Е.В. Радкевич - Лекции по урматфизу (1120444), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Ìíîæåñòâî çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé îáëàñòü âíóòðèïåðåäíåãî ôðîíòà âîëíû, êóäà ïîïàäàþò òî÷êè x ∈ R2 , óäàëåííûå îò B ìåíåå, ÷åì íà at.Ïóñòü êîëåáàíèÿ, âûçâàííûå âîçìóùåíèåì íà÷àëüíûõ óñëîâèÿìè â íåêîòîðîì îãðàíè÷åííîììíîæåñòâå B äîøëè â êàêîé-òî ìîìåíò âðåìåíè äî òî÷êè x0 . Äàëåå ïî âðåìåíè â òî÷êå x0 ýòèâîçìóùåíèÿ áóäóò ïîñòîÿííî îùóùàòüñÿ, ïðàâäà, âñå â ìåíüøåé ñòåïåíè. Ýòî îáóñëîâëåíîòåì, ÷òîpâ çíàìåíàòåëå ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ â (90) ñòîèò ðàñòóùàÿ ïî t âåëè÷èíà (at)2 − |x0 − ξ|2(x0 ôèêñèðîâàíî, à ξ ïðîáåãàåò îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî B ).
Êàê ìû âèäèì, íàèáîëüøåå âëèÿíèåíà âåëè÷èíó u(t, x0 ) îêàçûâàþò çíà÷åíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé ϕ(ξ) è ψ(ξ) â òåõ òî÷êàõ ξ , êîòîðûåóäàëåíû îò x0 íà ðàññòîÿíèÿ, áëèçêèå ê at, òàê êàê èìåííî òàì çíàìåíàòåëü â (90) ìàë. Äëÿ òîãî,÷òîáû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî êîëåáàíèÿ ñî âðåìåíåì çàòóõàþò, ãîâîðÿò î ðàçìûòîì çàäíåì ôðîíòåâîëíû â R2 (à íå î åãî îòñóòñòâèè).Çàìå÷àíèå 0.2 Ïðîèëëþñòðèðóåì íàøè ìàòåìàòè÷åñêèå âûâîäû ôèçè÷åñêèìè ïðèìåðàìè.
Çâóêîâûåâîëíû â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ, áåçóñëîâíî, ñ íàëè÷èåì çàäíåãî ôðîíòà,èíà÷å ëþáîé çâóê ìû áû ñëûøàëè ñ äîëãèì (õîòü è ïîñòåïåííî çàòóõàþùèì) ýõîì. Íó à ðàñõîäÿùèåñÿíà ïîâåðõíîñòè âîäû êðóãè (à íå îäèí êðóã) îò áðîøåííîãî êàìíÿ (ýòî è åñòü ñèëüíî ëîêàëèçîâàííîåâîçìóùåíèå íà÷àëüíûõ äàííûõ) ïðåêðàñíî äåìîíñòðèðóþò ÷åòêèé ïåðåäíèé è ðàçìûòûé çàäíèéôðîíò âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ â äâóìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.Îäíîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî.
Êàê ìû âèäèì èç ôîðìóëû Äàëàìáåðà (94), çíà÷åíèå ðåøåíèÿu(t, x0 ) çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ ñòðóíû çàâèñèò îò íà÷àëüíîãî ñìåùåíèÿ ñòðóíû ϕ â òî÷êàõx0 ± at è íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ψ íà îòðåçêå [x0 − at, x0 + at]. Îòðåçîê çäåñü ýòî îäíîìåðíûé øàð,à òî÷êè x0 ± at ñôåðà â îäíîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (ãðàíèöà øàðà). Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèåïðèíöèïèàëüíî ïî-ðàçíîìó çàâèñèò îò ϕ è îò ψ : çàâèñèìîñòü îò ϕ àíàëîãè÷íà òðåõìåðíîìó ñëó÷àþ,à îò ψ äâóìåðíîìó.Íàïðèìåð, åñëè ψ ≡ 0, à ϕ(x) = 0 ïðè |x| ≥ 1, è ϕ(x) > 0 ïðè x ∈ (−1, 1), òîu(t, x) =ϕ(x − at) + ϕ(x + at),2è u(t, x) > 0, åñëè õîòÿ áû îäíî èç ÷èñåë x ± at ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó (−1, 1), è u(t, x) = 0â îñòàëüíûõ òî÷êàõ.
