Е.В. Радкевич - Лекции по урматфизу (1120444), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ñèñòåìà çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ∂t uj +nX∂xk f jk (u) = 0,(12)j = 1, . . . , Nj=1îïèñûâàþùèå ýâîëþöèþ êîíñåðâàòèâíûõ âåëè÷èíû uj . Åñëè uj ñòàáèëèçèðóþòñÿ íà áåñêîíå÷íîñòèuj → 0 êîãäà j = 1, . . . , N,èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèÿ (12) ïî x, ïîëó÷èìZZduj dx = 0 ⇒uj dx = const .dt R1R111. Ñèñòåìà çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ñ ðåëàêñàöèåé∂t uj +nX∂xk f jk (u) + bj (u) = 0,j = 1, . .
. , Nj=1îïèñûâàþùèå íåðàâíîâåñíûå ïðîöåññû, ñòðåìÿùèåñÿ ïðè t → ∞ ê ñîñòîÿíèþ ðàâíîâåñèÿ. äàëüíåéøåì äëÿ íàñ áóäåò ïîëåçíî ñëåäóþùåå ïîíÿòèå: äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû åå ïîëíûìñèìâîëîì íàçûâàåòñÿ ìàòðèöàXασ(L)(x, ξ) = aα,j,k (x)ξ|α|≤mkãëàâíûì ñèìâîëîìσ0 (L)(x, ξ) = Xαaα,j,k (x)ξ|α|=mkÏðèëîæåíèå ê 1 Ëåêöèè.Çàäà÷è (íàø çàäà÷íèê!!!!!!!!!!)äâà óïðàæíåíèÿ.1. Ïðèâåäåíèå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó. Îáùåå ðåøåíèå.2.
Íàïîìíèòü (äîëæíî áûòü â êóðñå ÎÄÓ): ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåí. êîýô., êâàçèëèíåéíûåóðàâíåíèÿêàê ðàáîòàòü ñ ìåòîäîì õàðàêòåðèñòèê (êëàññè÷åñêèå ðåøåíèÿ); ÷òî áóäåò â ñëó÷àåõàðàêòåðèñòè÷åñêèõ òî÷åê íà êðèâîé çàäàíèÿ.Ëåêöèÿ II. Çàäà÷à Êîøè. Âûøå ìû óæå ãîâîðèëè, ÷òî áàçîâîé çàäà÷åé äëÿìîäåëåé, îïèñûâþùèõ ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû, ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à Êîøè. Ðàññìîòðèì ýâîëþöèîííóþìîäåëüLj (u1 , . .
. , uN ) ≡ Fj (∂xα u1 , |α| ≤ m1 , . . . , ∂xα uN , |α| ≤ mN , x, t) = 0,j = 1, . . . , N, x ∈ Rn ,(13)â êîòîðîé ñðåäè íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ âûäåëåíî âðåìÿ x = (t, y), ôóíêöèè Fj íå çàâèñÿò îò yÿâíî. Êàêèå âûâîäû ìîæíî ñäåëàòü î ñòðóêòóðå è ñâîéñòâàõ ðåøåíèé áåç ïðèâëå÷åíèÿ äîïîëíèòåëüíîéôèçè÷åñêîé èíôîðìàöèè? Ò.å. ïîäîéäåì ê èññëåäîâàíèþ çàäà÷è ñ ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êèçðåíèÿ: åñòü àáñòðàêòíûé îáúåêò, êàêîâà åãî ñòðóêòóðà? Íî, ïîìíèòü áóäåì (ñì. Ð.
Êóðàíò: "Óðàâíåíèÿñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè") íàó÷íîå êðåäî Ãèëüáåðòà: âñåãäà ïðåäïî÷èòàòü ÷èñòî ôîðìàëüíîéîáùíîñòè ãëóáîêîå ïðîíèêíîâåíèå â ñàìóþ ñóòü ìàòåìàòè÷åñêîé çàäà÷è.Ïðîñòåéøèé âàðèàíò çàäà÷è Êîøè ìû ïîëó÷èì äëÿ òàê íàçûâàåìûõ îäíîðîäíûõ ðåøåíèé v(x, t) ≡v(t) ýòîé ñèñòåìû. Òîãäà ñèñòåìà (13) ñòàíîâèòñÿ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåèéαFj (dαt u1 (t), 0 ≤ α ≤ m1 , . . .
