Е.В. Радкевич - Лекции по урматфизу (1120444)
Текст из файла
Ëåêöèè ïî óðàâíåíèÿì ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.Å. Â. Ðàäêåâè÷Ïåðâûé ñåìåñòð(2006-2007)Ëåêöèÿ I. Ââåäåíèå. Ïðåäìåò èññåäîâàíèÿ òåîðèè óðàâíåíèéñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè.Íà÷íåì ñ ïðîñòîãî ïðèìåðà: îäíîìåðíîé ÷àñòèöû äâèæóùåéñÿ íà ïðÿìîé R1 â îòñóòñòâèèâíåøíèõ ñèë. Åñëè ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ v(x, t), x ∈ R1 , t ≥ 0, − ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè ÷àñòèöûâ ìîìåíò âðåìåíè t ò.å. òðàåêòîðèÿ ÷àñòèöûö ïîä÷èíÿåòñÿ óðàâíåíèþ◦x (t; x0 ) = v(x(t; x0 ), t), t > 0,x|t=0 = x0 ∈ R1 ,(1)òî â ñèëó óðàâíåíèÿ Íüþòîíà â îòñóòñòâèè âíåøíèõ ñèë óñêîðåíèå◦◦◦x (t; x0 ) = ∂t v(x(t; x0 ), t)+ x (t; x0 ) ∂x v(x(t; x0 ), t) = 0, t > 0.Òîãäà â ñèëó (1) ïîëó÷èì óðàâíåíèå ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ ñêîðîñòè(ïîðÿäîê ïðîèçâîäíûõ íå âûøå 1):2∂t v(x, t) + v(x, t) ∂x v(x, t) = 0, (x, t) ∈ R+= {(x, t), x ∈ R1 , t > 0}v(x, t)|t=0 = v(x0 , 0) = v0 (x),(2)ñ çàäàííûì íà÷àëüíûì ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè v0 (x).
Ïî àíàëîãèè ñ îáûêíîâåííûìè óðàâíåíèÿìè(ñì. (1)) òàêàÿ çàäà÷à íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (69) (óðàâíåíèÿ Õîïôà).2) âÒåïåðü ïîñìîòðèì, âñåãäà ëè ýòà çàäà÷à èìååò ãëàäêîå (êëàññè÷åñêîå) ðåøåíèÿ v ∈ C 1 (R+2çàìûêàíèè îáëàñòè R+ . Ðàññìîòðèì äâà íà÷àëüíûõ ðàñïðåäåëåíèÿ v0 = arctg(x) è v0 = −arctg(x).Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ ïðèìåíèì òàê íàçûâàåìûé ìåòîä õàðàêòåðèñòèê, ñ êîòîðûì âû óæåâñòðå÷àëèñü â êóðñå îáûêíîâåííûõ óðàâíåíèé.  ÷åì îí ñîñòîèò?1. Èç óðàâíåíèÿ (69) ñëåäóåò, ÷òî ñêîðîñòü v(x, t) ïîñòîÿííà âäîëü òðàåêòîðèè (õàðàêòåðèñòèêè)÷àñòèöû:v(x(t; x0 ), t) = v0 (x0 ) ⇔ x(t; x0 )|t=0 = x0 ,(õàðàêòåðèñòèêè óðàâíåíèÿ (69)). Òîãäà èç (1) ñëåäóåò ÷òîx(t; x0 ) = x0 + v0 (x0 ) t.(3)22.
Òåïåðü ðàññìîòðèì ëþáóþ òî÷êó (x, t) ∈ R+. Åñëè ÷åðåç ýòó òî÷êó ïðîõîäèò êàêàÿ òî òðàåêòîðèÿ,ò.å. äëÿ íåêîòîðîãî x0 èìååì x = x(t, x0 ), òî â ýòîé òî÷êå v(x, t) = v0 (x0 ). Òàêèì îáðàçîì, âî âñåõäîñòèæèìûõ òî÷êàõ (x, t) ìû îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåì çíà÷åíèå ñêîðîñòè v(x, t), åñëè â ýòó òî÷êóïðèõîäèò òîëüêî îäíà òðàåêòîðÿ, ò.å.
