Е.В. Радкевич - Лекции по урматфизу (1120444), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé âëîæåíèÿ: åñëè u ∈ Hs+r è 2r > n, òî u ∈ C s (Rn ). Êðîìå òîãî, åñëèïîñëåäîâàòåëüíîñòü um ñõîäèòñÿ â Hs+r , òî îíà ñõîäèòñÿ â C s (Rn ). Áûëî äîêàçàíî, ÷òîkukC s ≤ M kukHs+r .Ïðåäñòàâèì m = s + r è ïðåäïîëîæèì, ÷òî s ≥ 0 è 2r > n. Òîãäà° k°°°°°e °uk − ul ° ≤ C °ϕk0 − ϕl0 ° .°u − ul ° s ≤ CCmmýòî îçíà÷àåò, ÷òî uk → u ðàâíîìåðíî ïî t, x âìåñòå ñî âñåìè ïðîèçâîäíûìè ïî x äî s-òîãî ïîðÿäêàâêëþ÷èòåëüíî. Ôóíêöèè uk (t, x) è ïðîèçâîäíûå ïî x äî ïîðÿäêà s âêëþ÷èòåëüíî îò uk (t, x) ñõîäÿòñÿðàâíîìåðíî ïî t è x, íî ïðîèçâîäíûå ïî t îò uk (t, x) âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïðîèçâîäíûå ïî x èçñèñòåìû I) è ñèñòåì, ïîëó÷åííûõ èç íåå äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî t è x.
Ïîýòîìó, ëþáûå ïðîèçâîäíûåïî t, x äî ïîðÿäêà s âêëþ÷èòåëüíî îò uk (t, x) ñõîäÿòñÿ ðàâíîìåðíî â Rn+1 ïðè k → ∞. Ïåðåõîäÿ êïðåäåëó ïðè k → ∞ â ñèñòåìå I), ïîëó÷èì,÷òî ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ u ∈ C s , s ≥ 1, åñòü ðåøåíèå¯ñèñòåìû I) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì u¯t=0 = ϕ0 , ϕ0 ∈ Hm . Äëÿ òîãî ÷òîáû s ≥ 1, íóæíî áðàòü£ ¤m ≥ n2 + 2.Ïðèìåð Ðàññìîòðèì âîëíîâîå óðàâíåíèåutt − ∆u = 0,∆u =nXuxj xj .j=1Çàäà÷à Êîøè:¯¯u¯t=0utt − ∆u = 0,¯¯= ϕ0 , ut ¯= ϕ1 .(3.18)t=0câîäèòñÿ ê çàäà÷å Êîøè äëÿ ñèììåòðè÷åñêîé ñèñòåìû ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè.Ðàññìîòðèì âåêòîð-ôóíêöèþ(u, ut , ¢ux1 , .
. . , uxn ), ÷èñëî êîìïîíåíò N = n + 2. Ïåðåîáîçíà÷èì èõ¡ñëåäóþùèì îáðàçîì u, u0 , u1 , . . . , un . Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (3.18) î÷åâèäíî óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå0 ut − uP = 0n0ut − j=1 ujxj = 0(3.19) jut − u0xj = 0, j = 1, . . . , nñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè ¯¯u¯= ϕ0¯ t=0¯u0 ¯= ϕ1t=0 j ¯¯0 u ¯= ∂ϕ∂xj .(73)t=0Èòàê, ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè äëÿ ñèììåòðè÷íîéñèñòåìû. Îáðàòíî, ïóñòü èìååòñÿ ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (3.19). Ïîêàæåì, ÷òî u åñòü ðåøåíèå âîëíîâîãîóðàâíåíèÿ ñ óñëîâèÿìè (3.18). Äëÿ ýòîãî íóæíî äîêàçàòü, ÷òîuj = uxj ,j = 1, . .