, dt uN (t), 0 ≤ α ≤ mN , t) = 0,Uj |t=0 = u0j ,j = 1, . . . , N,dt =d,dt(14)j = 1, . . . , N.Îáñóäèì ïðîáëåìó ñóùåñòâîâàíèÿ âåùåñòâåííî-àíàëèòè÷åñêèõ ðåøåíèé (òåîðåìó Êîøè) uj ∈ A, j =1, . . . , N, êîòîðûå èìåþò ëîêàëüíîå ðàçëîæåíèå â àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû â îêðåñòíîñòè ëþáîéòî÷êè îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ t0 ∈ D:uj (t) =∞Xaj,s (t0 ) (t − t0 )sj=0Äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðèì îäíî íåëèíåéíîå óðàâíåíèå:du= F (u, t),dtu|t=0 = u0 .(15)(äîêàçàòåëüñòâî â îáùåì ñëó÷àå àíàëîãè÷íî). Ïðèâåäåì (103) ê îäíîðîäíûì äàííûì Êîøè, ïîëîæèâu = v + u0 . Òîãäàdv= f (v, t), v|t=0 = 0,(16)dtãäå f (v, t) ∈ Aloc ëîêàëüíî âåùåñòâåííî àíàëèòè÷åñêàÿ ïî ïåðåìåííûì (v, t) ôóíêöèÿ.Òåîðåìà Êîøè.
Ïåðâîå äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷èÊîøè äëÿ îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêàdv= f (t, v), t > t0 ,dtv(t0 ) = 0,(17)áûëî ïîëó÷åíî Êîøè ïðè óñëîâèè ãîëîìîðôíîñòè ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè òî÷êè (t0 , 0).  ýòîìñëó÷àå èì áûëî äàêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå, ïðèòîì òîëüêî îäíîãî, ðåøåíèÿ u(t) , ãîëîìîðôíîãî âîêðåñòíîñòè òî÷êè t0 . Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðîñòà. Ðåøåíèå èùåì â êëàññå A1loc ëîêàëüíî àíàëèòè÷åñêèõôóíêöèé v(t), ïðåäñòàâèìûõ â îêðåñüíîñòè t = t0 â âèäå ñòåïåííîãî ðÿäàv(t) =∞Xaj (t − t0 )j , aj ∈ C, t ∈ R.j=0mÍàïîìíèì íåêîòîðûå îáùèå ñâîéñòâà àíàëèòè÷åñêèõ Amloc âåêòîð-ôóíêöèé f (t, x, u) ∈ Aloc , t ∈1mnR , u, f ∈ R , x ∈ R ,Xf (t, u) =fk,,β,α (t − t0 )k (x − x0 )β (u − u0 )α ,(18)k,|α|,|β|≥0α = (α1 , . .
. , αm ), β = (β1 , . . . , βn ), fk,α ∈ Cm .Îïðåäåëåíèå ìàæîðàíòû. Âåùåñòâåííîçíà÷íóþ àíàëèòè÷åñêóþ â òî÷êå (t0 , x0 , u0 ) ôóíêöèþg(t, x, u) =Xk,|α|,|β|≥0gk,β,α (t − t0 )k (x − x0 )β (u − u0 )αáóäåì íàçûâàòü ìàæîðàíòîé g  f âåêòîð-ôóíêöèè f (t, x, u) â ýòîé òî÷êå, åñëè äëÿ âñåõ k, αj ≥0, βl ≥ 0, j = 1, .