êîãäà x0 = x0 (x, t) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïî òî÷êå (x, t).Ìíîæåñòâî òàêèõ òî÷åê áóäåì íàçûâàòü îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ãëàäêîãî ðåøåíèå Os (v0 ) ñ çàäàííûìíà÷àëüíûì óñëîâèåì v0 . Î÷åâèäíî, ÷òî â ýòîé îáëàñòè óðàâíåíèåx − x0 + v0 (x0 ) t = 0(4)îïðåäåëÿåò äèôôåîìîðôèçì x0 (x, t) : Os (v0 ) → R1 . Î÷åâèäíî ýòî îòîáðàæåíèå äèôôåîìîðôèçì,åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå³´∂x= ∂x0 x0 + v0 (x0 ) t = 1 + t ∂x0 v0 (x0 ) > 0,(5)∂ x0³´(ïîñêîëüêó ∂x0 x0 + v0 (x0 ) t |t=0 = 1 > 0), òîãäà ïî òåîðåìå î íåÿâíîé ôóíêöèè îäíîçíà÷íîîïðåäåêëÿåòñÿ ðåøåíèå x0 (x, t) óðàâíåíèÿ (4). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ãëàäêîå ðåøåíèåv(x, t) = v0 (x0 (x, t)),(x, t) ∈ Os (v0 )Äëÿ ïåðâîãî íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ v0 = arctg(x) èìååì ∂x v0 = 1/(1 + x2 ) > 0, ∀x ∈ R1 ,2ñëåäîâàòåëüíî õàðàêòåðèñòèêè íå ïåðåñåêàþòñÿ âî âñåé âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè R+, òîãäà ðåøåíèå2v(x, t) = arctg(x0 (x, t)) ∀ (x, t) ∈ Os+ = R+.Äëÿ âòîðîãî íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ v0 = −arctg(x) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî (5) åñëè t < 1 + x2 ,ò.å.
â ýòîì ñëó÷àå Os− = {(x, t); t < 1 + x2 } è ðåøåíèåv(x, t) = −arctg(x0 (x, t))∀ (x, t) ∈ Os− .Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à Êîøè èìååò åäèíñòâåííîå êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå â ïîëîñå R12 = {(x, t), x ∈R1 , t ∈ (0, 1)}.  ïîëîñå æå RT2 = {(x, t), x ∈ R1 , t ∈ (0, T )}, T > 2, êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ íåñóùåñòâóåò.Êàêèå âûâîäû ìîæíî ñäåëàòü èç ýòîãî ïðîñòåéøåãî ïðèìåðà? Áàçîâàÿ çàäà÷à äëÿ ìîäåëåéìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêèçàäà÷à Êîøè ìîæåò íå èìåòü êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ! Íî äëÿ ôèçèêèâàæíåéøèì ñâîéñòâîì ìîäåëè, îïèñûâàþùåé èññëåäóåìûé ïðîöåññ, ÿâëÿåòñÿ åå êîððåêòíîñòü:1.
ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ;2. åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ;3. íåïðåðûâíàÿ çàâèñèìîñòü îò íà÷àëüíûõ äàíûõ (ìàëîå âîçìóùåíèå íà÷àëüíûõ äàííûõ ïðèâîäèòê ìàëûì âîçìóùåíèÿì ðåøåíèÿ).Ýòî ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè ðàññìàòðèâàòü íåêëàññè÷åñêèå ñëàáûå (ìåíåå ãëàäêèåðåøåíèå. Òàêèì îáðàçîì, èññëåäóåìàÿ çàäà÷à òðåáåò ñâîèõ êëàññîâ ðàçðåøèìîñòè Ev (íàïðèìåðáàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ) , ñîîòâåòñòâóþùèõ êëàññîâ íà÷àëüíûõ äàííûõ Ev0 òàê ÷òî:1.
