Е.В. Радкевич - Лекции по урматфизу (1120444), страница 11
Текст из файла (страница 11)
È äåëî äåéñòâèòåëüíî îáñòîèò òàê. Ìåòîä, ïîçâîëÿþùèé ñâåñòè çàäà÷ó ìåíüøåé ðàçìåðíîñòèê çàäà÷å áîëüøåé ðàçìåðíîñòè, íàçûâàåòñÿ ìåòîä ñïóñêà. Èçëîæèì åãî.Ïóñòü u(t, x) = u(t, x1 , x2 , x3 ) ðåøåíèå òðåõìåðíîé ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì çàäà÷èÊîøè (86) äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèµ 2¶∂ u ∂2u ∂2u∂2u2=a++,∂t2∂x21∂x22∂x23è ïóñòü íà÷àëüíûå ôóíêöèè ϕ è ψ íå çàâèñÿò îò òðåòüåé ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé x3 , òî åñòüϕ = ϕ(x1 , x2 ), ψ = ψ(x1 , x2 ). Çàìåòèì, ÷òî ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è ìû çíàåì, è îíî çàäàåòñÿ ôîðìóëîéÊèðõãîôà (87), ãäå èíòåãðèðîâàíèå ôóíêöèé ϕ è ψ èäåò ïî ñôåðàì â ïðîñòðàíñòâå R3 .Ñäåëàåì ñäâèã ïî îñè x3 íà ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî x03 ∈ R.
Ñ îäíîé ñòîðîíû, ôóíêöèÿ u(t, x)ïåðåéäåò â ũ(t, x) = u(t, x1 , x2 , x3 + x03 ). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè îò ñäâèãàïî îäíîé èç îñåé íå ìåíÿåòñÿ, êàê è íå ìåíÿþòñÿ ïðè ñäâèãå ïî îñè x3 íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ϕ è ψ .Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ũ(t, x) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì òîé æå ñàìîé çàäà÷è Êîøè (86), ÷òî è ôóíêöèÿ u(t, x). ñèëó åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è, ũ(t, x) ≡ u(t, x), òî åñòüu(t, x1 , x2 , x3 + x03 ) = u(t, x1 , x2 , x3 )∀x03 ∈ R.Ïîñëåäíåå â òî÷íîñòè îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ u(t, x) íå çàâèñèò îò x3 ; u = u(t, x1 , x2 ). Çíà÷èò,∂ 2 u/∂x23 = 0, è ôóíêöèÿ u(t, x) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿµ 2¶∂2u∂ u ∂2u2+=a.∂t2∂x21∂x22Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ôóíêöèÿ u(t, x), çàäàâàåìàÿ ôîðìóëîé Êèðõãîôà (87), ÿâëÿåòñÿè ðåøåíèåì äâóìåðíîé ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì çàäà÷è Êîøè (86) äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè,åñëè íà÷àëüíûå ôóíêöèè ϕ(x1 , x2 ) è ψ(x1 , x2 ) ñ÷èòàòü çàäàííûìè â R3 , íî íå çàâèñÿùèìè îò x3 .Ïðàâäà, â ýòîì ñëó÷àå èíòåãðèðîâàíèå ïî ñôåðå â R3 , ÷åðåç êîòîðîå çàäàþòñÿ Mϕ è Mψ (ñì.
