Е.В. Радкевич - Лекции по урматфизу (1120444), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Ïðè n=3 ïîëó÷èì1∂ E(x, ξ)1 ∂{ |x−ξ| }1||x−ξ|=r = −||x−ξ|=r =∂nξ4π ∂|x − ξ|4πr2 èòîãå ïîëó÷àåì ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû î ñðåäíåì:Z1u(x) =u(ξ) dS|Sx,r | Sx,r(134)ãäå |Sx,r | - ýòî ïëîùàäü ñôåðû. Äëÿ n=2 âñå àíàëîãè÷íî. Âòîðîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû î ñðåäíåìçàïèñûâàåòñÿ â âèäå:Z1u(x) =u(ξ) dξ(135)|Kx,r | Kx,rãäå |Kx,r | - ýòî îáúåì øàðà. Îíî ñëåäóåò èç ðàâåíñòâàZZ rZu(ξ) dξ =u(ξ) dS dρ.Kx,r0Sx,ρÈñïîëüçóÿ äîêàçàííûå óòâåðæäåíèÿ, ïîëó÷èì ïðèíöèï ìàêñèìóìà. Îí ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèìîáðàçîì:Òåîðåìà 0.14 Ðàññìîòðèì ãàðìîíè÷åñêóþ â Ω ôóíêöèþ u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω).
Òîãäà èëè u(x) =const, èëèminx∈∂Ω u(x) < u(x) < maxx∈∂Ω u(x)(136)äëÿ âñåõ x èç Ω.Ìû äîêàæåì óñèëåííûé ïðèíöèï ìàêñèìóìà, êîòîðûé ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:Òåîðåìà 0.15 Ïóñòü çàìûêàíèå îáëàñòè Ω åñòü ëèíåéíî-ñâÿçíûé êîìïàêò â Rn . Åñëè ãàðìîíè÷åñêàÿôóíêöèÿ u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) äîñòèãàåò âíóòðè îáëàñòè ñâîåãî ìèíèìóìà èëè ìàêñèìóìà íàãðàíèöå, òî îíà åñòü òîæäåñòâåííî const.Ïîíÿòíî, ÷òî ýòî óñëîâèå âëå÷åò äîñòèæåíèå ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèåé ñâîåãî ìèíèìóìà èëè ìàêñèìóìàâ Ω âíóòðè îáëàñòè. Òîãäà çàïèñàâ âòîðîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû î ñðåäíåì â òî÷êå äîñòèæåíèÿìèíèìóìà èëè ìàêñèìóìà è ó÷òÿ íåïðåðûâíîñòü ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè, ïîëó÷èì, ÷òî îíà íåîáõîäèìîåñòü const âíóòðè íåêîòîðîãî øàðà ñ öåíòðîì â ýòîé òî÷êå.
Òåïåðü, åñëè ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òîçàìûêàíèå íàøåé îáëàñòè åñòü ëèíåéíî-ñâÿçíûé êîìïàêò â Rn , òî ïîëó÷èì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.(Ñîåäåíèì òî÷êó ýêñòðåìóìà ñ ëþáîé äðóãîé òî÷êîé îáëàñòè ãëàäêîé êðèâîé, êîòîðóþ ïîêðîåìêîíå÷íûì ÷èñëîì âíóòðåííèõ øàðîâ, òàê ÷òîáû öåíòðû ñîñåäíèõ øàðîâ ëåæàëè â èõ ïåðåñå÷åíèè).Ïåðåéäåì òåïåðü ê äîêàçàòåëüñòâó âåùåñòâåííîé àíàëèòè÷íîñòè ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé. Èòàêóòâåðæäàåòñÿ, ÷òîÒåîðåìà 0.16 Ôóíêöèÿ u(x), ãàðìîíè÷åñêàÿ â îáëàñòè Ω, ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííî-àíàëèòè÷åñêîé.Çàìåòèì, ÷òî u ∈ C ∞ (Ω). Ýòî ñëåäóåò èç ïåðâîãî óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû î ñðåäíåì, â ñèëó áåñêîíå÷íîé∂ E(r)1äèôôåðåíöèðóåìîñòè=−ïî x âíóòðè ñôåðû.