äëÿ ëþáîãî v0 ∈ Ev0 ñóùåñòâóåò ðåøåíèå v ∈ Ev ;2. ýòî ðåøåíèå åäèíñòâåííîå;3. äëÿ ðåøåíèé v, v1 , V |t=0 = v0 , v|t=0 = v01 , ñïðàâåäëèâà àïðèîðíàÿ îöåíêà||v − v1 ; Ev || < C ||v0 − v01 ; Ev0 || ∀v0 , v01 ∈ Ev0 ,ñ ïîñòîÿííîé C íåçàâèñÿùåé îò v0 , v01 ∈ Ev0 (îòêóäà ñëåäóåò íåïðåðûâíàÿ çàâèñèìîñòü îò íà÷àëüíûõäàííûõ). äàëüíåéøåì óñëîâèÿ 1.-3. áóäåì íàçûâàòü óñëîâèÿìè êîððåêòíîñòè çàäà÷è Êîøè (69) äëÿ ïàðû(Ev , Ev0 ).Òåïåðü îòìåòèì, ÷òî ïðèñòóïàÿ ê èññëåäîâàíèþ ìîäåëè ìàòåìàòèê äîëæåí ó÷èòûâàòü òîò ôàêò,÷òî, êàê ãîâîðÿò ôèçèêè, âñå ìîäåëè ïîëó÷àþòñÿ ïðè íåêîòîðûõ óñå÷åíèÿõ èíôîðìàöèè î ïðîöåññå,êîãäà ÷àñòü ôàêòîðîâ íå ïðèíèìàåòñÿ âî âíèìàíèå. Íàïðèìåð, ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ðàñøèðåíèåçàäà÷è (69), åñëè èññëåäóåì äâèæåíèå îäíîìåðíîé ÷àñòèöû áåç âîçäåéñòâèÿ âíåøíèõ ñèë â ïîðèñòîéñðåäå, êîòîðàÿ ìîæåò óñêîðÿòü åå äâèæåíèå èëè çàòîðìàæèâàòü:2∂t v(x, t) + v(x, t) ∂x v(x, t) + ∂x Π(x, t) = 0, (x, t) ∈ R+12∂t Π + µ ∂x v(x, t) + Π = 0, (x, t) ∈ R+τv(x, t)|t=0 = v0 (x), Π|t=0 = Π0 (x)(6)(7)ãäå Π(x, t)− ðàñïðåäåëåíèå ïîð, τ > 0− âðåìÿ ðåëàêñàöèè, ÿâëÿþùååñÿ ìåðîé îòêëîíåíèÿ ðåøåíèéðàñøèðåííîé ñèñòåìû îò ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (69), µ = const.Òàêèì îáðàçîì, ìû èìååì íå îäíó ìîäåëü, à èåðàðõèþ ìîäåëåé (ñåìåéñòâî "âëîæåíûõ"ìîäåëåé,ñåìåéñòâî ðàñøèðåíèé ìîäåëåé).
