Е.В. Радкевич - Лекции по урматфизу (1120444), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Ïî ñóùåñòâóýòî îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (x̃ çäåñü ïðèñóòñòâóåò óæå êàê ïàðàìåòð, ïîíåìó íè÷åãî íå äèôôåðåíöèðóåòñÿ è íè÷åãî íå èíòåãðèðóåòñÿ), åãî ðåøåíèå èìååò âèä u = C(x̃).Âåðíóâøèñü ê èñõîäíûì ïåðåìåííûì, ìû ïîëó÷àåì îáùèé âèä ðåøåíèÿ íàøåãî óðàâíåíèÿ: u(t, x) =C(x + t), ãäå C ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ.Ýòó ôîðìóëó ìû ïîëó÷èëè åùå ìåòîäîì ðÿäîâ, íî òîãäà C îêàçûâàëàñü ïðîèçâîëüíîé àíàëèòè÷åñêîéôóíêöèåé. Î òîì, ÷òî ìîæíî óìåíüøèòü òðåáîâàíèÿ íà C , ìû òîãäà ïðîñòî äîãàäàëèñü.
Òåïåðü æåôîðìóëà ðåøåíèÿ ïîëó÷åíà â ãîðàçäî áîëåå ìÿãêèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ. Ñîâåðøåííî ÿñíî, ÷òî äëÿòîãî, ÷òîáû ìîæíî áûëî âû÷èñëÿòü ïðîèçâîäíûå, íåîáõîäèìî, ÷òîáû u áûëà äèôôåðåíöèðóåìîé.Îáû÷íî äëÿ òîãî, ÷òîáû óïðîñòèòü ñåáå çàäà÷ó, ïðåäïîëàãàþò íåñêîëüêî áîëüøå ÷òî u ÿâëÿåòñÿíåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé. Ýòî ïîçâîëÿåò áåçî âñÿêèõ îãîâîðîê îñóùåñòâëÿòü çàìåíû ïåðåìåííûõ(íàïðèìåð, òàêèå, êàê ìû ñäåëàëè òîëüêî ÷òî). Òàêèì îáðàçîì, îáùåå ðåøåíèå íàøåãî óðàâíåíèÿâ êëàññå íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé u(t, x) = C(x + t), ãäåC(x, t) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ.Ñ ïîìîùüþ òîé æå ñàìîé çàìåíû ïåðåìåííûõ ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ utt =uxx â êëàññå äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé u(t, x) =f (x + t) + g(x − t), ãäå f è g ïðîèçâîëüíûå äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè.Îòìåòèì â ñâÿçè ñ ýòèì íåáîëüøîé ïàðàäîêñ.
Óðàâíåíèå ut̃x̃ = 0, ê êîòîðîìó ñâîäèòñÿ utt = uxx ,èìååò ðåøåíèå u(t̃, x̃) = f (x̃) + g(t̃), ïðè÷åì íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ óäîâëåòâîðåíèÿ óðàâíåíèþut̃x̃ = 0 äîñòàòî÷íî ëèøü îäíîêðàòíîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè f è g . À ïîñëå âîçâðàòà ê èñõîäíûìïåðåìåííûì òðåáîâàíèÿ ê äèôôåðåíöèðóåìîñòè ðåçêî âîçðàñòàþò. Îòêóäà îíè áåðóòñÿ?Âñå äåëî îêàçûâàåòñÿ èìåííî â çàìåíå ïåðåìåííûõ. Áåç òðåáîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîé (âòîðîé)äèôôåðåíöèðóåìîñòè ìû íå ìîæåì âûïîëíèòü îáðàòíóþ çàìåíó â óðàâíåíèè è íå ìîæåì äîêàçàòü,÷òî ïîëó÷åííûå íàìè ôóíêöèè äàþò ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî ìû èìååì ïðàâî äåëàòüçàìåíû ïåðåìåííûõ áåç êàêèõ-ëèáî îãîâîðîê íåìåäëåííî ïðèâîäèò íàñ ê òðåáîâàíèþ ñóùåñòâîâàíèÿ(è, äëÿ ïðîñòîòû, íåïðåðûâíîñòè)íå òîëüêî òåõ ïðîèçâîäíûõ ðåøåíèÿ, êîòîðûå ôèãóðèðóþò âóðàâíåíèè (ò.å.
