Е.В. Радкевич - Лекции по урматфизу (1120444), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. . , vN )∂xj vs + fi (t, x, v1 , . . . , vN ), i = 1, . . . , K;s=1 j=1vi (0, x) = ϕi (x), i = 1, . . . , K.Äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ñèñòåìó, äëÿ êîòîðîéaijs (t, x, v1 , . . . , vN ) = aijs (x, t), fi (t, x, v1 , . . . , vN ) =KXs=1bis (x, t)vs + fi (x, t).Ïðåæäå âñåãî ñäåëàåì çàìåíó ôóíêöèé vi (t, x) = ϕi (x) + wi (t, x). Îòñþäà ïîëó÷èì∂t wi =K XnXaijs (t, x)∂xj ws +s=1 j=1KXbis (x, t)ws + gi (t, x),(34)wi (0, x) = 0, i = 1, . . . , K.gi = fi +K XnX(33)s=1aijs (t, x)∂xj ϕs +s=1 j=1KXbis (x, t)ϕs i = 1, . .
. , K;s=1 ñèëó (19)-(23), äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîãî M > 0, ∀ N ≥ 1, äîñòîòî÷íî ìàëîãî % > 0, ìàæîðèðóþùàÿçàäà÷à Êîøè äëÿ (33), (34) îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùåé ñèñòåìî鸷 Kn³´(x1 − x01 ) + · · · + (xn − x0n ) + N (t − t0 ) ´−1 X ³ X∂t Wi = M 1 −∂xl + 1 Wj + 1 , i = 1, .
. . , K;%j=1l=1(35)ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè âèäà:(36)Wi (0, x) = 0 i = 1, . . . , K.Çàìåòèì, ÷òî ïàðàìåòð % îïðåäåëÿåòñÿ îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè ñòåïåííûõ ðÿäîâ êîýôôèöèåíòîâ aijs (t, x), bis (t, x)ñèñòåìû (33) è ïðàâûõ ÷àñòåé gi (t, x).Íàøà çàäà÷àäîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå àíàëèòè÷íîãî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòèQt0 ,x0 = {(t, x), |x − x0 | ≤ %(N ), |t − t0 | ≤ %(N )},%(N ) ≤ %,(37)òî÷êè (t0 , x0 ) ìàæîðàíòíîãî ðåøåíèÿ, êîýôôèöèåíòû ñòåïåííîãî ðÿäà êîòîðîãî íåîòðèöàòåëüíû.Âñïîìîãàòåëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è áóäåì èñêàòü â âèäå³´Wj = Vj (η), j = 1, .
. . , K,η = (x1 − x01 ) + · · · + (xn − x0n ) + N (t − t0 ) /%,Wj |η=0 = 0,j = 1, . . . , K.Òîãäà ïîëó÷èì³N%−Mn ´ d1 ³MnVj =%(1 − η) dηa−η %Xj6= i, i,j=1,...,KK´XdVi + M (Vi + 1) , j = 1, . . . , K.dηi=1(38)Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîd1 ³Vj =bdηa−ηXj6= i, i,j=1,...,KK´XdVi + c%(Vi + 1) , j = 1, . . . , K.dηi=1(39)Çäåñü a = (N − M n)/N, b = M n/N, c = M/N , äîñòàòî÷íî áîëüøîå N À 1 è äîñòàòî÷íî ìàëîå%(N ) ≤ 1 â (37) âûáèðàþòñÿ èç óñëîâèé a > 0 è³(x1 − x01 ) + · · · + (xn − x0n ) + N (t − t0 ) ´1N(a − η) = N 1 −− M n ≥ N,%%2|t − t0 | ≤ %(N ), |xj − x0j | ≤ %(N ),Ïîëîæèì W =PKi=1j = 1, .