Ýòî ÷ðåçâû÷àéíî âàæíî ïîíèìàòü, ÷òîáû íå ðàññìàòðèâàòü îòäåëüíûåìîäåëè êàê àáñîëþò, êàê íåêîòîðîå ñàìîöåëüíîå, ñàìîäîñòàòî÷íîå ÿâëåíèå. Ê ñîæàëåíèþ, âíå ôèçè÷åñêèõðåàëèé, ìàòåìàòèê ïîäâåðæåí èñêóñó àáñîëþòèçàöèè è âîçâåäåíèÿ âîçíèêàþùèõ òðóäíîñòåé â èññëåäîâàíèèìîäåëè èëè ñòðóêòóðíîé åå âûðîæäåííîñòè â ðàíã ñàìîöåëüíûõ ñîäåðæàòåëüíûõ èñòî÷íèêîâ èññëåäîâàíèé,à íå âñåãî ëèøü ñëåäñòâèÿ åå óñå÷åííîñòè. Òàê íàïðèìåð, åñëè ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ ðàññìîòðåòü (7)êàê âîçìóùåíèå (69), ñ÷èòàÿ âðåìÿ ðåëàêñàöèè ìàëûì τ ¿ 1, â îêðåñòíîñòè ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿve = const, Π = 0, ò.å.v = ve + τ w, Π = τ σ,òî äëÿ îòêëîíåíèÿ (w, σ) îò ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâíñèÿ â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïîëó÷èì òàê íàçûâàåìîåëèíåéíîå ïðèáëèæåíèå Íàâüå-Ñòîêñà∂t w(x, t) + ve ∂x w(x, t) + ∂x σ(x, t) = 0,2(x, t) ∈ R+(8)2µ ∂x w(x, t) + σ = 0, (x, t) ∈ R+w(x, t)|t=0 = w0 (x), σ|t=0 = σ0 (x)(9)Âòîðîå óðàâíåíèå â (8) íàçûâàåòñÿ çàìûêàþùèì óðàâíåíèåì, îíî ïîçâîëÿåò ñâåñòè ýòó ñèñòåìó êîäíîìó óðàâíåíèþ (ëèíåéíîìó îäíîìåðíîìó óðàâíåíèþ Íàâüå-Ñòîêñà ïðè µ > 0)∂t w(x, t) + ve ∂x w(x, t) = µ ∂x2 w(x, t),w(x, t)|t=0 = w0 (x).2(x, t) ∈ R+(10) îäíîé èç ïîñëåäóþùèõ ëåêöèé, ìû ïîñòàðàåìñÿ ïîíÿòü òó äîïîëíèòåëüíóþ èíôîðìàöèþ, êîòîðóþïðåäîñòàâèëî íàì ðàñøèðåíèå (7), ÷òîáû îáúÿñíèòü âîçíèêøèå òðóäíîñòè â ïðîáëåìå ñóùåñòâîâàíèÿêëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (69), ñ êîòîðûìè ìû ñòîëêíóëèñü âûøå, è ÷òî âàæíåå ïîíÿòü ïðàâèëîâûáîðà ïðîñòðàíñòâà ðàçðåøèìîñòè (69).
Çàìå÷àòåëüíî òî, ÷òî ñàìà ôèçèêà, âåðíåå ó÷åò ðåàëüíûõçàäà÷, âîçíèêàþùèõ ïðè ðåêîíñòðóêöèè ïðîöåññà, ïîçâîëÿåò ñ óñïåõîì è êàê óâèäèì ñ áåñïîðíîéìàòåìàòè÷åñêîé êðàñîòîé âûõîäèòü èç òðóäíîñòåé.Ñ åùå îäíîé (óíèâåðñàëüíîé) ïðîáëåìîé ñóùåñòâàíèÿ ðåøåíèÿ ìû ìîæåì ïîçíàêîìèòüñÿ, ðàññìîòðåâîáîáùåííóþ çàäà÷ó Êîøè äëÿ âîçìóùåíèÿ ñïåöèàëüíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (69) vr (x, t) = x/t−,òàê íàçûâàåìîé âîëíû ðàçðÿæåíèÿ, ñ äàííûìè Êîøè íà îêðæíîñòè S(0,2) = {(t, x), x2 + (t − 2)2 = 2}√ðàäèóñà 2 ñ öåíòðîì â (0, 2) â îêðåñòíîñòè òî÷êè (1, 1):v|S(0,2) = ϕ,ãäå ϕ− çàäàííàÿ ôóíêöèÿ íà S(0,2) .Âîçìóùåííîå ðåøåíèå v = vr + ε w, ε ¿ 1, â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ∂t w +x∂x w = 0 ⇒ t∂t w + x∂x w = 0,tîäíà èç õàðàêòåðèñòèê êîòîðîãî x/t = const ïðè const = 1 êàñàåòñÿ êðèâîé S(0,2) , ãäå çàäàíûäàííûå Êîøè.
