Е.В. Радкевич - Лекции по урматфизу (1120444), страница 14
Текст из файла (страница 14)
, n.Îòðèöàòåëüíûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû An íàçûâàþòñÿ íåóñòîé÷èâûìè. Ïóñòü E− ïîäïðîñòàðíñòâî,íàòÿíóòîå íà ñîáñòâåííûå âåêòîðà íåóñòîé÷èâûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, ðàçìåðíîñòü dim E− = n− .Îïðåäåëåíèå 0.12 Ãðàíè÷íîå óñëîâèå (106) c ìàòðèöåé ΓP h íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíî äèññèïàòèâíûìïî Ôðèäðèõñó, åñëè ÷èñëî óðàâíåíèé â ýòîì óñëîâèè ðàâíî n− , ò.å. ΓP h ìàòðèöà ïîðÿäêà n− × N ,è ìàòðèöà SAn îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà íà ker ΓP h .Òåîðåìà 0.12 Äëÿ ëþáîé ñèììåòðèçóåìîé ïî Ôðèäðèõñó ñèñòåìå (121) ñóùåñòâóåò ìàõñèìàëüíîäèññèïàòèâíîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå (106), äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâà àïðèîðíàÿ îöåíêàZ ∞Z ∞−2γ t2γe−2γ t ||u|xn =0 ||2L2 (Rn−1 ) dt ≤e||u||L2 (R+n ) dt +−∞≤ C³1 Zγ−∞Z∞e−2γ t−∞||L u||2L2 (Rn ) dt+´e−2γ t ||ΓP h u|xn =0 ||2L2 (Rn−1 ) dt∞+−∞−nÏåðåéäåì ê ïîñòðîåíèþ ìàêñèìàëüíî äèññèïàòèâíîãîL −ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ. Ïîëîæèì H = SE− .n⊥ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ïðÿìóþ ñóììó C = HH îðòîãîíàëüíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ.
Ðàññìîòðèìïðîåêöèþπ+ : C N → H ⊥ .ÏîëîæèìΓP h = T π + ,ãäå T − ëèíåéíûé èçîìîðôèçì−T : H ⊥ → C N −nÄëÿ ëþáîãî h ∈ C N ìååì−−⊥−−⊥⊥−⊥−h = h + h , h ∈ H , h ∈ H , (h , h ) = 0, h =NXcj hj ,j=1nãäå h−j ñîáñòâåííûå âåêòîðà ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû SA , îòâå÷àþùèå îòðèöàòåëüíûì ñîáñòâåííûìçíà÷åíèÿì. Îòñþäà−−(SAn h, h) =nX|λj | c2j − (SAn h⊥ , h⊥ ) − 2(SAn h− , h⊥ ) > c0 |h− |2 − C0 |h⊥ |2 .j=1Çäåñü c0 =12minj=1,...,N − |λj |. Cóùåñòâóåò èçîìîðôèçì T0 : Im ΓP h → H ⊥ òàêîé ÷òîh⊥ = T0−1 Γ h.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî−(SAn h, h) ≥ c0 |h|2 − C1 |ΓP h h|2(120)Ê ñîæàëåíèþ, ýòî ãðàíè÷íîå óñëîâèå ÷ðåçâû÷àéíî ñïåöèàëüíîå.Òåîðåìà 0.13 Ñìåøàííàÿ çàäà÷à äëÿ ñèììåòðèçóåìîé ïî Ôðèäðèõñó ñèñòåìû (121) ñ ìàêñèìàëüíîäèññèïàòèâíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèå Ôðèäðèõñà (106) ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî L2 êîððåêòíîé.Èç ñòàíäàðòíûõ ñîîáðàæåíèé (ñì. íàïðèìåð [?]) ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîãî L2 ðåùåíèÿ ñìåøàííîéçàäà÷è (121), (106) ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ñïðàâåäëèâîñòè àïðèîðíîé îöåíêè (107) äëÿ çàäà÷è (121),(106) è åå ñîïðÿæåííîé.