. . , n.Vi . Ñóììèðóÿ óðàâíåíèåÿ (39), ñâåäåì ýòó ñèñòåìó ê îáûêíîâåííîìó óðàâíåíèþcK%dW=(W + 1),dηa − (K − 1)b − ηðåøàÿ êîòîðîå, ïîëó÷èìW=W|η=0 = 0,(a − (K − 1)b)cK%− 1.(a − (K − 1)b − η)cK%(40)Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîãî Na − (K − 1)b > 0,åñëèa − (K − 1)b − η >|xj − x0j | ≤ %(N ), j = 1, . . . , n,|t − t0 | ≤ %(N ),1,2%(N ) ¿ 1, %(N ) ≤ %.Òàê êàê 0 < a − (K − 1)b < 1, òî ñòåïåííîé ðÿä ôóíêöèè³a − (K − 1)b − η´−1³´= (a − (K − 1)b)−1 1 + d1 η + .
. . ,â íóëå èìååò íåîòðèöàòåëüíûå êîýôôèöèååíòû. Îòñþäà, â ñèëó (40), ñòåïåííîé ðÿä â íóëå ôóíêöèèW òàêæå èìååò íåîòðèöàòåëüíûå êîýôôèöèååíòû. Ïîäñòàâëÿÿ (40) â (39), ïîëó÷èì´db1 ³ dVj +Vj =b W + c%W + 1 , Vj (0) = 0, j = 1, . . . , N.dηa−ηa − η dη(41)Ñëåäîâàòåëüíî, êîýôôèöèåíòû ñòåïåííîãî ðÿäà â íóëå ïðàâîé ÷àñòè â (41) íåîòðèöàòåëüíû. ÏîëîæèìXXVj =vjk η k ,Gj =gjk η k .k≥1k≥0Óìíîæèì (41) íà (a − η) è ïîäñòàâèì â (41) ñòåïåííûå ðÿäû â íóëå äëÿ ôóíêöèé Vj è ïðàâîé ÷àñòèGj â (41). Ïîëó÷èì ñèñòåìó äëÿ êîýôôèöèåíòîâa k vj,k = (k − 1 − b)vj,k−1 + gj,k−1 ,j ≥ 2,vj,0 = 0, vj,1 = gj,0 /a.Òàê êàê 0 < b < 1, òî âñå êîýôôèöèåíòû vj ≥ 0.
Ñëåäîâàòåëüíî ôóíêöèèVj |t=t0 =X((x1 − x01 ) + · · · + (xn − x0n ))s 0,%svj,ss≥1j = 1, . . . , Nìàæîðèðóþò íà÷àëüíûå äàííûå wj |t=t0 = 0 ôóíêöèé wj (t, x), j = 1, . . . , N . Ïðîñòûì ñëåäñòâèåìëåììû (0.1) ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:Ïðåäëîæåíèå 0.1 Ïóñòü êîýôôèöèåíòû ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé∂ t Vj =K ³XnXs=1∂t wj =´Ajsi (x, t)∂xi Vs + Bjs (t, x)Vs + Fj (x, t),i=1K ³XnXs=1´ajsi (x, t)∂xi ws + bjs (x, t)ws + fj (x, t),i=1ìàæîðèðóþò äðóã äðóãàAjsi (x, t)  ajsi (x, t), Bjs (x, t)  bj,s (x, t), Fj (x, t)  fj (x, t),è íà÷àëüíûå äàííûå äëÿ VjVj |t=t0 = Vj0 (x)  wj |t=t0 ≡ 0ìàæîðèðóþò íà÷àëüíûå äàííûå äëÿ wj . Òîãäà ðåøåíèå ïåðâîé çàäà÷è ÊîøèVj (t, x)  wj (x, t),ìàæîðèðóþò ðåøåíèå âòîðîé çàäà÷è Êîøè.j = 1, .
. . , K,Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òîVj  wj ,j = 1, . . . , K.â íàøåì ñëó÷àå â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè |x − x0 | ≤ %(N ), |t − t0 | ≤ %(N ) ëþáîé òî÷êè (t0 , x0 )àíàëèòè÷íîñòè êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû è ïðàâûõ ÷àñòåé. q Ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìûÊîâàëåâñêîé äëÿ ñèñòåìû (33).Çàäà÷è1.
Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ (0.1) ìîæíî îñòàâèòü êàê çàäà÷ó èëè ñäåëàòü êîììåíòàðèé, ÷òîfj + V 0 ñâîäèò çàäà÷ó Êîøè äëÿ ôóíêöèé Vj ê îäíîðîäíîé çàäà÷å Êîøè äëÿ ôóíêöèéçàìåíà Vj = Vjfj ñ ñîõðàíåíèåì óñëîâèÿ ìàæîðèðóåìîñòè ïðàâûõ ÷àñòåé ñèñòåì äëÿ Vfj è äëÿ wj . Îòñþäà ñëåäóåò,V÷òîfj  wj , Vj0  0 ⇒ Vj = Vfj + Vj0  wj ,Vj = 1, . . . , K.2. Äîêàçàòü òåîðåìó Êîâàëåâñêîé äëÿ êâàçèëèíåéíîé ñèñòåìû ïåðâîãî ïîðÿäêà. Íàïðèìåð, äëÿîäíîìåðíîé ñèñòåìû ãàçîâîé äèíàìèêè∂t % + ∂x (% v) = 0,³1´∂t (% v) + ∂x % v 2 + %θ = 02³´∂t (% v 2 + %θ) + ∂x % v 3 + 3%θ v = 0Çäåñü θ = R% T , R− ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ, % ïëîòíîñòü, v ñêîðîñòü, T òåìïåðàòóðà.Ïðèëîæåíèå ê Ëåêöèè 2.
Òåîðåìà Êîøè-Êîâàëåâñêîé: íåêîòîðûå ïðèìåðûè êîíòðïðèìåðû.Ìû ïðîäîëæàåì îáñóæäåíèå ñâîéñòâ ðàçëè÷íûõ óðàâíåíèé â ñâÿçè ñ èñïîëüçîâàíèåì ñàìîãî"ãðóáîãî"ìåòîäà, äëÿ ïðèìåíåíèÿ êîòîðîãî íå íóæíî çíàòü íèêàêîé íàóêè ìåòîäà ñòåïåííûõðÿäîâ.Êàê Âû óæå óçíàëè íà ïðîøëîé ëåêöèè, ýòîò ìåòîä â ïðèìåíåíèè ê óðàâíåíèÿì ñ ÷àñòíûìèïðîèèçâîäíûìè, â îòëè÷èå îò îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ñîâñåì íå âñåìîãóù,è åãî äåéñòâèå îãðàíè÷èâàåòñÿ êàê åãî ñîáñòâåííûìè âîçìîæíîñòÿìè, òàê è ñàìîé ïðèðîäîé òåõóðàâíåíèé, ê êîòîðûì îí ïðèìåíÿåòñÿ.Ãðàíèöû, â êîòîðûõ ìåòîä îñòàåòñÿ äååñïîñîáíûì, îïèñûâàþòñÿ òåîðåìîé Êîøè-Êîâàëåâñêîé,è ñåé÷àñ ìû "ïîùóïàåì"ýòè ãðàíèöû íà ðÿäå ïðîñòûõ ïðèìåðîâ.Ïðèìåð 1. Ðàññìîòðèèì óðàâíåíèå ut = ux .
Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå ðÿäàu(t, x) =∞Xi,j=0uijti xji! j!(1)Ôàêòîðèàëû â çíàìåíàòåëå óäîáíû äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîòîì ïîëó÷àëèñü áîëåå ïðîñòûå óðàâíåíèÿäëÿ êîýôôèöèåíòîâ. Ïîäñòàâèì ôóíêöèþ (1) â óðàâíåíèå, ïîëó÷èì∞Xuiji=1,j=0∞Xti xj−1ti−1 xj=uij(i − 1)! j!i! (j − 1)!i=0,j=1Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèðàâíÿòü êîýôôèöèåíòû, íåîáõîäèìî îáå ñóììû ïðèâåñòè ê îäèíàêîâîìó âèäó(íàïðèìåð, ê òàêîìó æå, êàê â (1)), à äëÿ ýòîãî óäîáíî ïðîâåñòè ïåðåîáîçíà÷åíèÿ: â ëåâîé ÷àñòèðàâåíñòâà çàìåíèòü i − 1 íà i, à â ïðàâîé j − 1 íà j . Ýòî äàåò∞Xi,j=0ui+1,j∞Xti xjti xj=ui,j+1,i! j!i! j!i,j=0è, ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ t è x, ïîëó÷àåì îñíîâíîå ðàâåíñòâî:ui+1,j = ui,j+1 .(2)Ðèñ. 1: Ãðàôè÷åñêàÿ ñõåìà äëÿ óðàâíåíèÿ ut = uxÄëÿ òîãî, ÷òîáû ïî÷óâñòâîâàòü, ÷òî çäåñü ÷åðåç ÷òî âûðàæàåòñÿ, óäîáíî èñïîëüçîâàòü ãðàôè÷åñêóþñõåìó, íà êîòîðîé òî÷êàìè èçîáðàæåíû ïàðû íîìåðîâ (i, j) (ñì.
ðèñ. 1). Íà ýòîé ñõåìå âèäíî, ÷òîýëåìåíòû i-ãî ñëîÿ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòû i − 1-ãî ñëîÿ. Ïîíÿòíî, ÷òî ýòî âûðàæåíèå ìîæíîäîâåñòè äî íóëåâîãî ñëîÿ, ÷òî "â ôîðìóëàõ"âûãëÿäèò êàêui,j = ui−1,j+1 = · · · = u0,i+jÏîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó (1) ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ, ïîëó÷àåì ôîðìóëó ðåøåíèÿ∞Xu(t, x) =u0,i+ji,j=0ti xj.i! j! ýòîé ôîðìóëå óäîáíî (ïîñêîëüêó ÷ëåíû ñ îäíèì è òåì æå çíà÷åíèåì i + j èìåþò îäèí è òîò æåêîýôôèöèåíò) ïðîèçâåñòè ïåðåãðóïïèðîâêó ñóììèðîâàíèÿ, îáîçíà÷èâ i+j ÷åðåç k , è çàìåíèâ âñþäój íà k − i:∞kXXti xk−i.u(t, x) =u0,ki! (k − i)!i=0k=0Åñëè ïðè ýòîì u0,k ðàçäåëèòü íà k!, à âíóòðè âòîðîé ñóììû íàîáîðîò, ââåñòè ìíîæèòåëü k!, òîâíóòðåííÿÿ ñóììà ñòàíåò ëåãêî óçíàâàåìûì ðàçëîæåíèåì, íàçûâàåìûì îáû÷íî áèíîìîì Íüþòîíà,òàê ÷òî íàøà ôîðìóëà ïðèîáðåòàåò âèäu(t, x) =∞Xk=0u0,k(t + x)k.k!Ïîñêîëüêó êîýôôèöèåíòû u0,k ìåæäó ñîáîé íèêàê íå ñâÿçàíû ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà åñòü ïðîñòîôîðìóëà ïðîèçâîëüíîé àíàëèòè÷åñêîé (åñëè ðÿä ñõîäèòñÿ, êîíå÷íî) ôóíêöèè îò (t + x).
Êîíå÷íî,ïî íåêîòîðîì ðàçìûøëåíèè ñòàíîâèòñÿ ÿñíî, ÷òî ëþáàÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ (à íåîáÿçàòåëüíî àíàëèòè÷åñêàÿ) ôóíêöèÿ φ(t + x) áóäåò ðåøåíèåì íàøåãî óðàâíåíèÿ, òàê ÷òî ìåòîäðÿäîâ äàåò äàëåêî íå âñå ðåøåíèÿ, íî òåì íå ìåíåå â ýòîì âîò ïðîñòîì ñëó÷àå îí âïîëíå ýôôåêòèâíîðàáîòàåò.Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå utt = uxx .