(r = |x − ξ|) Äîêàæåì íåêîòîðóþ îöåíêó∂r4πr2íà ïðîèçâîäíûå îò ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè, êîòîðàÿ íàì ïðèãîäèòñÿ â äàëüíåéøåì.Òåîðåìà 0.17 (Àïðèîðíàÿ îöåíêà ïðîèçâîäíûõ) Ïóñòü u(x)-ãàðìîíè÷åñêàÿ â îáëàñòè Ω ⊂Rn ôóíêöèÿ èç êëàññà C 0 (Ω). Ïóñòü ïîäîáëàñòü Ω1 ⊂ Ω òàêîâà, ÷òî ðàññòîÿíèå d ìåæäó Ω1 è∂Ω áîëüøå íóëÿ. Òîãäà â òî÷êàõ x ∈ Ω1n|∂xα u(x)| ≤ ( )k k k max |u|,∂Ωδ(137)k = |α|,ãäå α = (α1 , .
. . , αn ), ∂ α = ∂xα11 · · · ∂xαnn , k - ëþáîå öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.Äîêàçàòåëüñòâî.Ñíà÷àëà äîêàæåì ãèïîýëëèïòè÷íîñòü îïåðàòîðà Ëàïëàñà, ò.å. äîêàæíåì, ÷òîëþáàÿ íåïðåðûâíàÿ îáîáùåííî-ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìîé.RÒåîðåìà 0.18 Ïóñòü ω(%)− íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà îòðåçêå 0 ≤ % ≤ R è ïóñòü Qx0 ω(s)ds = 1.Òîãäà, åñëè u(x) ãàðìîíè÷åñêàÿ â øàðå QxR0 ôóíêöèÿ èç êëàññà C 0 (QxR0 ), òîZu(x0 ) = QxR0 u(y)ω(|x0 − y|)dy.Äîêàçàòåëüñòâî.RÏî òåîðåìå î ñðåäíåìu(x0 ) =1|S%x0 |Zxuds.S% 0Óìíîæèì ýòî ðàâåíñòâî íà |S%x0 |ω(%) è ïðîèíòåãðèðóåì åãî ïî % îò íóëÿ äî R. Òîãäà ïîëó÷èìZRu(x0 ) = u(x0 )0Z=0R³ZxS% 0|S%x0 |ω(%)d% =Z´uω(%)ds d% =Qx0u(x)ω(|x − x0 |)dxÒåïåðü ïóñòü ôóíêöèÿZω(s) ∈ C ∞ ([0, ∞)), ω = 0, ∀ s ≥ 3/4, ω = 1 ∀ s ∈ [0, 1/4],1ω(s)ds = 1.0Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî äîñòàòî÷íî ìàëîãî d > 0 è ëþáîé ïîäîáëàñòè Ω1 ⊂ Ω, %(Ω1 , ∂Ω) =d > 0, èìååìZu(x) =u(y)ωd (|x − y|)dy,∀ x ∈ Ω1 , ωd (%) = ω(%/d)/d.Òàêèì îáðàçîì, ñðåäíÿÿ ôóíêöèÿ ud (x) îò ãàðìîíè÷åñêîé â Ω ôóíêöèè u(x) ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåéu(x) â îáëàñòè Ω1 .
Îòñþäà ñëåäóåò áåñêîíå÷íàÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòü u(x) â ïîäîáëàñòè Ω1 .  ñèëóïðîèçâîëüíîñòè d è ω1 ïîëó÷àåì áåñêîíå÷íóþ äèôôåðåíöèðóåìîñòü íåïðåðûâíîé ãàðìîíè÷åñêîéôóíêöèè u(x) â îáëàñòè ãàðìîíè÷íîñòè Ω.**********************Áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèþ ãàðìîíè÷åñêîé, åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿËàïëàñà. Äëÿ òàêèõ ôóíêöèé äîêàæåì íåêîòîðûå õàðàêòåðíûå óòâåðæäåíèÿ.  äàííîé ëåêöèèáóäåò ðàññìîòðåí ïðèíöèï ìàêñèìóìà äëÿ ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé, à òàêæå óñèëåííûé âàðèàíòýòîãî óòâåðæäåíèÿ; êðîìå òîãî, áóäåò ïîêàçàíà âåùåñòâåííàÿ àíàëèòè÷íîñòü ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé.Ðàññìîòðèì îáëàñòü Ω, ãäå4u = 0(138)è â íåé øàð Kx,r c öåíòðîì â òî÷êå x ðàäèóñà r, ãðàíèöåé ýòîãî øàðà ÿâëÿåòñÿ ñôåðà Sx,r . Ïîôîðìóëå Ïóàññîíà èìååì:Z∂Φ∂uu(x) =(u− Φ ) dS(139)∂n∂nSx,rÂòîðîå ñëàãàåìîå â ýòîé ôîðìóëå åñòü íóëü, òàê êàê Φ íà ñôåðå ðàâíÿåòñÿconst è âûíîñèòñÿ çà çíàê èíòåãðàëà, à íîðìàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ, ïðîèíòåãðèðîâàííàÿ ïî ñôåðå,äàñò íóëü â ñèëó ôîðìóëû Îñòðîãðàäñêîãî-Ãàóññà è ãàðìîíè÷íîñòè u â îáëàñòè.