(78)),ðàçóìíî ñâåñòè ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî ïðîñòðàíñòâó R2 . Ïðîäåëàåì ýòî ñâåäåíèå.Ñôåðà ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â òî÷êå x = (x1 , x2 , x3 ) ïðîåöèðóåòñÿ â êðóã òîãî æå ðàäèóñà ñöåíòðîì â (x1 , x2 ). Ýëåìåíò ïëîùàäè íà ñôåðå dS è ýëåìåíò ïëîùàäè íà êðóãå dξ = dξ1 dξ2 ñâÿçàíûñîîòíîøåíèåì dξ = dS cos γ , ãäå γ óãîë ìåæäó ïëîñêîñòüþ, êàñàòåëüíîé ê ñôåðå, è ïëîñêîñòüþ(x1 , x2 ), èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, óãîë ìåæäó íîðìàëüþ ê ñôåðå è îñüþ x3 (ÿâëÿþùåéñÿ íîðìàëüþ êïëîñêîñòè (x1 , x2 )). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî sin γ ðàâåí îòíîøåíèþ ïðîåêöèè ðàäèóñà ñôåðû íà ïëîñêîñòü(x1 , x2 ) ê ñàìîìó ðàäèóñó R, òî åñòüpp(ξ1 − x1 )2 + (ξ2 − x2 )2R2 − |ξ − x|2|ξ − x|sin γ ==,cos γ =.RRRÅùå ó÷òåì, ÷òî R = at, à òàêæå òî, ÷òî â êàæäóþ òî÷êó êðóãà ïðîåöèðóþòñÿ äâå òî÷êè ñôåðû (ñâåðõíåé è íèæíåé ïîëîâèíîê), è ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíî, ÷òî ôîðìóëà (78) ïåðåïèñûâàåòñÿ âäâóìåðíîì ñëó÷àå òàê:ZZ12dξ1 dξ22atg(ξ)dξ1 dξ2pMg (t, x) =g(ξ)=.4πa2 t |ξ−x|≤atcos γ4πa2 t |ξ−x|≤at (at)2 − |ξ − x|2Îêîí÷àòåëüíî èìååì1Mg (t, x) =2πaZg(ξ)dξ1 dξ2p|ξ−x|≤at(at)2− (ξ1 − x1 )2 − (ξ2 − x2 )2.(90)Èòàê, íàìè äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 0.8 Ïóñòü ϕ(x) ∈ C 3 (R2 ), ψ(x) ∈ C 2 (R2 ).
Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè½utt = a2 ∆u(t, x),t > 0, x ∈ R2 ,u|t=0 = ϕ(x),ut |t=0 = ψ(x).çàäàåòñÿ ôîðìóëîé Ïóàññîíàu(t, x) =∂Mϕ (t, x) + Mψ (t, x),∂tãäå îïåðàòîð M îïðåäåëåí â (90).Ôîðìóëà Äàëàìáåðà äëÿ óðàâíåíèÿ ñòðóíû Åñòåñòâåííî, èç òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâàìîæíî ñïóñòèòüñÿ íå òîëüêî â äâóìåðíîå, íî è â îäíîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî, ïîëó÷èâ ôîðìóëóÄàëàìáåðà (ñì. (94) íèæå) ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ ñòðóíû (íàïîìíèì, ÷òî óðàâíåíèåñòðóíû ýòî åñòü îäíîìåðíîå ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì âîëíîâîå óðàâíåíèå).
Ñðàçó îãîâîðèìñÿ,÷òî ýòó ôîðìóëó ëåãêî ïîëó÷èòü ýëåìåíòàðíûìè ìåòîäàìè (ïåðåéäÿ ê õàðàêòåðèñòèêàì è íàéäÿîáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñòðóíû), äà è êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîéÄàëàìáåðà íå òîëüêî äëÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé ϕ(x) è ψ(x) èç ïðîñòðàíñòâ C 3 (R) è C 2 (R) ñîîòâåòñòâåííî(êàê â òðåõìåðíîì è äâóìåðíîì ñëó÷àÿõ), à ïðè ϕ ∈ C 2 (R) è ψ ∈ C 1 (R), ÷òî ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿíåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì. Òåì íå ìåíåå, ïðîäåëàåì âûâîä ôîðìóëû Äàëàìáåðà èç ôîðìóëûÊèðõãîôà âñå òåì æå ìåòîäîì ñïóñêà.Èòàê, êàê è â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, ìû ðàññìîòðèì ðåøåíèå u(t, x) ðåøåíèå çàäà÷è Êîøèäëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ â ñëó÷àå, êîãäà x ∈ R3 , íî íà÷àëüíûå ôóíêöèè çàâèñÿò òîëüêî îò îäíîéïåðåìåííîé x1 : ϕ = ϕ(x1 ), ψ = ψ(x1 ).