. , N.Ïîñëåäíèå n óðàâíåíèé ñèñòåìû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå¢∂ ¡ ju − uxj = 0,∂tj = 1, . . . , n.Ñëåäîâàòåëüíî, uj − uxj íå çàâèñèò îò t. Íî ïðè t = 0 èìååì uj = uxj . Çíà÷èò, ýòî âåðíî è äëÿëþáîãî t.Ïðèíöèï Äþàìåëÿ Ðàññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó II)(ut +Pnj=1Aj¯ uxj + Bu = f (t, x),,¯u¯= 0.t=0äëÿ ñèñòåìû ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è ïîëó÷èì ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëàÄþàìåëÿ. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ðåøåíèå v(t, x, τ ) çàäà÷è I) âèäàPn(u¯t + j=1 Aj uxj + Bu = 0¯u¯= f (τ, x).t=τÁóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî1.
f ∈ C ∞ (Q),2. f ∈ Sx äëÿ ëþáîãî t, ïðè÷åì ïîñòîÿííûå íå çàâèñÿò îò t.Çäåñü Q = {0 ≤ t ≤ T ; x ∈ Rn }. Ìû ïîêàçàëè, ÷òî v(t, x, τ ) áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìàÿôóíêöèÿ t è x. Ðàññìîòðèì èíòåãðàë ÄþàìåëÿZ tu(t, x) =v(t, x, τ )dτ.0Äîêàæåì, ÷òî ýòîò èíòåãðàëäàåò ðåøåíèå çàäà÷è II.¯Ëåãêî âèäåòü, ÷òî u¯t=0 = 0. Äàëåå, èç ïðåäñòàâëåíèÿ v(t, x, τ ) ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Ôóðüå,ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâà ôóíêöèè f (t, x) âûâîäèì, ÷òî v(t, x, τ ), vt (t, x, τ ) è vxj (t, x, τ ) íåïðåðûâíî çàâèñÿòîò τ . Äàëåå èìååìZ t∂vut (t, x) =dτ + v(t, x, t).0 ∂tÒàê êàê v(τ, x, τ ) = f (τ, x), òîZtut (t, x) =0∂vdτ + f (t, x),∂tZuxj (t, x) =0t∂vdτ.∂xjÑëåäîâàòåëüíî,ut +nXAj uxj + Bu =j=1Z t³vt +0òàê êàêvt +nX´Aj vxj + Bv dτ + f (t, x) = f (t, x),j=1nXAj vxj + Bv = 0.j=1Ïðèëîæåíèå ê Ëåêöèè 8.Çàäà÷è1.
Äîêàæèòå, ÷òî ïîëó÷åííîå ðåøåíèå çàäà÷è II ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèåéîò x è t. Êàêóþ ãëàäêîñòü èìååò ðåøåíèå çàäà÷è II, åñëè f (t, x) èìååò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëîïðîèçâîäíûõ ïî t?2. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ãèïåðáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìèçàäà÷à Êîøè ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å Êîøè äëÿ ñèììåòðè÷åñêîé ñèñòåìû ïåðâîãî ïîðÿäêà.Ëåêöèÿ IX. Êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ âîëíîâîãîóðàâíåíèÿÏëîñêèå, ïîâåðõíîñòíûå è öèëèíäðè÷åñêèå âîëíû Ïëîñêîé âîëíîé íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåóðàâíåíèÿ∂t2 u = a2 ¤ u,¤=nX∂x2j ,(74)j=1êîòîðîå ïðè ôèêñèðîâàííîì t ïîñòîÿííî íà êàæäîé ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé íåêîòîðîé çàäàííîéïëîñêîñòè.