Ïðè n=3 ïîëó÷èì11∂Φ1 ∂{ |x−ξ| }||x−ξ|=r = −||x−ξ|=r =∂nξ4π ∂|x − ξ|4πr2 èòîãå ïîëó÷àåì ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû î ñðåäíåì:Z1u(x) =u(ξ) dS|Sx,r | Sx,r(140)ãäå |Sx,r | - ýòî ïëîùàäü ñôåðû. Äëÿ n=2 âñå àíàëîãè÷íî. Âòîðîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû î ñðåäíåìçàïèñûâàåòñÿ â âèäå:Z1u(x) =u(ξ) dξ(141)|Kx,r | Kx,rãäå |Kx,r | - ýòî îáúåì øàðà. Îíî ñëåäóåò èç ðàâåíñòâàZZ rZu(ξ) dξ =u(ξ) dS dρ.Kx,r0Sx,ρÈñïîëüçóÿ äîêàçàííûå óòâåðæäåíèÿ, ïîëó÷èì ïðèíöèï ìàêñèìóìà.
Îí ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèìîáðàçîì:Ðàññìîòðèì ãàðìîíè÷åñêóþ â Ω ôóíêöèþ u(x). Òîãäà èëè u(x) = const, èëèminx∈∂Ω u(x) < u(x) < maxx∈∂Ω u(x)(142)äëÿ âñåõ x èç Ω.Ìû äîêàæåì óñèëåííûé ïðèíöèï ìàêñèìóìà, êîòîðûé ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:Åñëè ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ äîñòèãàåò âíóòðè îáëàñòè ñâîåãî ìèíèìóìà èëè ìàêñèìóìà íà ãðàíèöå,òî îíà åñòü òîæäåñòâåííî const.Ïîíÿòíî, ÷òî ýòî óñëîâèå âëå÷åò äîñòèæåíèå ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèåé ñâîåãî ìèíèìóìà èëè ìàêñèìóìàâ Ω âíóòðè îáëàñòè. Òîãäà çàïèñàâ âòîðîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû î ñðåäíåì â òî÷êå äîñòèæåíèÿìèíèìóìà èëè ìàêñèìóìà è ó÷òÿ íåïðåðûâíîñòü ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè, ïîëó÷èì, ÷òî îíà íåîáõîäèìîåñòü const âíóòðè íåêîòîðîãî øàðà ñ öåíòðîì â ýòîé òî÷êå. Òåïåðü, åñëè ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òîçàìûêàíèå íàøåé îáëàñòè åñòü ëèíåéíî-ñâÿçíûé êîìïàêò â Rn , òî ïîëó÷èì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.(Ñîåäåíèì òî÷êó ýêñòðåìóìà ñ ëþáîé äðóãîé òî÷êîé îáëàñòè ãëàäêîé êðèâîé, êîòîðóþ ïîêðîåìêîíå÷íûì ÷èñëîì âíóòðåííèõ øàðîâ, òàê ÷òîáû öåíòðû ñîñåäíèõ øàðîâ ëåæàëè â èõ ïåðåñå÷åíèè).Ïåðåéäåì òåïåðü ê äîêàçàòåëüñòâó âåùåñòâåííîé àíàëèòè÷íîñòè ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé.
Èòàêóòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ, ãàðìîíè÷åñêàÿ â îáëàñòè Ω, ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé.Çàìåòèì, ÷òî u ∈ C ∞ (Ω). Ýòî ñëåäóåò èç ïåðâîãî óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû î ñðåäíåì, â ñèëó áåñêîíå÷íîé1∂Φ=−ïî x âíóòðè ñôåðû. (r = |x − ξ|) Äîêàæåì íåêîòîðóþ îöåíêó íàäèôôåðåíöèðóåìîñòè∂r4πr2ïðîèçâîäíûå îò ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè, êîòîðàÿ íàì ïðèãîäèòñÿ â äàëüíåéøåì.n|Dxα u(x)| ≤ M ( )k k k(143)δãäå δ - ðàññòîÿíèå îò òî÷êè x äî ãðàíèöû îáëàñòè Ω, k = |α| - ïîðÿäîê ïðîèçâîäíîé, è u(x) ≤ M âîáëàñòè.Äîêàçàòåëüñòâî ïðîèçâîäèòñÿ èíäóêöèåé ïî k.Ïóñòü k=1.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, êàê è ðàíüøå, ëèïøåöåâîñòü ãðàíèöû îáëàñòè, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ååìîæíî êîñíóòüñÿ âíóòðåííèì øàðîì ðàäèóñà δ ñ öåíòðîì â òî÷êå x. Ýòî ïîçâîëÿåò ðàáîòàòü òîëüêîâíóòðè ýòîãî øàðà áåç äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè îá îáëàñòè è åå ãðàíèöå. Òàê êàê ÷àñòíàÿïðîèçâîäíàÿ îò ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè ñàìà ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé, òî äëÿ íåå ñïðâåäëèâà òåîðåìàî ñðåäíåì.