Òîãäà çàäà÷à íå ìåíÿåòñÿ ïðè ñäâèãàõ ïî îñÿì x2 è x3 , è â ñèëóåäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ, ôóíêöèÿ u(t, x) òàêæå íå ìåíÿåòñÿ ïðè ýòèõ ñäâèãàõ, òî åñòü u = u(t, x1 ).Çíà÷èò, âòîðûå ïðîèçâîäíûå ðåøåíèÿ ïî x2 è x3 ðàâíû 0, è u(t, x1 ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷误u¯∂2u∂2u= a2 2 ,2∂t∂x1t=0= ϕ(x1 ),¯¯ut ¯t=0(91)= ψ(x1 ).Îñòàåòñÿ òîëüêî ñâåñòè èíòåãðèðîâàíèå ïî ñôåðå â ôîðìóëå (78) ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî îòðåçêó[x1 − at, x1 + at], êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé ýòîé ñôåðû íà îñü x1 . ýëåìåíò äëèíû dξ1 íà ýòîì îòðåçêå ïðîåöèðóåòñÿ ñôåðè÷åñêèé ñëîé.
Ïëîùàäü dS ýòîãî ñëîÿâ 1/ cos γ ðàç áîëüøå, ÷åì 2πrdξ1 ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà ñ òîé æå âûñîòîé èðàäèóñîì îñíîâàíèÿ, ãäå γ óãîë ìåæäó íîðìàëÿìè ê ñëîþ è öèëèíäðó (γ òîò æå óãîë, ÷òî èâ ïðåäûäóùåì ðàçäåëå). Çäåñü r = R cos γ ðàäèóñ îñíîâàíèÿ ñëîÿ è öèëèíäðà, dξ1 èõ âûñîòà,R = at ðàäèóñ ñôåðû. Èòàê,2πrdξ1= 2πRdξ1 = 2πatdξ1 .cos γdS =(92)Çàìå÷àíèå 0.1 Ôîðìóëà ïëîùàäè ñôåðè÷åñêîãî ñëîÿ S = 2πRh, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç (92)èíòåãðèðîâàíèåì ïî ξ1 , åñòü â ëþáîì ìàòåìàòè÷åñêîì ñïðàâî÷íèêå.
Îòìåòèì, ÷òî ýòà ïëîùàäüçàâèñèò òîëüêî îò ðàäèóñà ñôåðû R è âûñîòû ñëîÿ h, è íå çàâèñèò îò òîãî, ãäå ýòîò ñëîéíàõîäèòñÿ íà ñôåðå ïîñåðåäèíå èëè ñ êðàþ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íàðåçàâ òîíêîêîæèé àïåëüñèíêðóæî÷êàìè îäèíàêîâîé òîëùèíû, â êàæäîì êóñî÷êå ïîëó÷àåì îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî êîæóðû,òîãäà êàê ìÿêîòè, êàê ìû ïîíèìàåì, áîëüøå â ñðåäíèõ äîëüêàõ, íåæåëè ÷åì â êðàéíèõ. ÷àñòíîì ñëó÷àå h = 2R, èìååì âñåì èçâåñòíóþ ôîðìóëó ïëîùàäè ïîëíîé ïîâåðõíîñòè ñôåðûS = 4πR2 .Ïîäñòàâëÿÿ (92) â (78), èìååìMg (t, x1 ) =14πa2 tZx1 +atg(ξ1 ) · 2πatdξ1 =x1 −at12aZx1 +atg(ξ1 )dξ1 .x1 −at(93)Çàìåòèì, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì îäíîìåðíîì ñëó÷àå∂1g(x1 − at) + g(x1 + at)Mg (t, x1 ) =(ag(x1 + at) − (−a)g(x1 − at)) =.∂t2a2Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè (91) ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ ôóíêöèÿ u(t, x) (óæå íå íóæíûéèíäåêñ 1 îïóñêàåì):u(t, x) =ϕ(x − at) + ϕ(x + at)1∂Mϕ (t, x) + Mψ (t, x) =+∂t22aZx+atψ(ξ)dξ.x−at(94)Ýòî è åñòü ôîðìóëà Äàëàìáåðà.Ïðèëîæåíèå ê Ëåêöèè 9.Çàäà÷è1.