Ñîïðÿæåííàÿ ñèñòåìà L∗ ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðèçóåìîé è ãðàíè÷íîå óñëîâèå cìàòðèöåé (ΓP h )∗ ìàêñèìàëüíî äèññèïàòèâíûì ïî Ôðèäðèõñó. Çäåñü S −1 − ñèììåòðèçàòîð äëÿ L∗è S −1 (An )∗ − (ñì. [?]) ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà íà ÿäðå ker (ΓP h )∗ . Îòñþäà àïðèîðíûå îöåíêè äëÿñìåøàííûõ çàäà÷ (L, ΓP h ) è (L∗ , (ΓP h )∗ ) ÿâëÿþòñÿ ñëåäñòâèåì îöåíîê (119) è (120).Ïðèëîæåíèå ê Ëåêöèè 13.Ïðèìåð Ãîäóíîâà. Ïðèâåäåì ïîñòðîåíèÿ ìàêñèìàëüíî äèññèïàòèâíîãî ãðàíè÷íîãî óñëîâèå ïîÔðèäðèõñó äëÿ ñèñòåìû ãàçîâîé äèíàìèêè∂u 1 ∂u ∂p++=0∂t2 ∂x ∂x∂v 1 ∂v∂p++=0∂t2 ∂x ∂y∂w 1 ∂w ∂p++=0∂t2 ∂x∂z∂p 1 ∂p ∂u ∂v∂w++++=0∂t2 ∂x ∂x ∂y∂zL2 êîððåêòíà ñìåøàííàÿ çàäà÷à ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì 1√0 0 √122Γ U |x=0 = T 0 1 0 0 U |x=0 = g0 0 1 0ãäåT : R3 → R3 , det T 6= 0, U = (u, v, w, p).Ñäåëàåì çàìåíó U = exp(γ t)V .
Òîãäà1200010 ∂ V+0 x 0 12E(∂t + γ) V + 0 0 121 0 0 120 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0+ 0 0 0 0 ∂y V + 0 00 1 0 00 0 1002 −µ10−µ02Ax − µ E = 1 00−µ210000011200 ∂ V =01 z010 0 −µÑîáñòâåíûå çíà÷åíèÿ11( − µ)2 [( − µ)2 − 1] = 0 ⇒ µ1 = 3/2, µ2,3 = 1/2, µ4 = −1/222Ñîáñòâåííûå âåêòîðà0 0 01000000001 0 01−1 0 0110 R = 0 ⇒ R2 = (0, 1, 0, 0)> , R3 = (0, 0, 1, 0)>0 2,300 0 11 0 0 R = 0 ⇒ R4 = √1 (1, 0, 0, −1)>0 1 0 420 0 1001−1 00 R1 = 0 ⇒ R1 = √1 (1, 0, 0, 1)>0 −1 0 200 −1(121)ÎòñþäàH + = {ξ1 R1 + ξ2 R2 + ξ3 R3 , ξ ∈ R3 }, H − = {ξ4 R4 , ξ4 ∈ R1 }V = ξ1v R1 + ξ2v R2 + ξ3v R3 + ξ4v R411ξ1v = √ (u + p), ξ2v = v, ξ3v = w, ξ4v = √ (u − p)22Àïðèîðíàÿ îöåíêàZ∞[(∂t V, V )dt + γ (V, V ) +−∞1+ √4 23XZ(A ∂xj V, V )]dt = γj=1Z∞−∞∞j((u − p)|x=0 , (u − p)|x=0 )L2 (R2 ) dt −12Z∞−∞−∞3 )+(V, V )L2 (R+1[ (v|x=0 , v|x=0 )L2 (R2 ) +231+ √ ((u + p)|x=0 , (u + p)|x=0 )L2 (R2 ) + (w|x=0 , w|x=0 )L2 (R2 ) ]dt22 2Èç ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ (121) ñëåäóåò1(u + p)|x=0 = (T −1 g)1 , v|x=0 = (T −1 g)2 , w|x=0 = (T −1 g)32Îòñþäà12Z∞−∞13[ √ ((u + p)|x=0 , (u + p)|x=0 )L2 (R2 ) + (v|x=0 , v|x=0 )L2 (R2 ) +22 2Z ∞1(g, g)L2 (R2 ) dt+ (w|x=0 , w|x=0 )L2 (R2 ) ]dt ≤ C2−∞Òàêèì îáðàçîì, èìååìZ ∞Z ∞1√3 ) +((u − p)|x=0 , (u − p)|x=0 )L2 (R2 ) dt ≤γ(V, V )L2 (R+4 2 −∞−∞Z ∞≤ C(g, g)L2 (R2 ) dt−∞Îòñþäà ñëåäóåòZγZ∞−∞3 ) +(V, V )L2 (R+Z∞−∞(V |x=0 , V |x=0 )L2 (R2 ) dt ≤ C1∞−∞(g, g)L2 (R2 ) dtÇàäà÷èËåêöèÿ XIII.