Ìíîæåñòâî çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ îò çíà÷åíèÿ íà÷àëüíîãî ñìåùåíèÿ ϕ íàèíòåðâàëå (−1, 1) çàäàåòñÿ, êàê è â òðåõìåðíîì ñëó÷àå, íåðàâåíñòâàìè (95).Åñëè æå, íàîáîðîò, ϕ ≡ 0, ψ(x) = 0 ïðè |x| ≥ 1, è ψ(x) > 0 ïðè |x| < 1, òîZ x+at1ψ(ξ)dξ,u(t, x) =2a x−atè u(t, x) > 0 ïðè (−1, 1) ∩ (x0 − at, x0 + at) 6=?????? è u(t, x) = 0 â îñòàëüíûõ òî÷êàõ, òî åñòü ïðèx0 − at ≥ 1 èëè x0 + at ≤ −1. Ìíîæåñòâî çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ îò çíà÷åíèÿ íà÷àëüíîé ñêîðîñòèψ íà èíòåðâàëå (−1, 1) çàäàåòñÿ, êàê è â äâóìåðíîì ñëó÷àå, ñîîòíîøåíèåì (96). Çàìåòèì òàêæå,÷òî ïðè ðàññìàòðèâàåìûõ ôèíèòíûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ, ìû íå èìååì ñòðåìëåíèÿ u(t, x0 ) ê 0 ïðèt → +∞:ZZ 111ψ(ξ)dξ =ψ(ξ)dξ > 0∀x0 ∈ R.lim u(t, x0 ) =t→+∞2a R2a −1Ýòî îòëè÷àåò íàøó îäíîìåðíóþ çàäà÷ó íå òîëüêî îò òðåõìåðíîé, íî è îò äâóìåðíîé.Íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå. Ïðèíöèï Äþàìåëÿ.
Ïðèíöèï Äþàìåëÿ, ïî ñóùåñòâó,óòâåðæäàåò, ÷òî, óìåÿ ðåøàòü çàäà÷ó Êîøè äëÿ îäíîðîäíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ, ìû ìîæåìðåøèòü è íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèåutt = a2 ∆x u(t, x) + f (t, x),íàïðèìåð, ñ íóëåâûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿì误¯¯u¯= ut ¯t=0t > 0,x ∈ Rn ,(97)(98)= 0.t=0Òåîðåìà 0.9 Ïóñòü U (t, τ, x) ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ îäíîðîäíîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿUtt = a2 ∆x U (t, τ, x),ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè, çàäàííûìè ïðè t = τ :¯¯¯¯= U (τ, τ, x) = 0,Ut ¯U¯t=τÒîãäà ôóíêöèÿZx ∈ Rn ,(99)= Ut (τ, τ, x) = f (τ, x).(100)t > τ,t=τtu(t, x) :=U (t, τ, x)dτ0(101)ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì íåîäíîðîäíîé çàäà÷è (97)(98).Çàìå÷àíèå 0.3 Ïîñòàíîâêà íà÷àëüíûõ óñëîâèé â çàäà÷å (99)(100) íå â ìîìåíò âðåìåíè t = 0, àïðè t = τ > 0, âëå÷åò òîëüêî òî, ÷òî â ñîîòâåòñòâóþùåé ôîðìóëå (Êèðõãîôà, Ïóàññîíà, Äàëàìáåðà)íàäî âåçäå çàìåíèòü t íà t − τ .Çàìå÷àíèå 0.4 Ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé çàäà÷è Êîøè â äâóìåðíîì è òðåõìåðíîìñëó÷àÿõ ìû äîêàçàëè ïðè ãëàäêîñòè íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ψ ∈ C 2 , ñëåäîâàòåëüíî è ðåøåíèå íåîäíîðîäíîéçàäà÷è ìû ïîëó÷èì ëèøü â ïðåäïîëîæåíèè f (t, x) ∈ C 2 .Äîêàçàòåëüñòâî.