Ïîâîðîòîì â x− ïðîñòðàíñòâå ëåãêî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû ðàññìàòðèâàåìîå ñåìåéñòâîïëîñêîñòåé èìåëî âèä x1 = const. Òîãäà ïëîñêàÿ âîëíàýòî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (121), çàâèñÿùååëèøü îò t è x1 . Íî òîãäà îíî ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì îäíîìåðíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ∂t2 u = a2 ∂x2 u,ò.å. èìååò âèäu(t, x) = f (x1 − at) + g(x1 − at),ñ ëþáûìè ïðîèçâîëüíûìè ôóíêöèÿìè f, g . Äî ïîâîðîòà êàæäîå ñëàãàåìîå èìåëî î÷åâèäíî âèäf (k˙x − at), k ∈ R, |k| = 1. ×òîáû ñäåëàòü àðãóìåíò ôóíêöèè f áåçðàçìåðíîé âåëè÷èíîé â ôèçèêåè ìåõàíèêå èñïîëüçóåòñÿ äðóãîé ñïîñîá çàïèñè f (k˙x − ω t), ãäå k óæå íå åäèíè÷íûé âåêòîð. Åñëèt èçìåðÿåòñÿ â ñåêóíäàõ, x â ìåòðàõá òî ω -â 1/ñåê, à k â 1/ì. Ïîäñòàâëÿÿ ðåøåíèå òèïà ïëîñêîéâîëíû â (121) ïîëó÷èì äèñïåðñèîííîå óðàâíåíèåω 2 − a2 |k|2 = 0ßñíî, ÷òî ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ôðîíòà ïëîñêîé âîíû f (k˙x − at)(ò.å.
ïëîñêîñòè, ãäå f èìååò äàííîåçíà÷åíèå) ðàâíà a = ω/|k|. Óðàâíåíèå òàêîãî ôðîíòà k˙x−at = const. Âàæíûé ïðèìåð ïëîñêîé âîëíûei(k˙x−at) .  ýòîì ñëó÷àå êàæäàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà x ñîâåðøàåò ñèíóñîèäàëüíûå êîëåáàíèÿñ ÷àñòîòîé ω , à ïðè ôèêñèðîâàííîì t âîëíà ñèíóñîèäàëüíî çàâèñèò îò k˙x, òàê ÷òî ïðîèñõîäèòñèíóñîèäàëüíîå èçìåíåíèå ïî íàïðàâëåíèþ âåêòîðà k ñî ñêîðîñòüþ |k|. Âåêòîð k íàçûâàþò âîëíîâûìâåêòîðîìÄàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðàçìåðíîñòü n = 3 è èçó÷èì ñôåðè÷åñêèå âîëíûðåøåíèÿ (121),çàâèñÿùèå òîëüêî îò t è r = |x|, ò.å. u = u(t, r):21 2∂ u = ∂r2 u + ∂r ua2 tr(75)Åñëè óìíîæèòü íà r, ïîëó÷èì1 2∂ (ru) = ∂r2 (ru),a2 tîòêóäà îïÿòü ïîëó÷èì ru = f (r − at) + g(r + at), ò.å.u(t, r) =f (r − at) g(r + at)+.rrðàñõîäèòñÿ îò òî÷êè 0 ∈ R3 , âîëíà æå g(r−at)Ýòî îáùèé âèä ñôåðè÷åñêîé âîëíû.
Âîëíà f (r−at)rríàîáîðîò, ñõîäèòñÿ ê íåé.  ýëåêòðîäèíàìèêå îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò âîíó, ðàñõîäÿùóþñÿ îò èñòî÷íèêà.Ôðîíòîì ðàñõîäÿùåéñÿ îò èñòî÷íèêà âîëíû åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü ñôåðó r − at = const. Ñêîðîñòüðàñïðîñòðàíåíèÿ ôðîíòà ïîïðåæíåìó a.×òî òàêîåöèëèíäðè÷åñêàÿâîëíà? Ýòî ðåøåíèÿ, çàâèñÿùèå îò t è ðàññèîÿíèÿ äî îñè x3 , ò.å.pu = u(t, %), % = x21 + x22 ðåøåíèå óðàâíåíèÿ äëÿ n = 2. Îäíàêî åãî óäîáíî ñ÷èòàòü ðåøåíèåì äëÿn = 3, íåçàâèñÿùèì îò x3 . Îäèí èç ñïîñîáîâ ïîñòðîåíèÿ öèëèíäðè÷åñêîé âîëíûâçÿòü ñóïåðïîçèöèþîäèíàêîâûõ ñôåðè÷åñêèõ âîëí, ðàñõîäÿùèõñÿ èç âñåõ òî÷åê îñè x3 (èëè ê íåé ñõîäÿùèõñÿ).