Äëÿ ëþáîãî δ 0 < δZZnnuxi (x) =uξ dξ =u(ξ)νi dSξ(144)σn δ 0n |ξ−x|<δ0 iσn δ 0n |ξ−x|=δ0(Êîýôôèöèåíò ïåðåä èíòåãðàëîì áûë âû÷èñëåí äëÿ n=2,3, äëÿ ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè ïðîñòîñ÷èòàåì åãî èçâåñòíûì). Òîãäà ïîëó÷àåìZnnn|uxi (x)| ≤|u(ξ)|dSξ ≤ Mσn δ 0n−1 = M 0(145)0n0nσn δσn δδ|ξ−x|=δ 0Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè δ 0 → δ , ïîëó÷èì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå. Òåïåðü ñ÷èòàåì, ÷òî òåîðåìàδ0äîêàçàíà äëÿ âñåõ |α| ≤ k − 1, k ≥ 2. Ðàññìîòðèì äâà øàðà {x − ξ} < δ 0 è {x − ξ} < . Òîãäà äëÿkëþáîé òî÷êè èç âòîðîãî øàðà è ëþáîãî β , |β| = k − 1, âåðíî|Dβ u(ξ)| ≤ M (nδ0 −δ0k)k−1 (k − 1)k−1 = M (n k−1 k−1)kδ0(146)Òåïåðü ïî óæå äîêàçàíîìó äëÿ ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ óòâåðæäåíèþ, ïðèìåíåííîìó êî âòîðîìó øàðóñ const èç îöåíêè (9), ìû ïîëó÷èì òî, ÷òî òðåáîâàëîñü.(Êàê è ðàíüøå ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó ïðè δ 0 → δ ).Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè u(x) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ â íåêîòîðîì øàðå ñ öåíòðîìâ òî÷êå x è ïðè òîì ê åå çíà÷åíèþ.
Èç ôîðìóëû Ñòèðëèíãà ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò C > 0, òàêîå,÷òî äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ kX (|α|)!(|α|)!k k ≤ Cek k!. Êðîìå òîãî, èç òîæäåñòâà nk =ñëåäóåò, ÷òî≤ n|α| . Ðàññìîòðèì äâàα!α!|α|=køàðà ñ öåíòðàìè â òî÷êå x è ðàäèóñàìè 2δ è 4δ . Îáîçíà÷èì ìàêñèìóì ôóíêöèè â áîëüøåì øàðå÷åðåç M . Äëÿ ëþáîé òî÷êè èç ìåíüøåãî øàðà èìååì îöåíêó|Dα u| ≤ M (4n |α| |α|) |α|δ(147)4n2 e |α|) α!δ(148)Ó÷èòûâàÿ ïîëó÷åííûå âûøå îöåíêè èìååì|Dα u| ≤ CM (δ. Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî4n2 eýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè u(x). Îñòàòî÷íûé ÷ëåí ôîðìóëû Òåéëîðà ðàâåíÒåïåðü âèäíî, ÷òî ðÿä Òåéëîðà àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ â øàðå ðàäèóñàRN (y) =X Dα u(x∗ )(x − y)αα!(149)|α|=NÁóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî y ïðèíàäëåæèò øàðó åùå ìåíüøåãî ðàäèóñàøàðó ðàäèóñà 4δ è äëÿ íåå âåðíî (11).
