Е.В. Радкевич - Лекции по урматфизу (1120444), страница 9
Текст из файла (страница 9)
 ñàìîì äåëå,åñëè âçÿòü êîíå÷íóþ ε/2 ñåòü ìíîæåñòâà Qε/2 , òî îíà áóäåò ε ñåòüþ äëÿ ìíîæåñòâà Q.Äîêàçàòåëüñòâî Âîñïîëüçóåìñÿ îïåðàöèåé óñðåäíåíèÿ. ÏîëîæèìZFε = {fε (x) =ωε (y)f (x − y)dy.Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî â ñèëó ôèíèòíîñòè f ∈ L1loc (Rn ). Îòìåòèì, ÷òî ïðåäêîìïàêòíîñòüâ H s2 (Rn ) ìíîæåñòâà F ðàâíîñèëüíà ïðåäêîìïàêòíîñòè â L2 (Rn ) âñåõ ìíîæåñòâ Fα = {∂xα f, f ∈F}, ãäå |α| ≤ s2 .◦◦Äàëåå, èç óñëîâèÿ f ∈H s (Ω) ñëåäóåò, ÷òî ∂xα f ∈ H s−|α| (Ω), |α| ≤ s.
Ââèäó óñëîâèÿ s1 > s2 ÿñíî,◦÷òî âñå ìíîæåñòâà Fα ïðèíàäëåæàò îãðàíè÷åííîìó ïîäìíîæåñòâó â H 1 (Ω). Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî◦ïðîâåðèòü êîìïàêòíîñòü âëîæåíèÿ H 1 (Ω) ⊂ L2 (ω).Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ýòó òåîðåìó äëÿ s2 = 0, s1 = 1. Ðàññìîòðèì îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî F ={u ∈ H s1 (Rn ), ||u; H s1 || ≤ 1}. Ìû äîêàæåì ñóøåñòâîâàíèå äëÿ ëþáîãî δ > 0, δ ¿ 1, êîíå÷íîãî δ−ïîêðûòèÿ ýòîãî F êàê ïîäìíîæåñòâà â H s2 (Rn ), ÷òî ýêâèâàëåíòíî åãî ïðåäêîìïàêòíîñòè â H s2 (Rn ).Ïðåæäå âñåãî ðàâíîìåðíî àïïðîêñèìèðóåì ýòî ìíîæåñòâî ãëàäêèìè ôóíêöèÿìè. Äëÿ ýòîãîðàñìîòðèì ìíîæåñòâîFε = {fε (x) = f ∗ ωε =< f (y), ωε (x − y) >, f ∈ H s },ωε (x) =x1ω( ),nεε˙ ìû îáîçíà÷èëè äåéñòâèå ðàñïðåäåëåíèÿ f ∈ H s íà òåñòîâóþ ôóíêöèþ èç S .ãäå ÷åðåç < f, >Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî îïåðàòîð ñãëàæèâàíèÿ f ∗ ωε ïåðåñòàíîâî÷åí ñ îïåðàòîðîì îáîáùåííîãîäèôôåðåíöèðîâàíèÿ.
Äåéñòâèòåëüíî:³´∂xj f = − < f (y), ∂yj ωε (x − y) >=< f (y), ∂xj ωε (x − y) >= ∂xj < f (y), ωε (x − y) >= ∂xj fε .εÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òî fε ∈ Cb∞ (Rn ) êëàññó áåñêîíå÷íî-äèôôåðåíöèðóåìûõ îãðàíè÷åííûõ â Rn ôóíêöèé.×òîáû äîêàçàòü, ÷òî fε ∈ S òðåáóåòñÿ óñòàíîâèòü îãðàíè÷åííîñòü â Rn ôóíêöèé xα fε . Äîñòàòî÷íîαïðîâåðèòü äëÿ xα = xj j . Èìååì:αx fε =αjXCrjrαj −r< y f (y), (x − y)ωε (x − y) >=r=0αjX< y r f (y), ωε,r (x − y) >r=0ãäå òåñòîâûå ôóíêöèè ωε,r (x) = Crj xαj −r ωε (x) ∈ S .