Íåêîòîðûå ñâîéñòâà ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé.Áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèþ ãàðìîíè÷åñêîé, åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿËàïëàñà. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ôèçèêè, ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè, íàïðèìåð, ÿâëÿþòñÿ ñòàöèîíàðíûìèðàñïðåäåëåíèÿìè òåìïåðàòóðû. Èññëåäóåì õàðàêòåðíûå ñâîéñòâà òàêèõ ôóíêöèé.Ôîðìóëû Ãðèíà. Ñíà÷àëà óñòàíîâèì èíòåãðàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûå íîñÿò íàçâàíèå ôîðìóëÃðèíà. Ïóñòü ω− îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â Rn ñ Ëèïøåöåâîé ãðàíèöåé ∂Ω. Ðàññìîòðèì ôóíêöèèu(x), v(x) ∈ C 2 (Ω). Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èìZZZv ∂x2j udx = −∂xj v ∂xj udx +v∂xj νj ds.ΩΩ∂Ω(122)Çäåñü, êàê âñåãäà ν = (ν1 , .
. . , νn )− åäèíè÷íûé âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê ∂Ω, ds -ýëåìåíò ïëîùàäè∂Ω. Ñóììèðóÿ ðàâåíñòâà (122) ïî j , ïîëó÷èì ïåðâóþ ôîðìóëó Ãðèíà:ZZZ Xnv∆ udx = −∂xj v∂xj u dx +v∂ν uds.(123)ΩΩ j=1∂ΩÒî÷íî òàêæå ïîëó÷èìZZnXu∆ vdx = −ΩΩ j=1Z∂xj u∂xj v dx +u∂ν vds.∂ΩÂû÷èòàÿ ïåðâóþ ôîðìóëó èç âòîðîé, ïîëó÷èì âòîðóþ ôîðìóëó Ãðèíà:Z ³Z´(v∆ u − u∆ v)dx =v∂ν u − u∂ν v ds∂ΩΩ(124)Ôîðìóëû Ãðèíà ñïðàâåäëèâû òàêæå äëÿ ôóíêöèé u(x) è v(x) èç êëàññà C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω). Äëÿäîêàçàòåëüñòâà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ íóæíî ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáëàñòåé Ωm ⊂ Ω ñ Ëèïøåöåâîéãðàíèöåé òàêèõ, ÷òî Ωm ⊂ Ωm+1 , ∪m Ωm = Ω, è ïåðåéòè ê ïðåäåëó ïðè m → ∞ â ôîðìóëàõ Ãðèíàäëÿ îáëàñòåé ΩmÏðåäñòàâëåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ïîòåíöèàëîâ.
Îïÿòü ðàññìîòðèì ôóíêöèþu ∈ C 2 (Ω). ×åðåç Qx% 0 îáîçíà÷èì êàê è âûøå øàð ðàäèóñà % ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 , à ÷åðåç S%x0îáîçíà÷èì ñôåðó ðàäèóñà % ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 . Ïóñòü Qx% 0 ⊂ Ω è Ω% = Ω\Qx% 0 . Ïðèìåíèì âòîðóþôîðìóëó Ãðèíà ê îáëàñòè Ω% è ôóíêöèÿì u(x) è ôóíäàìåíòàëüíîìó ðåøåíèþE(x, x0 ) = −E(x, x0 ) =Òîãäà ïîëó÷èìZZ1ln |x − x0 |2πïðè n > 2,ïðè n = 2.Z³´E∂ν u − u∂ν E ds +(E∆ u − u∆ E)dx =Ω|x − x0 |2−n(n − 2)|S n−1 |∂Ω³xS% 0´E∂n u − u∂n E ds,(125)ãäå n− íàïðàâëåíèå âíóòðåííåé íîðìàëè ê S%x0 . Ðàâåíñòâî (125) ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáûõ äîñòàòî÷íîìàëûõ %.