. . , m, l = 1, . . . , n, ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà|fk,β,α | ≤ gk,β,α .Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ëþáîé àíàëèòè÷åñêîé â îêðåñòíîñòè (t0 , x0 , u0 ) ôóíêöèè f (t, x, u) ñóùåñòûóåòìàæîðàíòà â ýòîé òî÷êå.  êà÷åñòâå ìàæîðàíòû, íàïðèìåð, ìîæíî âçÿòüXg=|fk,β,α |(t − t0 )k (x − x0 )β (u − u0 )α .k,|β|,|α|≥0Ìàæîðàíòó ìîæíî ïîñòðîèòü òàêæå ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü ðÿä (18) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ â êóáåK% (t0 , x0 , u0 ) = {|t − t0 | ≤ %, |x − x0 | ≤ %, |u − u0 | ≤ %}.
Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå ïîëîæèòåëüíîå Mf ,÷òî|fk,β,α | ≤ Mf %−(k+|β|+|α|) , ∀ k, |β| ≥ 0, |α| ≥ 0.Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìàæîðàíòîé ýòîé ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè:g=Xk,|β|,|α|≥0½³= Mf1−Mf (t − t0 )k (x − x0 )β (u − u0 )α=%k+|β|+|α|³³t − t0 ´³u1 − u01 ´um − u0m ´³x1 − x01 ´xn − x0n ´1−... 1 −1−... 1 −%%%%%¾−1,à òàêæå½¾−1(u1 − u01 ) + · · · + (um − u0m ) + (x1 − x01 ) + · · · + (xn − x0n ) + N (t − t0 )g = Mf 1 −, ∀ N ≥ 1.%Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òîMf N k (|α| + |β|)!≥ |fk,α |, ∀ k, |α| ≥ 0.%k+|β|+|α| α!β!Ñôîðìóëèðóåì ñâîéñòâà ìàæîðàíò , êàê ðÿä óòâåðæäåíèé ëåììû:Ëåììà 0.1 Åñëè:1.2.g  f=⇒ ∂tk ∂xα ∂uβ g  ∂tk ∂xα ∂uβ f,g  f, g1  f1=⇒ γ1 g + γ2 g2  γ1 f1 + γ2 f2 ,3.Z tZg  fxZ∀ γ1 , γ2 ∈ R, γ1 , γ2 > 0.Z tZuxZx0f (τ, y)dτ dy.t0u0Åñëè g  f, g1  f1x0(19)(20)ug(τ, y)dτ dy Â=⇒t04.∀ k ≥ 0, |α| ≥ 0, |β| ≥ 0, .u0=⇒ g g1  f f1 .(21)(22)5.g(t, x, u)  f (t, x, u), U (t, x)  u(t, x) =⇒=⇒ g(t, x, U (t, x))  f (t, x, u(t, x)).(23)Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (17).
Ðàññìîòðèì ïðàâóþ ÷àñòü f (t, v)â êëàññå ëîêàëüíî àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé f ∈ A2loc , ò.å. ôóíêöèé ïðåäñòàâèìûõ â íåêîòîðîéîêðåñòíîñòè Q0 = Q0 × (t0 − δ, t0 + δ) òî÷êè (t0 , 0), Q0 ∈ R1 − îêðåñòíîñòü v = 0, â âèäå àáñîëþòíîñõîäÿùåãîñÿ ñòåïåííîãî ðÿäà∞Xf (t, v) =fk,α v α (t − t0 )k .(24)k,α≥0Ðåøåíèå èùåì â âèäå ðÿäàv(t) =∞Xaj (t − t0 )j .(25)j=0Ïîäñòàâëÿÿ (9) â (8), íàèäåì êîýôôèöèåíòû aj´¯1³¯∂t f (t, v) + ∂v f (t, v) ¯,....2t=t0 ,v=0a0 = 0, a1 = f (t0 , u0 ), a2 =Âñå ïîñëåäóþùèå êîýôôèöèåíòû íàõîäÿòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ (17) èïîäñòàíîâêîé â íèõ t = t0 è êîýôôèöèåíòîâ, ïîëó÷åííûõ íà ïðåäûäóùèõ øàãàõ. Òàêèì îáðàçîì,êîýôôèöèåíòû aj îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèÿ è íà÷àëüíûõ äàííûõ.