàâà äîëæíû ñòîÿòü ìëàäøèå ïðîèçâîäíûå (ýòî óñëîâèå ïîÿâëÿåòñÿ èç-çà ìåòîäà), à âòîðîå ÷òîïîâåðõíîñòü íà êîòîðîé çàäàþòñÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, äîëæíà áûòü íåõàðàêòåðèñòè÷åñêîé (ýòî óæåñâîéñòâî ñàìîãî óðàâíåíèÿ).Çàäà÷è Åùå îäèí ïðîñòåéøèé ìåòîä îòûñêàíèÿ ÷àñòíûõ è îáùèõ ðåøåíèé, íå òðåáóþùèéíèêàêîé îñîáîé íàóêè ýòî ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ. Ïóñòü ìû ðàññìàòðèâàåì, íàïðèìåð,óðàâíåíèå utt = uxx .Ñàìûå ïðîñòûå ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ òå, êîòîðûå çàâèñÿò òîëüêî îò îäíîé ïåðåìåííîé(t èëè x).
Òàêèõ ðåøåíèé ìàëî è îíè ñâîäÿòñÿ ê ëèíåéíûì ôóíêöèÿì. Ìîæíî ðàñøèðèòü êëàññðåøåíèé, êîòîðûå ìîæíî íàéòè, åñëè èñêàòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé, êàæäàÿ èç êîòîðûõçàâèñèò òîëüêî îò îäíîé ïåðåìåííîé: u(t, x) = φ(t)y(x). Ïîäñòàíîâêà òàêîãî ïðîèçâåäåíèÿ â óðàâíåíèåïðèâîäèò ê ðàâåíñòâóφ00 (t)y(x) = φ(t)y 00 (x),ñîáèðàÿ âñå, ÷òî ñîäåðæèò t ñëåâà, à òî, ÷òî ñîäåðæèò x ñïðàâà (ò.å. ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå), ìûïîëó÷èì, ÷òîφ00 (t)y 00 (x)=.φ(t)y(x)Ñëåâà ñòîèò ôóíêöèÿ, çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò t, è íå çàâèñÿùàÿ îò x.
Ñïðàâà ñòîèò ôóíêöèÿ, çàâèñÿùàÿòîëüêî îò x è íå çàâèñÿùàÿ îò t. È ýòî îäíà è òà æå (â ñèëó ðàâåíñòâà) ôóíêöèÿ. ×òî æå ýòî çàôóíêöèÿ. Îòâåò òðèâèàëåí, õîòÿ è íå î÷åâèäåí: ýòà ôóíêöèÿ êîíñòàíòà! Îáîçíà÷àÿ ýòó êîíñòàíòó÷åðåç, íàïðèìåð λ, ìû ïîëó÷àåì ïàðó îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, èç êîòîðûõìîæíî ïîëó÷èòü óæå äîâîëüíî áîëüøîé çàïàñ ðåøåíèé. Íàïðèìåð, ðåøåíèÿ âèäà cos ωx cos ωt.Îáðàòèì âíèìàíèå íà ñëåäóþùèé ôàêò: òî, ÷òî utt = +uxx ñóùåñòâåííî âëèÿåò íà âèä ôóíêöèé.Äåéñòâèòåëüíî, â ñëó÷àå óðàâíåíèÿ utt = −uxx ðåøåíèÿ èìåþò óæå âèä eωt cos ωx. Ñ ýòèìè ðåøåíèÿìèñâÿçàí ýôôåêò, íà êîòîðûé ìû õîòåëè áû îáðàòèòü Âàøå âíèìàíèå. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ et .Ïðè t = 0 îíà ðàâíà åäèíèöå.
Ïðè t = 1 ÷óòü áîëüøå äâóõ. Ïðè t = 3 îíà óæå áîëüøåäâàäöàòè, à ïðè t = 7 ïåðåâàëèâàåò çà òûñÿ÷ó. ×òî ýòî çíà÷èò? Åñëè ìû îïèñûâàåì êàêîé-òîçàêîí äâèæåíèÿ, òî äâèæåíèå, êîòîðîå ïðè t = 0 ïðîèñõîäèëî ñî ñêîðîñòÿìè ïîðÿäêà ìèëëèìåòðàâ ñåêóíäó, òî åñòü ñî ñêîðîñòüþ óëèòêè, âñåãî ÷åðåç ñåìü ñåêóíä óæå áóäåò ïðîèñõîäèòü ñî âïîëíåîùóòèìîé ñêîðîñòüþ ïîðÿäêà ìåòðà â ñåêóíäó (ýòî óæå ñêîðîñòü áåãà).