Ôóíêöèè f ∈ F ∈ L2 (Rn )− ðåãóëÿðíûåðàñïðåäåëåíèÿ,íîñèòåëü êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò îãðàíè÷åííîìó çàìêíóòîìó ìíîæåñòâó Ω ∈ Rn .Îòñþäà èìååì, ÷òî| < y r f (y), ωε,r (x − y) > | ≤ ||y r f (y); L2 (Ω)|| ||ωε,r ; L2 (R)n || < ∞Äàëåå|fε (x)| ≤p|Ω| ||f, L2 (Ω)||ãäå |Ω|− îáúåì Ω. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî Fε ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíî â Rn . Áîëåå òîãî íîñèòåëüsupp fε ∈ Oε (Ω). Çäåñü Oε (Ω), ε− îêðåñòíîñòü ìíîæåñòâà Ω. Òàêæå äîêàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíàÿîãðàíè÷åííîñòü ïðîèçâîäíûõ ∂x fε , fε ∈ Fε .p|∂x fε (x)| = |(∂x f )ε (x)| ≤|Ω| ||∂x f, L2 (Ω)||Ïî òåîðåìå Àðöåëÿ ìíîæåñòâî Fε ïðåäêîìïàêòíî â C(Oε (Ω)).
Îñòàëîñü ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ëþáîãîδ > 0 ñóùåñòâóåò ε(δ), ÷òî F ëåæèò â δ− îêðåñòíîñòè Fε â L2 (Rn ).Äëÿ ëþáîé f ∈ F ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fj → f, fj ∈ S , â H 1 (Rn ). Òîãäà ||fj , H 1 (Rn )|| →||f, H 1 (Rn )|| èfj→ f â H 1 (Rn ), sj = ||fj , H 1 (Rn )||sjÎ÷åâèäíî||fj, H 1 (Rn )|| ≤ 1,sjfj∈ S,sjÅñëè f, g ∈ F, ||f − g, L2 (Ω)|| ≤ δ òî ||fε − gv e, L2 (Ω)|| ≤ δ .
Äàëåå, äëÿ ãëàäêèõ f ∈ S èìååìZf −fε =Z[f (x)−f (x−y)]ωε (y)dy =Z1dy0d(f (x)−f (x−ty))ωε (y)dt =dtZZ1dy0nXyj ∂xj f (x−ty))ωε (y)dtj=1Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òîZ1||f − fε , L2 (Oε (Ω))|| ≤dt0Çäåñü δ = supx∈ωεPnj=1Z Xnn1n|yj |ωε (y)dy ||∂xj f, L2 (R )|| ≤≤ ||f, H (R )||j=1Z Xn|yj |ωε (y)dy ≤ δlta ||f, H 1 (Rn )|j=1|yj |.Òåîðåìà 0.6 (Ýêâèâàëåíòíàÿ ôîðìà äðîáíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ)  H s , |s| < 1, ýêâèâàëåíòíûíîðìûZ||u; H s ||2 =Z Z(1 + |ξ|2 )s |eu(ξ)|2 dξ,|u(x) − u(y)|2dxdy|x − y|2s+nÏðèëîæåíèå ê Ëåêöèè 7.Çàäà÷èËåöèÿ VIII.
Àïðèîðíàÿ îöåíêà Êàê ïðèëîæåíèå ðåçóëüòàòîâ ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôàïîëó÷èì àïðèîðíóþ îöåíêó H k − ðåøåíèé (3.1), k ≥ 1. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó (3.1) Rn+1 . Ïóñòüf (t, x) ôèíèòíà â Rn+1 , à ψ(x) ôèíèòíà â Rn . Ïóñòü äàëåå f (t, x) èìååò â QT ïðîèçâîäíûå ññóììèðóåìûì êâàäðàòîì äî ïîðÿäêà k âêëþ÷èòåëüíî, ýëåìåíòû ìàòðèöû B èìåþò îãðàíè÷åííûåâ QT ïðîèçâîäíûå äî ïîðÿäêà k âêëþ÷èòåëüíî, à ýëåìåíòû Aj èìåþò èìåþò îãðàíè÷åííûå â QTïðîèçâîäíûå äî ïîðÿäêà k + 1 âêëþ÷èòåëüíî. Òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà·Z XZXαα(D u, D u) dx ≤ C(Dα u, Dα u) dxGτ |α|≤kG |α|≤kZ¸(Dα f, Dα f ) dxdt ,X+(3.8)Ωτ |α|≤kãäå C çàâèñèò òîëüêî îò ìàòðèö Aj , B è èõ ïðîèçâîäíûõ.Äîêàæåì ýòî äëÿ ïîñòîÿííûõ Aj , B .