Ïóñòüe3 åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé ïî îñè x3 . Òîãäà öèëèíäðè÷åñêàÿ âîëíàZ +∞Z +∞f (|x − ze3 | − at)g(|x − ze3 | − at)v(t, x) =dz +dz(76)|x − ze3 ||x − ze3 |−∞−∞Ïîëîæèìr = |x − ze3 | =pq%2 + (x3 − z)2 , % =x21 + x22 .ßñíî ÷òî v(x, t) íå çàâèñèò îò x3 è çàâèñèò ëèøü îò (t, %). Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî x3 = 0( ñäâèã ïîz ). Òîãäà ïîä çíàêîì èíòåãðàëîâ ñòîÿò ÷åòíûå ôóíêöèè îò z è èíòåãðàë äîñòàòî÷íî ñîñ÷èòàòü îò 0äî +∞. Ââåäåì r â êà÷åñòâå ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ âìåñòî z , òîãäàrrzdz, dz = dr = pdrrzr 2 − %2Z ∞Z ∞g(r + at)f (r − at)ppdr + 2drv(t, %) = 222r −%r 2 − %200Z ∞Z ∞g(ξ)f (ξ)ppdr + 2drv(t, %) = 222(ξ + at) − %(ξ − at)2 − %20%−atdr =èëèÈíòåãðàëû ñõîäÿòñÿ, åñëèZ ∞M|f (ξ)|dξ < ∞,|ξ|Z∞M|g(ξ)|dξ < ∞, M > 0.|ξ|Äðóãîé ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ öèëèíäðè÷åñêîé âîëíûèñêàòü åå â âèäå v(%, t) = eiω t f (%). Òîãäà f ðåøåíèå óðàâíåíèÿ1ωf 00 + f 0 + k 2 f = 0, k = .%aÒåïåðü ìîæíî âçÿòü ñóïåðïîçèöèþ òàêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí, èíòåãðèðóÿ ïë ω .Ñôåðè÷åñêèå âîëíû îò ìãíîâåííîé âñïûøêè.
Ðàññìîòðèì îáîùåííóþ ðàñõîäÿùóþñÿâîëíóδ(r − at)δ(r − at)=, r = |x|,rat(åå ìîæíî ñ÷èòàòü îáîáùåííîé ôóíêöèåé ïî x, çàâèñÿùåé îò ïàðàìåòðà t), êîòîðóþ îïðåäåëèì êàêñëàáûé ïðåäåëδ(r − at)fj (r − at)= limj→∞rrR∞1ãäå fj - δ îáðàçíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fj (s) ∈ C0 (R ), fj ≥=, fj = 0 f orall|s| ≥ 1/k, èfj ds = 1.ÈìååìZZ ∞Z´³ϕ(x)dSr dr,< fj (r − at), ϕ >=f (|x| − at)ϕ(x)dx =fj (r − at)R30|x|=rRãäå dSr ýëåìåíò ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè ñôåðû ðàäèóñà r. ßñíî ÷òî èíòåãðàë |x|=r ϕ(x)dSr ÿâëÿåòñÿc∞ ôóíêöèåé îò r, r > 0.