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ∂t2 u − 4∂x2 u,(x, t) ∈ R2 ,a) Ðàâíî íóëþ â ïðÿìîóãîëüíèêå R = {|x| ≤ 1, |t| ≤ 2}. Ãäå åùå ðåøåíèå îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî?b) Ðàâíî íóëþ âíå ïðÿìîóãîëüíèêà R. Ãäå îíî îáÿçàòåëüíî ðàâíî íóëþ?(1á.)Ëåêöèÿ X. Êà÷åñòâåííîå èññëåäîâàíèå ôîðìóë Êèðõãîôà, Ïóàññîíà,Äàëàìáåðà. Óæå îòìå÷àëîñü, ÷òî (ñì. Çàìå÷àíèå ??) çíà÷åíèå ðåøåíèÿ u(t, x) çàäà÷è Êîøè(??) äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ â íåêîòîðîé òî÷êå (t0 , x0 ), t0 > 0, â ïðîñòðàíñòâå ëþáîé ðàçìåðíîñòèçàâèñèò îò çíà÷åíèÿ íà÷àëüíûõ ôóíêöèé ϕ(x) è ψ(x) òîëüêî íà îñíîâàíèè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãîêîíóñà, òî åñòü íà øàðå (èëè æå êðóãå â R2 , èëè îòðåçêå â R1 ) |x − x0 | ≤ at0 . Ýòî æå âèäíî èèç ôîðìóëû Ïóàññîíà, ãäå èíòåãðèðîâàíèå â (90) èäåò êàê ðàç ïî ýòîìó êðóãó.
×òî æå êàñàåòñÿôîðìóëû Êèðõãîôà, òî òàì, êàê ìû âèäèì èç (78), íàì âàæíû çíà÷åíèÿ ϕ(x) è ψ(x) òîëüêî âîêðåñòíîñòè ãðàíèöû øàðà |x−x0 | ≤ at0 , ò. å. ñôåðû |x−x0 | = at0 . Òî÷íåå, äëÿ íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèÿu(t0 , x0 ), íàì íóæíî çíàòü çíà÷åíèå íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ψ(x) íà ýòîé ñôåðå, à òàêæå çíà÷åíèÿíà íåé íà÷àëüíîãî ñìåùåíèÿ ϕ(x) è åãî ïðîèçâîäíûõ (òàê êàê Mϕ (t, x) âõîäèò â ðåøåíèå ÷åðåçåãî ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî t).