ut̃x̃ â íàøåì ïðèìåðå), íî è âñåõ ïðîèçâîäíûõ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîðÿäêà (ò.å. ut̃t̃è ux̃x̃ ). Èìåííî òàê è âîçíèêàåò ïîíÿòèå êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ: ðåøåíèåì íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ,íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ñòîëüêî ðàç, êàêîâ ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ, êîòîðàÿ ïðè ïîäñòàíîâêå âóðàâíåíèå äàåò òîæäåñòâî.Ðàññìîòðèì òåïåðü óðàâíåíèå áîëåå îáùåãî âèäà:a1 ux1 + a2 ux2 + · · · + an uxn = 0,ãäå (x1 , . . . , xn ) êîìïîíåíòû âåêòîðà x ∈ Rn , a1 , . . . , an êîýôôèöèåíòû.
Àíàëîãè÷íî ïðîñòåéøåìóóðàâíåíèþ ut = ux õî÷åòñÿ ïîäîáðàòü çàìåíó ïåðåìåííûõ òàê, ÷òîáû â óðàâíåíèè îñòàëàñü òîëüêîîäíà ïðîèçâîäíàÿ. Òàêàÿ çàìåíà åñòü, áîëåå òîãî, òàêèõ çàìåí î÷åíü ìíîãî. Ìû ïðèâåäåì îäíó èçíèõ, ïðè ýòîì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî an 6= 0 (ïîñêîëüêó õîòÿ áû îäèí êîýôôèöèåíò â óðàâíåíèè äîëæåíáûòü íåíóëåâûì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî èìåííî ïîñëåäíèé êîýôôèöèåíò):x̃1x̃2...x̃na1 x1 + · · · + an xn ,an x1 − a1 xn ,...= an xn−1 − an−1 xn ,== íîâûõ ïåðåìåííûõ óðàâíåíèå ïðèìåò âèä ux̃n = 0, è åãî ðåøåíèå áóäåò èìåòü âèä u(x) =C(x̃1 , . . .
, x̃n−1 ), ãäå C(·) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ n − 1 ïåðåìåííîé.Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûäåëèòü èç âñåõ ðåøåíèé êàêîå-òî îäíî, íåîáõîäèìî çàäàòü íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòü,è óêàçàòü, ÷åìó ðàâíî ðåøåíèå íà ýòîé ïîâåðõíîñòè. Ïîâåðõíîñòü îáû÷íî çàäàþò â âèäå íåÿâíîéôóíêöèè: S(x1 , . . . , xn ) = 0 (ïðåäïîëàãàÿ, äëÿ êîððåêòíîñòè, ÷òî ãðàäèåíò ôóíêöèè S íå îáðàùàåòñÿâ íóëü), à ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ íà ýòîé ïîâåðõíîñòè çàäàþò íåêîòîðîé ôóíêöèåé îò òî÷êè ïîâåðõíîñòè.Çàìåíà ïåðåìåííûõ ïðåîáðàçóåò óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè â äðóãîå, íî ïîñêîëüêó ïðè ýòîì èóðàâíåíèå, è åãî ðåøåíèå ïðèîáðåòàþò ÷ðåçâû÷àéíî ïðîñòîé âèä, óäîáíî âîïðîñ î ðàçðåøèìîñòèîáñóäèòü ñíà÷àëà â íîâûõ ïåðåìåííûõ. Çäåñü ïðèíöèïèàëüíî ðàçëè÷íûìè ÿâëÿþòñÿ äâà ñëó÷àÿ:åñëè ∂S/∂ x̃n 6= 0 è åñëè ∂S/∂ x̃n ≡ 0.
 ïåðâîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè ìîæíî ðàçðåøèòüîòíîñèòåëüíî x̃n è â êà÷åñòâå êîîðäèíàò íà ïîâåðõíîñòè çàäàòü x̃1 , . . . , x̃n−1 . Òîãäà ëþáàÿ ôóíêöèÿîò òî÷êè ïîâåðõíîñòè îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé φ(x̃1 , . . . , x̃n−1 ), è ðåøåíèå óðàâíåíèÿ u(x), ñîâïàäàþùååíà ïîâåðõíîñòè S ñ φ, áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ îäíîçíà÷íî è áóäåò ðàâíî u(x) ≡ φ(x̃1 , . . . , x̃n−1 ). Âîâòîðîì ñëó÷àå S íå çàâèñèò îò x̃n , íà ïîâåðõíîñòè ìîæíî ìåíÿòü êîîðäèíàòó xn , îñòàâëÿÿ îñòàëüíûåïîñòîÿííûìè, è â êà÷åñòâå êîîðäèíàò íà ïîâåðõíîñòè ìîæíî âûáðàòü xn è íåñêîëüêî èç îñòàëüíûõxi .
Íî òîãäà íàì íå óäàñòñÿ íàéòè ðåøåíèå ñ ïðîèçâîëüíûìè íà÷àëüíûìè äàííûìè: ñîîòâåòñòâóþùàÿôóíêöèÿ φ(xn , . . . ) ìîæåò çàâèñåòü îò xn ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, à â ñèëó íàøåãî óðàâíåíèÿ u ïðèèçìåíåíèè xn ìåíÿòüñÿ íå äîëæíî.Êàê ìû âèäèì, íàøè äâà ñëó÷àÿ ãåîìåòðè÷åñêè îòëè÷àþòñÿ òåì, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå ïðÿìûåx1 = const, .
. . , xn−1 = const "ïðîòûêàþò"ïîâåðõíîñòü, à âî âòîðîì ëåæàò íà íåé. Âîçâðàùàÿñü êèñõîäíûì ïåðåìåííûì, ìû âèäèì, ÷òî äâà ñëó÷àÿ îòëè÷àþòñÿ òåì, êàê ðàñïîëîæåíà ïîâåðõíîñòüîòíîñèòåëüíî ïðÿìûõ an xi − ai xn = const (i = 1, . . . , n − 1), ò.å. ïðÿìûå, íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîìêîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ âåêòîð (a1 , . . . , an ).Ýòè ïðÿìûå íàçûâàþòñÿ õàðàêòåðèñòèêàìè, ïîâåðõíîñòè, ñîñòîÿùèå èç òàêèõ ïðÿìûõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè,à ïîâåðõíîñòè, "ïðîòûêàåìûå"òàêèìè ïðÿìûìè íåõàðàêòåðèñòè÷åñêèìè. Óñëîâèå íåõàðàêòåðèñòè÷íîñòèîáû÷íî çàïèñûâàþò â âèäå (∇S, a) 6= 0 íà ïîâåðõíîñòè, ãäå ∇S ãðàäèåíò ôóíêöèè S , à a âåêòîðêîýôôèöèåíòîâ (a1 , .
. . , an ).Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè åñòü, ñ òî÷íîñòüþ äî çàìåíûïåðåìåííûõ, îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (èíîãäà ãîâîðÿò, "ñ äèôôåðåíöèðîâàíèåìâäîëü íàïðàâëåíèÿ (a1 , . . . , an )").Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ ñêëàäûâàåòñÿ â ñëó÷àå, êîãäà êîýôôèöèåíòû ai óðàâíåíèÿ çàâèñÿò îòx.  ýòîì ñëó÷àå, êîíå÷íî, ëèíåéíûìè çàìåíàìè ïåðåìåííûõ ïðèâåñòè óðàâíåíèå ê ïðîñòåéøåìóâèäó íåâîçìîæíî, è ïðèõîäèòñÿ èñïîëüçîâàòü íåëèíåéíûå çàìåíû: x̃i = φi (x1 , . .
. , xn ).  ýòîìñëó÷àå îêàçûâàåòñÿ, ÷òî φi äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü òîìó æå ñàìîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ,êîòîðîå ìû ðåøàåì. Ïî óäà÷íîìó ñòå÷åíèþ îáñòîÿòåëüñòâ ýòîìó óðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿþò ïåðâûåèíòåãðàëû ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé 1ẋ = a1 (x), 2ẋ = a2 (x),(4)... nnẋ = a (x),òàêèõ èíòåãðàëîâ, ÿâëÿþùèõñÿ ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûìè, (êàê Âàì äîêàçûâàëè â êóðñå îáûêíîâåííûõäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé) ðîâíî n − 1 øòóê, è ïîýòîìó îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ èìååò âèäu = F (φ1 , .