Ïîñêîëüêó limj→∞ fj (s) = δ(s), òîZZ< δ(r − at), ϕ >= lim < fj (r − at)ϕ >=ϕ(x)dSr = lim < fj (r − at)ϕ >=ϕ(x)dSatj→∞j→∞|x|=r|x|=rÅñëè ïåðåéòè ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî åäèíè÷íîé ñôåðå, ïîëó÷èìZ2 2< δ(r − at), ϕ >= a tϕ(at x0 )dS1 .|x|=1Îòñþäà<Zδ(r − at), ϕ >= a trϕ(at x0 )dS1 .(77)|x|=1Ïîëåçíî èçó÷èòü çàâèñèìîñòü îò ïàðàìåòðà t. Î÷åâèäíî δ(r−at)= 0, t < 0 è, ïî íåïðåðûâíîñòè (ñì.r(77))δ(r − at)|t=0 = 0.rÍàêîíåö èç (77)ñëåäóåò C ∞ ýòîé îáîáùåííîé ôóíêöèè ïî t:d δ(r − at)dδ(r − at), ϕ >=<, ϕ >= adtrdtrÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òîlint→+0 ∂tZ|x0 |=1ϕ(atx0 )dS1 + a2 t³ δ(r − at) ´r3 ZXj=1|x0 |=1xj ∂xj ϕ ∗ atx0 dS1 .= 4π aδ(x).Ôîðìóëà Êèðõãîôà Ïî ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè g(x) ∈ C 2 (R3 ) ïîñòðîèì ôóíêöèþ Mg (t, x),t > 0, ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó:Mg (t, x) =14πa2 tZg(ξ)dSξ ,|ξ−x|=at(78)dSξ ýëåìåíò ïëîùàäè íà ñôåðå ðàäèóñà at (ñ öåíòðîì â x). Èëè, äåëàÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ â(78) ξ = x + atη , dSξ = (at)2 dSη , ãäå dSη ýëåìåíò ïëîùàäè íà åäèíè÷íîé ñôåðå (ñ öåíòðîì â 0),ïîëó÷àåì äðóãîé âèä îïåðàòîðà Mg (t, x) :Ztg(x + atη)dSη ,(79)Mg (t, x) =4π |η|=1Èç ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ â ÷àñòíîñòè âèäíî, ÷òî ãëàäêîñòü ôóíêöèè Mg (t, x) ñîâïàäàåò ñ ãëàäêîñòüþôóíêöèè g(x).Ïðåäëîæåíèå 0.5 Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè g(x) ∈ C 2 (R3 ) èìååì:∂2Mg (t, x) = a2 ∆Mg (t, x),∂t2¯¯Mg (t, x)¯= 0,t=0¯∂Mg (t, x) ¯= g(x).¯∂tt=0t > 0,x ∈ R3 ,(80)(81)(82)Äîêàçàòåëüñòâî.Íà÷àëüíîå óñëîâèå (81) î÷åâèäíîå ñëåäñòâèå (79).Èç (79) òàêæå íàõîäèì:ZZ1t∂Mg (t, x) =g(x + atη)dSη +(∇g(x + atη), aη) dSη .∂t4π |η|=14π |η|=1(83)Ó÷èòûâàÿ òî, ÷òî g(x) ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ, èìååìZ∂Mg (t, x) ¯¯1=g(x)dSη = g(x),¯∂t4π |η|=1t=0è íà÷àëüíîå óñëîâèå (82) òàêæå èìååò ìåñòî.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (80) ïðåîáðàçóåì ðàâåíñòâî (83) ê âèäó:Z∂MgatMg (t, x) =+(∇g(x + atη), η) dSη∂tt4π |η|=1ZZ1Mg1Mg+(∇g(ξ), η) dSξ =+∆g(ξ)dξ.=t4πat |ξ−x|=att4πat |ξ−x|<at(84)Çäåñü ìû âíîâü âåðíóëèñü ê ïåðåìåííûì ξ = x + atη , à çàòåì ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ ∇g(ξ)÷åðåç ïîâåðõíîñòü ñôåðû |ξ − x| = at (η â òî÷íîñòè âåêòîð åäèíè÷íîé íîðìàëè ê ýòîé ñôåðå)ïðåîáðàçîâàëè, â ñîîòâåòñòâèåì ñ ôîðìóëîé ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî, ê èíòåãðàëó îò äèâåðãåíöèèdiv (∇g(ξ)) = ∆g(ξ) ïî øàðó |ξ − x| < at.