Ýòî, íà ïåðâûé âçãëÿä íåáîëüøîå, ðàçëè÷èå ìåæäó ôîðìóëàìèÊèðõãîôà è Ïóàññîíà, çàêëþ÷àþùååñÿ â ðàçíûõ çíàêàõ ( = è ≤ ñîîòâåòñòâåííî) â îïðåäåëåíèèìíîæåñòâà, ïî êîòîðîìó èäåò èíòåãðèðîâàíèå, ïðèâîäèò ê êà÷åñòâåííî ðàçëè÷íûì ýôôåêòàì âïðîöåññå ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí â ïðîñòðàíñòâàõ ðàçíîé ðàçìåðíîñòè.Âàæíîé õàðàêòåðèñòèêîé ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìîå ìíîæåñòâî çàâèñèìîñòèðåøåíèÿ îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Ïîÿñíèì, ÷òî ýòî òàêîå.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû çíàåì ðåøåíèå u(t, x)çàäà÷è Êîøè äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ ñ íåêèìè íà÷àëüíûìè äàííûìè ϕ(x) è ψ(x). Èçìåíèì òåïåðüíà÷àëüíûå äàííûå, íî íå íà âñåì ïðîñòðàíñòâå, à ëèøü íà êàêîì-òî (íàïðèìåð, îãðàíè÷åííîì)ìíîæåñòâå B , òî åñòü ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ íàøåãî óðàâíåíèÿ ñ äðóãèìè íà÷àëüíûìèäàííûìè, ϕ̃(x) è ψ̃(x), ïðè÷åì ϕ̃(x) = ϕ(x) è ψ̃(x) = ψ(x) ïðè x ∈/ B . Ðåøåíèå ýòîé íîâîéçàäà÷è îáîçíà÷èì ũ(t, x). Âîçíèêàåò âîïðîñ: ãäå ðåøåíèå íå èçìåíèëîñü? Òî÷íåå, â êàêèõ òî÷êàõ(t, x) ∈ R+ × Rn ìû ìîæåì çàâåäîìî óòâåðæäàòü, ÷òî u(t, x) = ũ(t, x)? Òàê âîò, ìíîæåñòâî òåõòî÷åê (t, x), ãäå ðåøåíèå ìîæåò èçìåíèòüñÿ ïðè èçìåíåíèè íà÷àëüíûõ óñëîâèé òîëüêî íà íåêîììíîæåñòâå B è íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ îò çíà÷åíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé íàB. ñèëó ëèíåéíîñòè çàäà÷è, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ϕ(x) ≡ ψ(x) ≡ 0, è, ñîîòâåòñòâåííî, ðåøåíèåu(t, x) òàêæå íóëåâîå, u(t, x) ≡ 0.
Ïîëîæèì ϕ̃(x) = ψ̃(x) = 0 ïðè x ∈/ B , è ïîïûòàåìñÿ îòâåòèòüíà âîïðîñ: ãäå çàâåäîìî ũ(t, x) = 0, à â êàêèõ òî÷êàõ ìû ýòîãî óòâåðæäàòü íå ìîæåì? Îòâåò,îêàçûâàåòñÿ, çàâèñèò îò êîëè÷åñòâà ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ (n = 1, 2 èëè 3).Òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïîëîæèì, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, B = {x ∈ R3 | |x| < 1} åäèíè÷íûéøàð, è ïóñòü ëèøü â íåì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ϕ è ψ , âîçìîæíî, îòëè÷íû îò íóëÿ. Ýòî îçíà÷àåò,÷òî â íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè â îêðåñòíîñòè 0 ïðîèçîøëè êàêèå-òî âîçìóùåíèÿ (âçðûâ). Ïóñòüìû íàõîäèìñÿ â òî÷êå x0 , |x0 | > 1. Ïîïðîáóåì ïîíÿòü, êîãäà (ïî âðåìåíè) ìû ïî÷óâñòâóåì ýòèâîçìóùåíèÿ (óñëûøèì âçðûâ), òî åñòü ïðè êàêèõ t, âîçìîæíî, u(t, x0 ) 6= 0? ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé Êèðõãîôà (87), (78), äëÿ îïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèÿ u(t, x0 ), ìû äîëæíûèíòåãðèðîâàòü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ïî ñôåðå Sxat0 ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 è ðàäèóñîì at. Íåíóëåâîéðåçóëüòàò ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ëèøü òîãäà, êîãäà ýòà ñôåðà èìååò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå ñ åäèíè÷íûìøàðîì B .