Ïðèìåíèì Dα ê ñèñòåìå (3.1) è îáîçíà÷èì w = Dα u. Òîãäàwt +nXAj wxj + Bw = Dα fj=1è èç ýíåðãåòè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà (3.6) äëÿ w ïîëó÷àåì·ZZZ(Dα u, Dα u) dx ≤ C1(Dα u, Dα u) dx +GτG¸(Dα f, Dα f ) dxdt .ΩτÑóììèðóåì ïî |α| îò 0 äî k , ïîëó÷àåì èñêîìóþ îöåíêó.Ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ñèñòåìû ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìèÒåïåðü ðàññìîòðèì â ïîëîñå QT = {0 ≤ t ≤ T, x ∈ Rn } ñèñòåìó (3.1) ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìèut +nXAj uxj + Bu = f (t, x),(72)j=1ãäå Aj , B ìàòðèöû ñ ïîñòîÿííûìè ýëåìåíòàìè, Aj ñèììåòðè÷åñêèå, à B óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ(Bu, u) ≥ (u, u). Èùåì ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè ñ íà÷àëüíûì óñëîâèå쯯u¯= ϕ(x), ϕ ∈ Sx .(3.9)t=0 äàëüíåéøåì ìû èññëåäóåì äâå çàäà÷è:¯¯I)L(u) = 0,u¯= ϕ0 (x).t=0II)L(u) = f,¯¯u¯t=0= 0.Ñóììà èõ ðåøåíèé äàåò ðåøåíèå îáùåé çàäà÷è (3.1), (3.9).
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé f ≡ 0.Ïðåäïîëîæèì ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ u(t, x) ∈ Sx äëÿ âñåõ t. Ïðèìåíèì ê îáåèì ÷àñòÿì ðàâåíñòâà(3.1) â ýòîì ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî x:Zub(t, ξ) =e−i(x,ξ) u(t, x)dx.RnÒîãäà çàäà÷à Êîøè (3.1), (3.2) ïðèìåò âèä:ubt +nXiAj ξj ub + Bbu = 0,(3.10)j=1ub(0, ξ) = ϕ(ξ).b(3.11)Ìû ïîëó÷èëè ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêàñ ïàðàìåòðàìè ξ1 , . . . , ξn . Äëÿ òàêîé ñèñòåìû çàäà÷à Êîøè èìååò ðåøåíèå. Òàêèì îáðàçîì â QTñóùåñòâóåò ub(t, ξ) ðåøåíèå ñèñòåìû (3.10) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì (3.11).
Ðàññìîòðèì èíòåãðàëZei(x,ξ) ub(t, ξ)dξ.(3.12)u(t, x) = (2π)−nRnÏðåäëîæåíèå 0.4 Èèíòåãðàë (3.12) äàåò ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè I) äëÿ ñèñòåìû (3.1) ñ ïîñòîÿííûìèêîýôôèöèåíòàìè, ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì (3.9).Âûâåäåì îöåíêó äëÿ |bu(t, ξ)|. Äëÿ ýòîãî çàïèøåì ñèñòåìó êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííóþ ê (3.1):ubt −nXiAj ξj ub + Bbu = 0.(3.13)j=1Óìíîæèì ñèñòåìó (3.10) íà âåêòîð ub, à (3.13) íà ub è ñëîæèì èõ ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî³´ ³´2ubt ub+ubt ub = |bu|t ,iAj ξj ub, ub = ub, iAj ξj ub .Ïîëó÷èì³´ ³´2|bu|t + Bbu, ub + Bbu, ub = 0.(3.14)³´ ³´Çäåñü âûðàæåíèÿ Bbu, ub è Bbu, ub ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé áèëèíåéíûå ôîðìû îòíîñèòåëüíî ubèub.2Ïîýòîìó èç (3.14) ñëåäóåò îöåíêà |bu|2t ≤ M · |bu|2 . Îáîçíà÷èì v = |bu| . Òîãäà vt ≤ M v .
Óìíîæèì−M tïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî íà e. Ïîëó÷èìd ¡ −M t ¢ev ≤ 0.dtÈíòåãðèðóÿ ýòî íåðàâåíñòâî ïî t îò íóëÿ äî t, ïîëó÷àåì e−M t v(t) − v(0) ≤ 0. Îòñþäà v(t) ≤ eM t v(0).Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî¡¢22|bu(t, ξ)| ≤ eM T |ϕ(ξ)|b, ∀ t ∈ [0, T ].(3.15)Òåïåðü îöåíèì ñòàðøèå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè (3.12). Ïîêàæåì, ÷òîub(t, ξ) ∈ S∀ t ∈ [0, T ],ò.å. äëÿ ëþáîãî ïîëèíîìà P (ξ) è ëþáîãî α|P (ξ)Dα ub| ≤ MP,α = const .(3.17)Óìíîæàÿ (3.15) íà ëþáîé ïîëèíîì è, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ϕb0 ∈ S ïîëó÷èì îöåíêó (3.17) ïðè α = 0. Òåïåðüçàìåòèì, ÷òî ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü ïîïàðàìåòðó ξ (ò.ê.
