Е.В. Радкевич - Лекции по урматфизу (1120444), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Òàêèì îáðàçîì, ïðèíöèï ìàêñèìóìà â ïîëîñå, à ñ íèì è òåîðåìà Òèõîíîâà, äîêàçàí.******************Äàäèì îïðåäåëåíèå ôóíêöèé êëàññà Òèõîíîâà. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ(215)Lu − ut = 0â ïîëîñå t0 ≤ t ≤ T < ∞ ïðè íà÷àëüíûõ äàííûõ(216)u|t=t0 = f (x)Ðåøåíèå u(x, t) ïðèíàäëåæèò êëàññó Òèõîíîâà TC1 ,C2 , åñëè2|u(x, t)| ≤ C1 eC2 x(217)ðàâíîìåðíî ïî t âî âñåé ïîëîñå.ÒÅÎÐÅÌÀ ÒÈÕÎÍÎÂÀ.Åñëè u ∈ TC1 ,C2 è u|t=t0 = 0, òî u ≡ 0 ïðè t ≥ t0 .Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñäåëàåì äîïîëíèòåëüíîå ïîñòðîåíèå. Ðàññìîòðèì E ∈ Rn+1 - áîðåëåâñêîåìíîæåñòâî è çàäàäèì íà íåì êîíå÷íóþ ìåðó µ(E) < ∞. ÎïðåäåëèìZUs,β,E,µ =Fs,β (x − ξ, t − τ ) dξdτ(218)EÒîãäà ýòà ôóíêöèÿ â D = Rn+1 \E áóäåò ñóá(ñóïåð)ðåøåíèåì, åñëè Fs,β - ñóá(ñóïåð)ðåøåíèå (äîêàçàòåëüñòâîâ êà÷åñòâå çàäà÷è).Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû íàì äîñòàòî÷íî ðàñïîëàãàòü ñëåäóþùèì ïðèíöèïîì ìàêñèìóìà âïîëîñå.

Ïóñòü åñòü ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (16)-(17) â ïîëîñå. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû u ∈ TC1 ,C2 è u ∈C(t0 ≤ t < T ) (ïîñëåäíåå óñëîâèå âûïîëíåíî äëÿ êëàññè÷åñêèõ ðåøåíèé).Òîãäà1) åñëè f ≤ 0, òî u ≤ 0 (çäåñü ìîæíî òðåáîâàòü òîëüêî Lu − ut ≥ 0);2) åñëè f ≥ 0, òî u ≥ 0 (Lu − ut ≤ 0).Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì äëÿ óçêîé ïîëîñû t0 ≤ t ≤ t0 + ε, êîòîðîå íå áóäåò çàâèñåòü îò ååðàñïîëîæåíèÿ. Ïîýòîìó çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ ìû ïðîéäåì âñþ ïîëîñó. Áóäåì îïÿòü ñòðîèòüáàðüåðíûå ôóíêöèè.  êà÷åñòâå E âîçüìåì ìíîæåñòâî(219)E = {|x| = R, t = t0 + ε}ñ ìåðîé Ëåáåãà µ (èëè E = {|x| = R}, à ìåðà âñþäó íóëü, êðîìå ñôåðû). Âîçüìåì s =òîãäàZUs,β,(|x|=R),µ =Fs,β (x − ξ, t − t0 + ε) dSξ|ξ|=Ráóäåò ñóïåððåøåíèåì â öèëèíäðåÍàì òàêæå ïîíàäîáèòñÿ ôóíêöèÿt0 a,t0 +εM22β ,β = α2 ,(220).0,RZVR = M eC2 R2Fs,β (x − ξ, t − t0 + ε) dSξ|ξ|=R(221)Äîêàçûâàåì ïåðâîå óòâåðæäåíèå (âòîðîå àíàëîãè÷íî).