À äâèæåíèÿ, êîòîðûå ïðèt = 0 ïðîèñõîäèëè ñî âïîëíå ÷åëîâå÷åñêîé ñêîðîñòüþ ïîðÿäêà ìåòðîâ â ñåêóíäó, ÷åðåç ñåìü ñåêóíäîáðåòóò óæå êîñìè÷åñêèå ñêîðîñòè ïîðÿäêà êèëîìåòðîâ â ñåêóíäó.Ñîâåðøåííî ÿñíî, ÷òî äëÿ ôèçèêè òàêèå ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàòü ñîâåðøåííî áåññìûñëåííî, èáîâñå ôèçè÷åñêèå ìîäåëè îãðàíè÷åíû âïîëíå îïðåäåëåííûìè ðàìêàìè ðàññìàòðèâàåìûõ ìàñøòàáîâðàññòîÿíèé, ñêîðîñòåé, ìàññ è ïð., è ïî÷òè ìãíîâåííûé âûõîä çà ïðåäåëû ýòèõ ìàñøòàáîâ äåëàåòìîäåëü ïðîñòî áåñïîëåçíîé.
Èìåííî ïîýòîìó ìàòåìàòèêè, âñëåä çà ôèçèêàìè, ïðè èçó÷åíèè äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé â ïåðâóþ î÷åðåäü ñìîòðÿò çà òåì, ÷òîáû ïîëó÷àåìûå ðåøåíèÿ â òå÷åíèå íåêîòîðîãîäîñòàòî÷íî îùóòèìîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè îñòàâàëèñü â ðàìêàõ òåõ ìàñøòàáîâ, â êîòîðûõ îíèíà÷àëèñü. Ìàòåìàòè÷åñêè ýòî ôîðìóëèðóåòñÿ êàê òðåáîâàíèå êîððåêòíîñòè: ìàëîå èçìåíåíèå íà÷àëüíûõäàííûõ íå äîëæíî ñèëüíî èçìåíÿòü ðåøåíèå íà êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè.  ñëó÷àå íàøåãîóðàâíåíèÿ ýòî íå òàê: ôóíêöèè u(t, x) = ω1 eωt cos ωx ïðè t = 0 ðàâíû u(0, x) = ω1 cos ωx, è ïðèóâåëè÷åíèè ω ýòî íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ñòàíîâèòñÿ êàê óãîäíî ìàëûì. Íî åñëè âçÿòü è çàôèêñèðîâàòüëþáîå t > 0, òî ïðè óâåëè÷åíèè ω ôóíêöèÿ ñòàíîâèòñÿ î÷åíü áîëüøîé, òàê êàê ýêñïîíåíòà ñòàíîâèòñÿî÷åíü áîëüøîé.Îòìåòèì, ÷òî àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ èìååò ìåñòî è ñ óðàâíåíèÿìè ut = ±uxx .  ñëó÷àå çíàêà2"ïëþñ"ðåøåíèÿ èìåþò âèä u(t, x) = e−ω t cos ωx è âåäóò ñåáÿ âïîëíå ïðèëè÷íî, à â ñëó÷àå çíàêàìèíóñ ýêñïîíåíòà èìååò óæå ïîëîæèòåëüíûé ïîêàçàòåëü, è êîððåêòíîñòü çàäà÷è íàðóøàåòñÿ.
Ýêñïîíåíòàñ ïîëîæèòåëüíûì ïîêàçàòåëåì î÷åíü ïëîõàÿ ôóíêöèÿ!Ëåêöèÿ III. Õàðàêòåðèñòèêè.Çàìåíû ïåðåìåííûõ. Ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèé ïåðâîãîïîðÿäêà Çàìåíà íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ èíñòðóìåíòîâ òåîðèèóðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Èìåííî ñ ïîìîùüþ çàìåí îáîñíîâûâàþòñÿ âàæíåéøèå ôîðìóëûè äåìîíñòðèðóþòñÿ âàæíåéøèå ñâîéñòâà òàêèõ óðàâíåíèé.Îáðàòèìñÿ ê óæå èññëåäîâàííîìó íàìè óðàâíåíèþ ut = ux . Åñëè ñäåëàòü â ýòîì óðàâíåíèèçàìåíó íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x̃ = x+t, t̃ = x−t, òî óðàâíåíèå ïðèîáðåòåò âèä ut̃ = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