ðåøåíèå ãëàäêî çàâèñèò îò ïàðàìåòðà). Ïîëó÷èì àíàëîãè÷íóþ ñèñòåìó äëÿ ñîâîêóïíîñòèDα ub = vα , |α| ≤ M (èçìåíèòñÿ òîëüêî B ) è vα (0, ξ) = Dα ϕb0 (ξ). ÏîýòîìóXX|vα | < CM|Dα ϕb0 (ξ)| ,|α|≤Mîòêóäà è ñëåäóåò (3.17) äëÿ |α| > 0.|α|≤MÒàêèì îáðàçîì, èíòåãðàëZu(t, x) = (2π)−nei(x,ξ) ub(t, ξ)dξRnñõîäèòñÿ è îïðåäåëÿåò íåêîòîðóþ ôóíêöèþ u(t, x) ∈ S. Ïðîâåðèì, ÷òî u(t, x) äàåò ðåøåíèå çàäà÷èI). Çàìåòèì, ÷òîZDα u(t, x) = (2π)−nei(x,ξ) (iξ)α ub(t, ξ)dξRnâ ñèëó ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà. Ôóíêöèþ u(t, x) ìîæíî òîæå äèôôåðåíöèðîâàòü ïî tïîä çíàêîì èíòåãðàëà, òàê êàê ubt (t, ξ) èç (3.13) ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ub ñ êîýôôèöèåíòàìè,çàâèñÿùèìè îò ξj .
Ïîäñòàâèì u(t, x) â ñèñòåìó I), ïîëó÷èì, ÷òî u(t, x) åñòü ðåøåíèå I).×òîáû ïîñòðîèòü ðåøåíèå u ∈ H k èç ïðîñòðàíñò Ñîáîëåâà, ñíà÷àëà ïîëó÷èì ðàâíîìåðíûåîöåíêè ðåøåíèé u(t, x) ∈ S , ïîñòðîåííûõ âûøå. Èç ðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿ, â ñèëó íåðàâåíñòâà (3.16),ñëåäóåòZZ2|u(t, x)| dx ≤ C|ϕ0 |2 dx.RnRnα u = (iξ) udÄàëåå, èç Db(ξ) è (3.15) ïîëó÷àåì, ÷òîα2222|(iξ)α | |bu(ξ)| ≤ |(iξ)α | |ϕ(ξ)|b,îòêóäà èç ðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿ òàêæå ïîëó÷àåì, ÷òîZZX2|Dxα u| dx ≤ CXRn |α|≤MRn |α|≤M2|Dxα ϕ| dx(3.17)Ðåøèì òåïåðü çàäà÷ó I) åñëè ϕ0 ∈ Hm .  ïðîñòðàíñòâå Hm ââåäåíà íîðìàZX2|Dα u| dx.kuk2m =Rn |α|≤Mk→+∞Åñëè ϕ0 ∈ Hm , òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòüϕk0 −→ ϕ0 â íîðìå Hm è¯ϕk0 ∈ S äëÿ ëþáûõ k = 1, 2, .
. . Äëÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé u¯t=0 = ϕk0 , k = 1, 2, . . . , ìû óæå ïîñòðîèëèðåøåíèå uk (t, x) çàäà÷è Êîøè (3.1), (3.9). Ïîêàæåì, ÷òîËåììà 0.3 Ðåøåíèÿ uk → u çàäà÷è Êîøè (3.1), (3.9) ( uk (0, x) = ϕk0 ) ïðè k → ∞ â íîðìå Hmðàâíîìåðíî ïî t. Ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è I) ñ íà÷àëüíîé ôóíêöèåé ϕ0 .Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ϕk0 ôóíäàìåíòàëüíà â Hm . Ñëåäîâàòåëüíî,ZX ¯¯°°¯Dα ϕk0 − Dα ϕl0 ¯ dx = °ϕk0 − ϕl0 °2 → 0,ïðè k, l → ∞.mRn |α|≤MÈç íåðàâåíñòâà (3.17) ñëåäóåò, ÷òîZZX ¯¯¯Dα uk − Dα ul ¯ dx ≤ CRn |α|≤MèëèX ¯¯¯Dα ϕk0 − Dα ϕl0 ¯ dx,Rn |α|≤M° k°°°°u − ul ° ≤ C °ϕk0 − ϕl0 °mmäëÿ ëþáîãî t. çíà÷èò, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü uk ôóíäàìåíòàëüíà â Hm , ïðè÷åì ñõîäèìîñòü ðàâíîìåðíàïî t.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