ÏîýòîìóRN (y) =X|α|=NCM (δ8n3 e .Î÷åâèäíî, ÷òî x∗ ïðèíàäëåæèò4n2 e N δ NCM NCM) ( 3 ) ≤n = Nδ8n e(2n)N2(150)Òàêèì îáðàçîì, îñòàòî÷íûé ÷ëåí ôîðìóëû Òåéëîðà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ýòèì çàêàí÷èâàåòñÿ äîêàçàòåëüñòâîóòâåðæäåíèÿ.Ïðèëîæåíèå ê Ëåêöèè 13.Çàäà÷èËåêöèÿ XIV. Ñóáýëëèïòè÷åñêèå è ñóïåðýëëèïòè÷åñêèå ôóíêöèè.Ðàññìîòðèì äâà âàæíûõ êëàññà ôóíêöèé, äëÿ êîòîðûõ áóäóò ïîëó÷åíû íåêîòîðûå ñâîéñòâà, õàðàêòåðèçóþùèåýëëèïòè÷åñêèé îïåðàòîð.L=nXaij (x)∂xi ∂xj +i,j=1nXbi (x)∂xi + c(x)(151)i=1Êîýôôèöèåíòû îïåðàòîðà ñ÷èòàåì ãëàäêèìè è âåùåñòâåííûìè (åñëè ýòî óñëîâèå íå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì,òî òðåáóåì òîëüêî èõ èçìåðèìîñòü).
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ êîýôôèöèåíòîâ aij (x) âûïîëíåíîóñëîâèå ðàâíîìåðíîé ýëëèïòè÷íîñòè, ò.å.XC1 ≤aij (x)ξi ξj ≤ C2(152)ãäå |ξ| = 1. Èç ëèíåéíîé àëãåáðû èçâåñòíî, ÷òî ýòî óñëîâèå äàåò îãðàíè÷åííîñòü ñîáñòâåííûõçíà÷åíèé äëÿ aij (x). Òàêæå ñ÷èòàåì, ÷òî ïåðâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ñòðîãî áîëüøå íóëÿ (à çíà÷èòè âñå îñòàëüíûå).min|ξ|=1 {aij ξi ξj } = λ1 > 0(153)Îïðåäåëèì ïîñòîÿííóþ ýëëèïòè÷íîñòèPPaii (x)λiPe = supx∈Ω= supx∈Ωmin|ξ|=1 aij ξi ξjλ1(154)Î÷åâèäíî, ÷òî èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò e ≥ n. (Äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà ïðîñòî ðàâåíñòâî).Ïåðåéäåì ê îïðåäåëåíèþ óïîìÿíóòûõ âûøå ôóíêöèé.
Îáîçíà÷èì ãëàâíóþ ÷àñòü îïåðàòîðà L ÷åðåçL0 .nXL0 =aij (x)∂xi ∂xj(155)i,j=1Ôóíêöèÿ u(x) íàçûâàåòñÿ ñóáýëëèïòè÷åñêîé (ñóïåðýëëèïòè÷åñêîé), åñëè L0 u ≥ 0 (ñîîòâåòñòâåííîL0 u ≤ 0).Äîêàæåì âûïóêëîñòü ýòèõ ôóíêöèé, ò.å. ÷òî ó íèõ íåò ëîêàëüíûõ max è min ñîòâåòñòâåííî. Ïðîâåäåìäîêàçàòåëüñòâî òîëüêî äëÿ ñóáôóíêöèé, à èìåííî äîêàæåì, ÷òîu(x) ≤ max∂Ω uÏóñòü ñíà÷àëà âî âíóòðåííåé òî÷êå max x0 âûïîëíåíî ñòðîãîå íåðàâåíñòâîL0 u(x0 ) > 0.  ýòîé òî÷êå ïðèâåäåì îïåðàòîð ê ãëàâíûì îñÿìX2L0 u(x0 ) =λi ∂iiu(x0 ) ≤ 0(156)(157)òàê êàê âòîðûå ïðîèçâîäíûå â òî÷êå max íåïîëîæèòåëüíû.
Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå, çíà÷èò òàêîéòî÷êè íå ñóùåñòâóåò.Òåïåðü ïóñòü íåðàâåíñòâî íåñòðîãîå. Ââåäåì íîâóþ ôóíêöèþVε = u(x) + εx21(158)L0 Vε = L0 u + 2εa11 > 0(159)u(x) ≤ Vε (x) ≤ max∂Ω u + εmax∂Ω x21(160)ãäå ε > 0. ÒîãäàÈç ïåðâîãî ïóíêòà ñëåäóåò, ÷òîÓñòðåìèâ ε ê íóëþ, ïîëó÷èì òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.Çàìåòèì, ÷òî ýòè óòâåðæäåíèÿ ñïðàâåäëèâû äëÿ ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêêöèé, êîòîðûå ïðèíàäëåæàòîäíîâðåìåííî îáîèì êëàññàì ôóíêöèé.Ðàññìîòðèì äåéñòâèå ýëëèïòè÷åñêîãî îïåðàòîðà íà ôóíêöèè ñïåöèàëüíîãî âèäà, à èìåííîãäå x0 ∈ Ω. Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òîL01≥0|x − x0 |s1|x − x0 |s(161)â Rn \{x0 }, åñëè s ≥ e − 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