Ïåðâûé èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (125) íå çàâèñèò îò %. Ïîêàæåì, ÷òî ïðè % → 0èíòåãðàë ïî S%x0 â ïðàâîé ÷àñòè (125) ñòðåìèòñÿ ê u(x0 ). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî¯Z¯¯¯E∂n uds¯ ≤ |o(%) |S n−1 |%n−1 max|∂n u| ≤ C1 %n−1 |o(%)|,¯xxS% 0S% 0ãäå ïîñòîÿííàÿ C1 íå çàâèñèò îò %, è %n−1 |o(%)| → 0 ïðè % → 0. Òàê êàê íà ñôåðå S%x0 èìååì∂n E = −òîZ³lim%→0−xS% 01%1−n ,|S n−1 |Z´%1−nu∂n Eds = lim n−1uds = u(x0 ).%→0 |S| S%x0Çäåñü ìû ïðèìåíèëè òåîðåìó î ñðåäíåì çíà÷åíèè äëÿ èíòåãðàëàZuds = |S n−1 |%n−1 u(x% ),xS% 0ãäå x% ∈ S%x0 , è âîñïîëüçîâàëèñü íåïðåðûâíîñòüþ u(x) â Ω.
Òåïåðü ìîæíî ïåðåéòè ê ïðåäåëó âðàâåíñòâå (125). Ïîëó÷èìZ ³Z´u(x0 ) =u∂ν E − E∂ν u ds +E∆ udx.(126)∂ΩΩÅñëè ∆ u = 0 â Ω, òî èç ôîðìóëû (126) ñëåäóåò, ÷òîZ ³´u(x0 ) =u∂ν E − E∂ν u ds.∂Ω(127)Ôîðìóëà (128) äàåò ïðåäñòàâëåíèå ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè êëàññà C 2 (Ω) â ëþáîé òî÷êå x0 ∈ Ω÷åðåç çíà÷åíèÿ u(x) íà ∂Ω è çíà÷åíèÿ íà ∂Ω åå íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé ∂ν u.Åñëè ôóíêöèÿ u(x) -ðåøåíèå â Ω óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà∆ u = f (x),òî èç ôîðìóëû (126) èìååìZ ³Z´u(x0 ) =u∂ν E(x, x0 ) − E(x, x0 )∂ν u ds +f (x) E(x, x0 )dx.∂ΩΩäëÿ ëþáîé òî÷êè x0 ∈ Ω.Èíòåãðàë âèäà(128)Za0 (y)|y − x|2−n dx,u0 (x) =n > 2,Ω(129)íàçûâàåòñÿ îáúåìíûì ïîòåíöèàëîì èëè íüþòîíîâûì ïîòåíöèàëîì ñ ïëîòíîñòüþ a0 (x) â Ω.Èíòåãðàë âèäàZu1 (x) =a1 (y)|y − x|2−n dx, n > 2,(130)∂Ωíàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëîì ïðîñòîãî ñëîÿ ñ ïëîòíîñòüþ a1 (x) íà ∂Ω, à èíòåãðàëZ³´u2 (x) =a2 (y)∂ν |y − x|2−n dx, n > 2,∂Ω(131)íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëîì äâîéíîãî ñëîÿ ñ ïëîòíîñòüþ a2 (x) íà ∂Ω.