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâàñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ñòåïåííîé ðÿä (25) ñõîäèòñÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòèòî÷êè t0 . Çäåñü ïðèìåíèì ìåòîä ìàæîðàíò. Èç ñâîéñòâ Ëåììû (0.1) ñëåäóåò, ÷òî ìàæîðèðóþùåéçàäà÷åé Êîøè áóäåò ñëåäóþùàÿdm=³dt1−Mf´³t−t0%1−m%´ , t > t0 ,m(t0 ) = 0,(26)êîòîðàÿ ðåøàåòñÿ ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ:m(t) =ò.å.³1t − t0 ´m(t)2 − % Mf ln 1 −,2%%(27)r³³t − t0 ´´m(t) = % 1 − 1 + 2%2 Mf ln 1 −%Çàìå÷àíèå Êàê ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå (26) ìàæîðèðóåò óðàâíåíèå (17). Äèôôåðåíöèàëüíîåóðàâíåíèå (17) ýêâèâàëåíòíî èíòåãðàëüíîìó óðàâíåâíèþZv(t) =t(28)f (u(s), s)ds.0 ñèëó Ëåììû (0.1) ïðàâàÿ ÷àñòü (28) ìàæîðèðóåòñÿ âûðàæåíèåìZt0³1−Mf´³s−t01−%m(s)%´ ds,åñëè m(t) ìàæîðàíòà äëÿ v(t).
Îòñþäà ìàæîðèðóþùèì èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèåì äëÿ (28) áóäåòZt³m(t) =0Mf´³01 − s−t1−%m(s)%´ ds,÷òî ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ (26).Èç (19)-(23) ñëåäóåò, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì % > 0 ðÿä â ïðàâîé ÷àñòè (27) ìàæîðèðóåò ðÿä(25), ò.å.|aj | ≤ mj , ∀j ≥ 0,åñëè mj ≥ 0, j ≥ 1, m0 = 0. Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òîmj > 0, j ≥ 1.(29)Ïåðâûì äåëîì çàìåòèì, ÷òî ñòåïåííîé ðÿä ôóíêöèè³t − t 0 ´ X 1 ³ t − t 0 ´j− ln 1 −=%j%j≥1(30)èìååò ïîëîæèòåäüíûå êîýôôèöèåíòû. Òîãäà èç (27) ïîñëåäîâàòåëüíî ìîæíî ïîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü(29) (mj îïðåäåëÿþòñÿ ïî êîýôôèöèåíòàì ñòåïåííîãî ðÿäà (30) è êîýôôèöèåíòàì ms , 1 ≤ s ≤(j − 1), âû÷èñëåííûì íà ïðåäûäóùèõ øàãàõ).
Íàïðèìåðm1 = Mf > 0,m2 =1 2 Mfm +> 0,2% 12%m3 =1Mfm1 m2 + 2 > 0.%3%Îòñþäà ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ðÿäÿ äëÿ v(t) è ñóùåñòâîâàíèå ðåùåíèÿ çàäà÷è Êîøè (17).Òåîðåìà Êîâàëåâñêîé. Òåîðåìà Êîøè áûëà îáîáùåíà Ñ.Â. Êîâàëåâñêîé íà äèôôåðåíöèàëüíâåóðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. Ýòà òåîðåìà îòíîñèòñÿ ê êëàññó óðàâíåíèé, êîòîðûå òåïåðüíàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè òèïà Êîâàëåâñêîé∂tni ui = fi (t, x, u, ∂t u, ∂x u, . . . ),(31)i = 1, . . . , m.Çäåñü ∂t è ∂xk ïðîèçâîäíûå ïî t è ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì x = (x1 , . .