Çíà÷èò, åñëè at ≤ |x0 |−1, òî øàð B ëåæèò âíå ñôåðû Sxat0 , è u(t, x0 ) = 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîâîçìóùåíèÿ åùå íå äîøëè äî òî÷êè x0 . Âîîáùå, ïðè ïðîèçâîëüíîì ìíîæåñòâå B , â òî÷êàõ (t, x),òàêèõ, ÷òî x óäàëåíî îò B áîëåå ÷åì íà at, çíà÷åíèå u(t, x) áóäåò çàâåäîìî íóëåâûì. Ñëåäîâàòåëüíî,ðàñïðîñòðàíåíèå êîëåáàíèé â ïðîñòðàíñòâå èäåò ñî ñêîðîñòüþ a.Åñëè æå at ≥ |x0 | + 1, òî øàð B ïîïàäàåò öåëèêîì âíóòðü ñôåðû Sxat0 , èíòåãðèðîâàíèå èäåò ïîìíîæåñòâó, ãäå ϕ = ψ = 0, à, ñëåäîâàòåëüíî, ñíîâà u(t, x0 ) = 0 (âîëíà ïðîøëà òî÷êó x0 ).Ïîäûòîæèâàÿ ñêàçàííîå, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t > 0 íåíóëåâîåçíà÷åíèå ðåøåíèå ìîæåò ïðèíèìàòü ëèøü â òî÷êàõ x, ëåæàùèõ â øàðîâîì ñëîåat − 1 < |x| < at + 1,t > 0,(95)(ïðè t < 1/a â øàðå |x| < at + 1).  ýòîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî òî÷åê (t, x), òàêèõ ÷òî |x| = at + 1 (òîåñòü óäàëåííûõ îò B íà ðàññòîÿíèå at) íàçûâàåòñÿ ïåðåäíèì ôðîíòîì âîëíû, à ìíîæåñòâî òî÷åê, âêîòîðûõ |x| = at−1, çàäíèì ôðîíòîì âîëíû.
Âîëíîâûå ôðîíòû â ïðîñòðàíñòâå ðàñïðîñòðàíÿþòñÿñî ñêîðîñòüþ a. Îáëàñòü çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ îò çíà÷åíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé â B åñòü ìíîæåñòâîòî÷åê ìåæäó ïåðåäíèì è çàäíèì ôðîíòàìè; â íàøåì ñëó÷àå îáëàñòü çàâèñèìîñòè çàäàåòñÿ (95).Äâóìåðíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïðèíöèïèàëüíîå îòëè÷èå äâóìåðíîãî ñëó÷àÿ îò òðåõìåðíîãî çàêëþ÷àåòñÿâ òîì, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå â (90) èäåò ïî âñåìó äâóìåðíîìó êðóãó Bxat0 ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 èðàäèóñà at, à íå ïî åãî ãðàíèöå (îêðóæíîñòè). Ïîýòîìó ìû çàâåäîìî áóäåì èìåòü u(t, x0 ) = 0ëèøü ïðè at ≤ |x0 | − 1, êîãäà åäèíè÷íûé øàð B ëåæèò âíå Bxat0 , à ïðè at ≥ |x0 | + 1 (òî åñòü B ⊂Bxat0 ), çíà÷åíèå u(t, x0 ) íå îáÿçàíî áûòü íóëåâûì. Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèå u(t, x) ìîæåò ïðèíèìàòüíåíóëåâîå çíà÷åíèå ëèøü â òî÷êàõ, óäîâëåòâîðÿþùèõ|x| < at + 1,t > 0.(96)Èòàê, ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè êîëåáàíèé â äâóìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, èìååòñÿ ïåðåäíèé ôðîíòâîëíû, ñîñòîÿùèé, êàê è â R3 , èç òî÷åê, óäàëåííûõ îò ìíîæåñòâà B ðîâíî íà ðàññòîÿíèå at, èíåò çàäíåãî ôðîíòà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