. . , φn−1 ). Ðîëü ïðÿìûõ ëèíèé â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå òåïåðü èãðàþò ëèíèè, ÿâëÿþùèåñÿôàçîâûìè òðàåêòîðèÿìè ñèñòåìû (4), è ðàçðåøèìîñòü íà÷àëüíîé çàäà÷è çàâèñèò îò òîãî, êàêðàñïîëîæåíà ïîâåðõíîñòü îòíîñèòåëüíî ýòèõ ëèíèé.Òðàåêòîðèè ñèñòåìû (4) íàçûâàþò õàðàêòåðèñòèêàìè óðàâíåíèÿa1 (x)ux1 + a2 (x)ux2 + · · · + an (x)uxn = 0,ïîâåðõíîñòè, ñîñòîÿùèå èç õàðàêòåðèñòèê, íàçûâàþò õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè, à ïîâåðõíîñòè, óäîâëåòâîðÿþùèåðàâåíñòâó (∇S, a) 6= 0 íåõàðàêòåðèñòè÷åñêèìè.
Óñëîâèåì ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è Êîøè ÿâëÿåòñÿ,êàê ìû âèäèì, ÿâëÿåòñÿ òðåáîâàíèå, ÷òîáû ïîâåðõíîñòü, íà êîòîðîé çàäàþòñÿ íà÷àëüíûå äàííûå,áûëà íåõàðàêòåðèñòè÷åñêîé.Êîíå÷íî, ìåæäó õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè è íåõàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ïîâåðõíîñòÿìè åùå îñòàåòñÿ"çàçîð" âåäü èìåþòñÿ ïîâåðõíîñòè, äëÿ êîòîðûõ (∇S, a) 6≡ 0, íî â íåêîòîðûõ òî÷êàõ, ìîæåò äàæåíà íåêîòîðûõ ëèíèÿõ èëè ïîäïîâåðõíîñòÿõ ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè ðàâåíñòâî íóëþ âñå-òàêè èìååòìåñòî. Ýòî ñëó÷àé, êîãäà ïîâåðõíîñòü íå ñîäåðæèò õàðàêòåðèñòèê, íî êàñàåòñÿ èõ. Çäåñü äëÿçàäà÷è Êîøè ðåøåíèå îáû÷íî âûïèñûâàåòñÿ, íî îíî ìîæåò èìåòü êàêèå-òî îñîáåííîñòè, ðàçðûâû,îáðàùàòüñÿ â áåñêîíå÷íîñòü è ò.ï. Òàêèì "ïîãðàíè÷íûå"ñëó÷àè òðåáóþò îñîáîãî ðàññìîòðåíèÿ èìû íà íèõ îñòàíàâëèâàòüñÿ íå áóäåì.Õàðàêòåðèñòèêè ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà  çàêëþ÷åíèå ëåêöèèîáñóäèì âîïðîñ îá óïðîùåíèè, ñ ïîìîùüþ çàìåí ïåðåìåííûõ, ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêàñ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè:a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + · · · = 0,(5)ãäå ìíîãîòî÷èåì îáîçíà÷åíû ìëàäøèå ÷ëåíû.