 ëþáîé îêðåñòíîñòè òî÷êè êàñàíèÿ, âûøå êàêñàòåëüíîé, õàðàêòåðèñòèêè ïåðåñåêàþòîêðóæíîñòü â äâóõ òî÷êàõ. Ïþýòîìó äàííûå Êîøè âáëèçè òî÷êè êàñàíèÿ íå ìîãóò áûòü ëþáûìè.Êàê ìû îòìå÷àëè âûøå, â ýòîì ñëó÷àå íåò îêðåñòíîñòè òî÷êè êàñàíèÿ (1, 1), â êîòîðîé ñóùåñòâóåòêëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè. Òî÷êè òèïà (1, 1) íàçûâàþòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè òî÷êàìèêðèâîé çàäàíèÿ äàííûõ Êîøè. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îáîáùåííîé çàäà÷è Êîøè åñòü ïðîáëåìà ðàçðåøèìîñòèäëÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé êðèâîé çàäàíèÿ äàííûõ Êîøè.Ìû âûäåëèëè òîëüêî äâå èç óíèâåðñàëüíûõ ïðîáëåì òåîðèè óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè,ïðåäìåòîì èññëåäîâàíèÿ êîòîðîé, â îáùåì ñëó÷àå, ÿâëÿþòñÿ ôèçè÷åñêèå ìîäåëè îïèñûâàåìûåñèñòåìàìè íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé (îäíèì íåëèíåéíûì óðàâíåíèåì)Lj (u1 , . . .
, uN ) ≡ Fj (∂xα u1 , |α| ≤ m1 , . . . , ∂xα uN , |α| ≤ mN , x, t) = 0,j = 1, . . . , N, x ∈ Rn .(11)èëè ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (îäíèì ëèíåéíûì óðàâíåíèåì)Lj (u1 , . . . , uN ) ≡NXXαaαj,k (x)∂x uk = 0,j = 1, . . . , N, x ∈ Rn .k=1 |α|≤mkÇäåñü mk íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî êîìïîíåíòû uk ðåøåíèÿ, ∂xα = ∂xα11 .
. . ∂xαnn .Ïðèìåðû Ïðèâåäåì ïðèìåðûPõîðîøî èçâåñòíûõ ñèñòåì è óðàâíåíèé:n1. Óðàâíåíèå Ëàïëàñà ∆ u = j=1 ∂x2j u;2. Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè (äèôôóçèè) ∂t u − ∆ u = 0;3. Âîëíîâîå óðàâíåíèå ¤ u = ∂t2 − ∆ u;4. Óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà −∆ u = λ u;5. Óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðài ∂t u + ∆ u = 0 (îñíîâíîå óðàâíåíèå íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîéìåõàíèêè);6. Òåëåãðàôíîå óðàâíåíèå ∂t2 u − ∂x2 u + b ∂t u;5. Óðàâíåíèå Ýéêîíàëà |∇x u| = 1;6. Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè ∂t + H(∇x u, x) = 0;7. Ñèñòåìà óðàâíåíèé ëèíåéíîé óïðóãîñòè µ∆ u + (λ + µ)∇x (divx u) = 0;8. Ñèñòåìà óðàâíåíèé Ýéëåðà (èäåàëüíûé ãàç)∂t u + (u · ∇x )u = −∇x p,divx u = 0;9. Ñèñòåìà óðàâíåíèé Íàâüå-Ñòîêñà (âÿçêàÿ æèäêîñòü)∂t u + (u · ∇x )u − ∆u = −∇x p,divx u = 0;10.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