 ñëó÷àå n = 2 àíàëîãè÷íîîïðåäåëÿþòñÿ íüòîíîâ, èëè ëîãàðèôìè÷åñêèé, ïîòåíöèàë è ïîòåíöèàëû ïðîñòîãî èëè äâîéíîãî ñëîÿ.Ïðèýòîì, â èíòåãðàëàõ (129), (130), (131) íóæíî çàìåíèòü |y − x|2−n ôóíêöèåé − ln |x − x0 |. Òàêèìîáðàçîì, ëþáóþ ãàðìîíè÷åñêóþ ôóíêöèþ êëàññà C 2 (Ω) ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó ïîòåíöèàëîâïðîñòîãî è äâîéíîãî ñëîÿ íà ∂Ω, ïëîòíîñòè êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè u è ∂ν u íà ∂Ω.C òî÷êè çðåíèÿ ôèçèêè, ãðàäèåíò íüþòîíîâà ïîòåíöèàëà îïðåäåëÿåò íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãîïîëÿ â Rn \Ω, ñîçäàâàåìîãî çàðÿäàìè, ïîìåùåííûìè â îáëàñòü Ω, ïëîòíîñòü êîòîðûõ ðàâíà a0 (x).Ïîòåíöèàë ïðîñòîãî ñëîÿ ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëîì ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ â Rn \∂Ω, ñîçäàâàåìîãîýëåêòðè÷åñêèìè çàðÿäàìè, ïîìåùåííûìè íà ∂Ω ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ a1 (x). Ãðàäèåíò ïîòåíöèàëàäâîéíîãî ñëîÿ îïðåäåëÿåò íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ â Rn \∂Ω, ñîçäàâàåìîãî äèïîëÿìè,ïîìåùåííûìè íà ïîâåðõíîñòè ∂Ω ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ a2 (x).Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ôóíêöèè u1 (x), u2 (x) ÿâëÿþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè â Rn \∂Ω,åñëè ïëîòíîñòè a1 , a2 ôóíêöèè êëàññà C 0 (∂Ω), òàê êàê (n > 2)Z´³∆ u1 (x) =a1 ∆x |x − y|2−n dsy = 0,Z ∂Ω´³∆ u1 (x) =a2 ∂νy ∆x |x − y|2−n dsy = 0,∂Ωnäëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ R \∂Ω (Äèôôåðåíöèðîâàíèå ïîä çíàêîì èíòåãðàëîâ â ýòèõ ôîðìóëàõ ïîx çàêîííî, ïîñêîëüêó |x − y|2−n áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò òî÷åê x è yïðè x 6= y ).
Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðàëû (130), (131) îïðåäåëÿþò äâà ñåìåéñòâà ÷àñòíûõ ðåøåíèéóðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â îáëàñòè Ω äëÿ ïëîòíîñòåé a1 , a2 ∈ C 0 (∂Ω). Òî÷íî òàêæå ïîëó÷àåì, ÷òîíüþòîíîâ ïîòåíöèàë ïðè a0 ∈ C 0 (Ω) ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèåé â Rn \Ω.  ýòîì ñëó÷àåäèôôåðåíöèðîâàíèå ïîä çíàêîì èíòåãðàëà âîçìîæíî â ñèëó òîãî, ÷òî ïðè x ∈ Rn \Ω ïðîèçâîäíûå äîâòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàò òî÷êè x ïîäèíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìèôóíêöèÿìè x ∈ Ω. ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ ìû âåðíåìñÿ ê èññëåäîâàíèþ ñâîéñòâ ïîòåíöèàëîâ è íàéäåì óñëîâèå, ïðèêîòîðûõ ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà è óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà∆ u = f,x ∈ Ω,îæíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿþòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ïîòåíöèàëîâ íüþòîíà, ïðîñòîãî è äâîéíîãîñëîÿ, ò.å îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ïëîòíîñòè a0 , a1 , a2 .Ñëåäñòâèÿ èíòåãðàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ.
Èç èíòåãðàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ãàðìîíè÷åñêîéôóíêöèè ìîæíî ïîëó÷èòü ìíîãî âàæíûõ ñëåäñòâèé. Ðàññìîòðèì îáëàñòü Ω ⊂ Rn , ãäå4u = 0.(132)è â íåé øàð Kx,r c öåíòðîì â òî÷êå x ðàäèóñà r, ãðàíèöåé ýòîãî øàðà ÿâëÿåòñÿ ñôåðà Sx,r . Ïîôîðìóëå Ïóàññîíà èìååì:Z∂E(x, ξ)∂uu(x) =(u− E(x, ξ)) dSξ(133)∂nξ∂nξSx,rÂòîðîå ñëàãàåìîå â ýòîé ôîðìóëå åñòü íóëü, òàê êàê ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå E íà ñôåðå ðàâíÿåòñÿconst è âûíîñèòñÿ çà çíàê èíòåãðàëà, à íîðìàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ, ïðîèíòåãðèðîâàííàÿ ïî ñôåðå, äàñòíóëü â ñèëó ôîðìóëû Îñòðîãðàäñêîãî-Ãàóññà è ãàðìîíè÷íîñòè u â îáëàñòè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