Çàìåíà ïåðåìåííûõ x̃ = φ(x, y), ỹ = ψ(x, y) ïðèâîäèòýòî óðàâíåíèå ê âèäó(aφ2x + 2bφx φy + cφ2y )ux̃x̃ + (aφx ψx + b[φx ψy + φy ψx ]++cφy ψy )ux̃ỹ + (aψx2 + 2bψy ψy + cψy2 )uỹỹ + · · · = 0.Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ìëàäøèå ÷ëåíû ïîñëå çàìåíû ïîÿâëÿþòñÿ äàæå åñëè èõ íå áûëî, ïîýòîìóäâå çàäà÷è (óïðîñòèòü ãëàâíóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ è èçáàâèòüñÿ îò ìëàäøèõ ÷ëåíîâ) ëó÷øå ðåøàòüèìåííî â òîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, â êîòîðîé ìû è ñòàëè äåéñòâîâàòü: ñíà÷àëà ãëàâíàÿ ÷àñòü, àïîòîì ìëàäøèå ÷ëåíû.Íàèáîëåå æåëàòåëüíî îñòàâèòü â ãëàâíîé ÷àñòè ñðåäíèé ÷ëåí ñìåøàííóþ ïðîèçâîäíóþ (ïîñêîëüêóóðàâíåíèå ux̃ỹ = 0 ìû óæå óâåðåííî óìååì ðåøàòü), è ïîýòîìó æåëàòåëüíî ñäåëàòü íóëåâûìèêðàéíèå ÷ëåíû. Êîýôôèöèåíòû â ýòèõ ÷ëåíàõ îäíîòèïíû, è óñëîâèå àííóëÿöèè ýòèõ êîýôôèöèåíòîâïðèâîäèò ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþa(x, y)φ2x + 2b(x, y)φx φy + c(x, y)φ2y = 0,êîòîðîå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì õàðàêòåðèñòèê èëè óðàâíåíèåì õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåéäëÿ óðàâíåíèÿ (5). Ïîíÿòíî, ýòî ýòî êâàäðàòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî φx /φy , è åñëè îíî èìååòäâà âåùåñòâåííûõ êîðíÿ λi (x, y), òî óðàâíåíèå õàðàêòåðèñòèê ðàñïàäàåòñÿ íà äâà:(φx − λ1 φy )(φx − λ2 φy ) = 0.Êàæäîå èç ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé ýòî óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà, êîòîðîå ìû óìååì ðåøàòü, èïåðâûå èíòåãðàëû êàæäîãî èç ýòèõ óðàâíåíèé äàþò íàì èñêîìûå ôóíêöèè φ è ψ .Îòìåòèì, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ëèíèé äëÿ òîé è äðóãîé ïîâåðõíîñòèèìåþò âèädxdydxdy=− 1,=− 2,1λ (x, y)1λ (x, y)è îáúåäèíåíèå ýòèõ óðàâíåíèé äàåò óðàâíåíèå(dy + λ1 dx)(dy + λ2 dx) = 0,êîòîðîå ïîñëå ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû Âèåòà ïðèâîäèòñÿ ê âèäóa(x, y)dy 2 − 2b(x, y)dxdy + c(x, y)dx2 = 0.Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàþò óðàâíåíèåì áèõàðàêòåðèñòèê, îíî óäîáíî òåì, ÷òî åãî ìîæíî âûïèñàòüñðàçó ïî èñõîäíîìó óðàâíåíèþ: äîñòàòî÷íî çàìåíèòü ïðîèçâîäíûå íà äèôôåðåíöèàëû "äðóãîé"ïåðåìåííîéè ïîìåíÿòü çíàê ó ñðåäíåãî ÷ëåíà.Êîíå÷íî, íà ïåðâûé âçãëÿä, òàêàÿ ìàíèïóëÿöèÿ ïðîèçâîäèò âïå÷àòëåíèå ìàõèíàöèè, îäíàêîíè÷åãî ñâåðõåñòåñòâåííîãî â òàêîé îïåðàöèè íåò: ïðîñòî ìàòðèöà êâàäðàòè÷íîé ôîðìû óðàâíåíèÿáèõàðàêòåðèñòèê è ìàòðèöà, îòâå÷àþùàÿ èñõîäíîìó óðàâíåíèþ, ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî îáðàòíûìè, àïîñòðîåíèå îáðàòíîé ê ìàòðèöå âòîðîãî ïîðÿäêà êàê ðàç è äàåò òàêîé àëãîðèòì äåéñòâèé (ïðàâäà, ñäåëåíèåì íà äåòåðìèíàíò èñõîäíîé ìàòðèöû, íî äëÿ óðàâíåíèÿ ýòîò ìíîæèòåëü ìîæíî áåçáîëåçíåííîîïóñòèòü).Íåêîòîðûå îáîáùåíèÿ òåîðåìû Êîâàëåâñêîé Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ñèñòåìàóðàâíåíèíèé íå ïðèâåäåíà ê íîðìàëüíîìó âèäó, ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