Àíàëîãè÷íûìè ðàññóæäåíèÿìè ìû ïîëó÷àåìñîîòíîøåíèå ui+2,j = ui,j+2 , èç êîòîðîãî âûâîäèòñÿ ôîðìóëà u(t, x) = f (t + x) + g(t − x), ãäå f è g ïðîèçâîëüíûå àíàëèòè÷åñêèå (åñëè ñëåäîâàòü òîëüêî ìåòîäó) èëè ïðîñòî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûå(åñëè ðàñïðîñòðàíèòü ïîëó÷åííûé ìåòîäîì ðÿäîâ ðåçóëüòàò) ôóíêöèè. Ïðè ñâåðòûâàíèè ðàçëîæåíèÿíåîáõîäèìî äîãàäàòüñÿ, ÷òî ñóììàtk + Ck2 tk−2 x2 + Ck4 tk−4 x4 + .
. . ,ñîäåðæàùàÿ òîëüêî ÷åòíûå ñòåïåíè áèíîìà Íüþòîíà, ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà êàê ïîëóñóììà ðàçëîæåíèé(t + x)k è (t − x)k .Ïðèìåð 3. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå utt = ux . Ýòîìó óðàâíåíèþ îòâå÷àåò óæå ñîîòíîøåíèåui+2,j = ui,j+1 , ÷òî äàåò ðàçëîæåíèå äëÿ ðåøåíèÿu(t, x) =∞Xu0,i+ji,j=0∞Xt2i xjt2i+1 xj+u1,i+j.(2i)! j! i,j=0(2i + 1)! j!Êîíå÷íî, ýòè ñóììû óæå òàê õîðîøî íå "ñâîðà÷èâàþòñÿ", êàê ïðåäûäóùèå, îäíàêî ïîñêîëüêó (2i +1)! > i!, ýòè ñóììû ìîæíî îöåíèòü|u(t, x)| ≤∞Xi,j=0|u0,i+j |∞Xt2i xjt2i xj+t|u1,i+j |≤ φ(t2 + x) + tψ(t2 + x),i! j!i!j!i,j=0PPãäå φ è ψ íåêîòîðûå àíàëèòè÷åñêèå (åñëè ðÿäû|u0,k |xk /k! è|u1,k |xk /k! ñõîäÿòñÿ) ôóíêöèè.Õîòÿ ìû çäåñü è íå ïîëó÷èëè êîíå÷íî ôîðìóëû,íî òåì íå ìåíåå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ â âèäå ðÿäàPóæå ÷òî-òî äàåò.
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òîu0,k xk /k! åñòü ðÿä äëÿ u(0, x), òàê ÷òî àíàëèòè÷íîñòüíà÷àëüíîãî óñëîâèÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x = 0 îáåñïå÷èâàåò àâòîìàòè÷åñêè ñõîäèìîñòü âýòîé îêðåñòíîñòè è ðÿäà èç ìîäóëåé êîýôôèöèåíòîâ, ìàæîðèðóþùåãî ðÿä äëÿ ðåøåíèÿ, è ñõîäèìîñòüðÿäà äëÿ ðåøåíèÿ.Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî òå æå ñàìûå ðàññóæäåíèÿ ó íàñ ïîâòîðÿòñÿ è äëÿ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêàïðîèçâîäíîé ïî t: íàïðèìåð, äëÿ óðàâíåíèÿ ∂ 10 u/∂t10 = ∂u/∂x ðåøåíèå áóäåò îöåíèâàòüñÿ ÷åðåçôóíêöèè âèäà φ(x + t1 0).Ïðèìåð 4. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå ut = uxx .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