Íàäî ïîêàçàòü, ÷òî u(x0 , t0 ) ≤ 0 â òî÷êå èçóçêîé ïîëîñû. Áåðåì R > 2|x0 |, ε = min(T − t0 , 64C1 2 β ).Íóæíî èñïîëüçîâàòü ïðèíöèï ìàêñèìóìà âöèëèíäðå è ïîëó÷èòü îöåíêó VR ≥ u. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ñîáñòâåííóþ ÷àñòü ãðàíèöû öèëèíäðà.Íà äíå öèëèíäðà òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî âûïîëíåíî, òàê êàê VR ≥ 0, à äàííûå Êîøè ïî óñëîâèþíåïîëîæèòåëüíû. Òåïåðü ðàññìîòðèì áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà.2|u(x, t)| ≤ C1 eC2 x(222)Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî èíòåãðàë â âûðàæåíèè äëÿ áàðüåðíîé ôóíêöèè VR áîëüøåíåêîòîðîé ïîëîæèòåëüíîé const äëÿ ëþáîãî R.

Òîãäà ìîæíî âûáðàòü M òàêèì, ÷òîáû ïîëó÷èëîñüíóæíîå íåðàâåíñòâî. Èòàê ïîëó÷àåìZZ| x −ξ|2|x−ξ|2R1Rn−1− 4β(t−t +ε)−R2 4β(t−t00 +ε) dSdS=M(223)Meeξξss(t − t0 + ε) |ξ|=R(t − t0 + ε) |ξ|=1è ýòî äîëæíî áûòü áîëüøå C1 . Åñëè n ≥ 3, òî îñòàâëÿÿ òîëüêî R2 (ñ÷èòàåì R > 1), ïîëó÷èì ïðèR → ∞ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü δ -îáðàçíûõ ôóíêöèé, êîòîðûå óìíîæàþòñÿ íà 1 è èíòåãðèðóþòñÿ ïîåäèíè÷íîé ñôåðå. Çíà÷èò èíòåãðàë ñòðåìèòñÿ ê ïîëîæèòåëüíîèó ïðåäåëó ïðè R → ∞, à çíà÷èòîòäåëåí îò íóëÿ ïîëîæèòåëüíîé const.

 ðàçìåðíîñòÿõ n = 1, 2 òàêîå äîêàçàòåëüñòâî íå ïðîõîäèò,íî â ñïðàâåäëèâîñòè óòâåðæäåíèÿ ìîæíî óáåäèòüñÿ íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì èíòåãðàëà.Òàêèì îáðàçîì, ïî ïðèíöèïó ìàêñèìóìà íåðàâåíñòâî VR ≥ u èìååò ìåñòî âñþäó â öèëèíäðå.Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî áàðüåðíàÿ ôóíêöèÿ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè R → ∞. Èç R > 2|x0 | ñëåäóåò|x0 − ξ|2 > ( R2 )2u(x0 , t0 ) ≤ VR (x0 , t0 ) ≤M eC2 Rεs2Ze−|ξ|=R( R )228βεdSξ ≤R2M Rn−1 n−1 C2 R2 − 32βε|S|e→0sε(224)ïðè R → ∞. Òàêèì îáðàçîì, ïðèíöèï ìàêñèìóìà â ïîëîñå, à ñ íèì è òåîðåìà Òèõîíîâà, äîêàçàí.Ïðèëîæåíèå ê ëåêöèè 17Çàäà÷èËèòåðàòóðà1[Ï]. È.Ã.

Ïåòðîâñêèé Ëåêöèè îá óðàâíåíèÿõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, Ôèç.-ìàò. ëèò., Ìîñêâà(1961)2[Ø]. Ì.À. Øóáèí Ëåêöèè îá óðàâíåíèÿõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, ÌÖÍÌÎ, Ìîñêâà (2001)3[Ý]. Ë.Ê. Ýâàíñ Ë.Ê. Ýâàíñ Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè, Èçä. Ò. Ðîæêîâñêàÿ, Íîâîñèáèðñê(2003)4[ÅØ]. Þ.Â. Åãîðîâ, Ì.À. Øóáèí Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. Îñíîâû òåîðèè, ÂÈÍÈÒÈò. 30, Ìîñêâà (1988)5[Î]. Î.À. Îëåéíèê Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè, Èçä.

ÌÃÓ (2005)6[ÑÇ]. Ñáîðíèê çàäà÷ ïèñüìåííûõ ýêçàìåíîâ.

Характеристики

Список файлов лекций