. , xn−1 ), u = (u1 , . . . , um ),ôóíêöèè fi ïðè êàæäîì i = 1, . . . , m, çàâèñÿò îò ïðîèçâîäíûõ ∂tα0 ∂xα uj ôóíêöèé uj , j = 1, . . . , m,nòîëüêî äî ïîðÿäêà nj , íå çàâèñèò îò ∂t j uj è ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííî àíàëèòè÷åñêèìè îò âñåõ ñâîèõàðãóìåíòîâ. Çàäà÷à Êîøè äëÿ (1.1) ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû, êîòîðîå ïðèì t = 0ïðèíèìàåò çàäàííûå íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ∂tk ui (0, x) = ϕi,k (x), k = 0, 1, . . . , ni − 1, i = 1, . .
. , m.(32)Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íà÷àëüíûå äàííûå ϕi,k (x) ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííî àíàëèòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìèïåðåìåííûõ x â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè Q0 òî÷êè x = 0. Î÷åâèäíî, ÷òî òàêæå êàê âûøå, íà÷àëüíûåóñëîâèÿ ïîçâîëÿþò âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ âñåõ àðãóìåíòîâ ôóíêöèé fi â îêðåñòíîñòè òî÷êè x = 0ïðè t = 0. Ôèêñèðóÿ çíà÷åíèÿ ýòèõ ïðîèçâîäíûõ, äîïîëíèòåëüíî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèè fi âåùåñòâåííî àíàëèòè÷åñêèå â îêðåñòíîñòè ýòèõ ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèé.Òåîðåìà 0.1 (Òåîðåìà Êîâàëåâñêîé [1]) Çàäà÷à Êîøè (1.1), (1.2) ïðè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõèìååò îäíî è òîëüêî îäíî ðåøåíèå u(t, x), âåùåñòâåííî àíàëèòè÷åñêîå â îêðåñòíîñòè òî÷êèt = 0, x = 0.Ñîäåðæàíèå ýòîé òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòûì.
Åñëè àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ u(t, x) óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèþ (50) è óñëîâèÿì (32), òî åå ïðîèçâîäíûå ëþáîãî ïîðÿäêà â òî÷êå t = 0, x = 0 îïðåäåëÿþòñÿîäíîçíà÷íî. Ïðè ýòîì, åñëè ïîðÿäîê äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôóíêöèè ui ïî ïåðåìåííîé t íå ïðåâîñõîäèòni − 1, òî ýòè ïðîèçâîäíûå íàõîäÿòñÿ èç óñëîâèé (32). Îñòàëüíûå ïðîèçâîäíûå îïðåäåëÿþòñÿ ñïîìîøüþ äèôôåðåíöòðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (50).Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì íàéòè âñå êîýôôèöèåíòû ðÿäà Òåéëîðà èñêîìîãî ðåøåíèÿ â òî÷êå(0, 0), îòêóäà ñëåäóåò åäèíñòâåííîñòü àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿðåøåíèÿ òðåáóåòñÿ äîêàçàòü ñõîäèìîñòü ïîñòðîåííûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ äëÿ ôóíêöèé ui , êîýôôèöèåíåòûêîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ ïî óêàçàííîé âûøå ñõåìå.
Ýòî òåõíè÷åñêè ñëîæíîå äîêàçàòåëüñòâî, îñíîâàííîåíà ìåòîäå ìàæîðàíò.  óïðîùåííîì âàðèàíòå äîêàçàòåëüñòâî ìû ïðèâåäåì íèæå.Òåîðåìû Êîâàëåâñêîé Åñëè ïðèíÿòü ïðîèçâîäíûå ðåøåíèÿ vj,α ,α = ∂tα∂xα uj , α0 + |α| <nj , çà íîâûå íåèçâåñòíûå ôóíêöèè, òî ìîæíî ñâåñòè çàäà÷ó (50), (32) ê ñèñòåìå êâàçèëèíåéíûõäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà00∂t vi =K XnXaijs (t, x, v1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