Äàëåå, äèôôåðåíöèðóÿ (84) ïî t åùå ðàç, èìååìÃZ!∂21 ∂Mg (t, x) =∆g(ξ)dξ ,(85)∂t24πat ∂t|ξ−x|<atòàê êàê∂∂tµMgt¶==∂∂tÃ14πat!Z∆g(ξ)dξ|ξ−x|<at=Z1 ∂MgMg1MgMg − 2 = 2 +∆g(ξ)dξ − 2t ∂ttt4πat2 |ξ−x|<attZ1∆g(ξ)dξ;4πat2 |ξ−x|<atÃZ!Z11 ∂−∆g(ξ)dξ +∆g(ξ)dξ .4πat2 |ξ−x|<at4πat ∂t|ξ−x|<atÏðîèçâîäíàÿ â ïðàâîé ÷àñòè (85) ëåãêî ñ÷èòàåòñÿ, åñëè ïåðåéòè ê ñôåðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì:ÃZ!ÃZ Z!Zat∂∂2∆g(ξ)dξ=∆g(x + rη)r dSη dr = a∆g(x + atη)(at)2 dSη∂t∂t|ξ−x|<at0|η|=1|η|=1Z2∆g(x + atη)dSη .= a(at)|η|=1Îòñþäàa2 t∂2M(t,x)=g∂t24πZ∆g(x + atη)dSη .|η|=1Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç (79) èìååì:∆Mg (t, x) =t4πZ∆g(x + atη)dSη ,|η|=1è (80) äîêàçàíî.Òåîðåìà 0.7 Ïóñòü ϕ(x) ∈ C 3 (R3 ), ψ(x) ∈ C 2 (R3 ). Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè½utt = a2 ∆u(t, x),t > 0, x ∈ R3 ,u|t=0 = ϕ(x),ut |t=0 = ψ(x).(86)çàäàåòñÿ ôîðìóëîé Êèðõãîôàu(t, x) =∂Mϕ (t, x) + Mψ (t, x),∂t(87)ãäå îïåðàòîð M îïðåäåëåí â (78)(79).Äîêàçàòåëüñòâî.Äåéñòâèòåëüíî, êàê äîêàçàíî â Ïðåäëîæåíèè 0.5, ôóíêöèÿ uII (t, x) ≡Mψ (t, x) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîø误2IIII ¯II ¯uII=a∆u(t,x),u=0,u= ψ(x).(88)¯ttt ¯t=0t=0Ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ uI (t, x) ≡ ∂Mϕ (t, x)/∂t ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷è:¯¯¯uItt = a2 ∆uI (t, x),uI ¯t=0 = ϕ(x),uIIt t=0 = 0.(89)Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê ϕ(x) ∈ C 3 (R3 ), òî Mϕ (t, x) ∈ C 3 (R+ ×R3 ), è ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ Mϕ (t, x)óäîâëåòâîðÿåò âîëíîâîìó óðàâíåíèþ, òî è uI , êàê ïðîèçâîäíàÿ Mϕ (t, x), òàêæå óäîâëåòâîðÿþò ýòîìóóðàâíåíèþ.
 ñèëó (82) ïîëó÷àå쯯uI ¯t=0=¯∂¯Mϕ (t, x)¯= ϕ(x),∂tt=0à ââèäó (80) è (81) èìååì:¯¯∂uI ¯¯∂2¯¯= 2 Mϕ (t, x)¯= a2 ∆Mϕ (t, x)¯= 0.¯∂t t=0∂tt=0t=0Èç (88) è (89) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ u(t, x) = uI (t, x) + uII (t, x) óäîâëåòâîðÿåò (86).Ìåòîä ñïóñêà. Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè â ñëó÷àå n = 2. Ôîðìóëà ÏóàññîíàÐåøèì òåïåðü çàäà÷ó Êîøè â ñëó÷àå äâóõ ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ, òî åñòü x ∈ R2 . Çäðàâûéñìûñë ïîäñêàçûâàåò, ÷òî, óìåíüøèâ êîëè÷åñòâî ïåðåìåííûõ, ìû íå äîëæíû ïîëó÷èòü áîëåå ñëîæíóþçàäà÷ó.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