Áóäåì äèôôåðåíöèðîâàòü ôóíêöèþ u(t, x), çàäàííóþ (99). Âñå äèôôåðåíöèðîâàíèÿíèæå çàêîííû, òàê êàê ôóíêöèÿ U (t, τ, x), êàê ðåøåíèå îäíîðîäíîé çàäà÷è Êîøè, ÿâëÿåòñÿ äâàæäûíåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìîé ïî t è ïî x. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðîèçâîäíûõ ïî x, ïðîñòî äèôôåðåíöèðóåìïî ïàðàìåòðó ïîä çíàêîì èíòåãðàëà:Z t∆x u(t, x) =∆x U (t, τ, x)dτ.0Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè u(t, x) ïî ïåðåìåííîé t, äèôôåðåíöèðîâàòü ïðèõîäèòñÿ êàêïî ïàðàìåòðó, òàê è ïî âåðõíåìó ïðåäåëó:Z tZ tZ t∂Ut (t, τ, x)dτ,Ut (t, τ, x)dτ =ut (t, x) =U (t, τ, x)dτ = U (t, t, x) +∂t 000Z tZ tZ t∂utt (t, x) =Ut (t, τ, x)dτ = Ut (t, t, x) +Utt (t, τ, x)dτ = f (t, x) +Utt (t, τ, x)dτ.∂t 000Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî â ñèëó íà÷àëüíûõ óñëîâèé (100), U (t, t, x) = 0, Ut (t, t, x) = f (t, x).Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî Utt = a2 ∆x U (ñì.
(99)), ïîëó÷àåì (97). Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (98) òàêæå, î÷åâèäíî,âûïîëíåíû.Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (97) ñ ïðîèçâîëüíûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìèu|t=0 = ϕ(x),ut |t=0 = ψ(x),â ñèëó ëèíåéíîñòè çàäà÷è, áóäåò âûðàæàòüñÿ òàê:u(t, x) =∂Mϕ(x) (t, x) + Mψ(x) (t, x) +∂tZ0tMf (τ,x) (t − τ, x)dτ,ãäå îïåðàòîð Mg çàäàåòñÿ (78), (90) èëè (93) â çàâèñèìîñòè îò ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà. Íàïðèìåð,ïðè n = 1, ôîðìóëà Äàëàìáåðà (94) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå:ϕ(x − at) + ϕ(x + at)1u(t, x) =+22aZx+atx−at1ψ(ξ)dξ +2aZ tZx+a(t−τ )f (τ, ξ)dξdτ.0x−a(t−τ )Ïðèëîæåíèå ê Ëåêöèè 10. Ïðîñòðàíñòâî ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè.
Âîçíèêàåò åñòåñòâåííûéâîïðîñ: ÷òî æå êà÷åñòâåííî ïðîèñõîäèò ñ ðàñïðîñòðàíåíèåì âîëí â ñëó÷àå n ïðîñòðàíñòâåííûõïåðåìåííûõ? Èëè ïî-äðóãîìó: ïî êàêîìó ìíîæåñòâó, ñôåðå Sxat èëè øàðó Bxat èäåò èíòåãðèðîâàíèåâ îïðåäåëåíèè îïåðàòîðà Mg (t, x), åñëè x ∈ Rn ? Ôîðìóëû, êîòîðûìè äàåòñÿ ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè âñëó÷àå n ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ, íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ÃåðãëîòöàÏåòðîâñêîãî, è ìû èõçäåñü íå ïðèâîäèì, äàâàÿ ëèøü ïðèíöèïèàëüíûé îòâåò. Èíòåðåñóþùèìñÿ ïîñîâåòóåì, îáðàòèòüñÿ,íàïðèìåð, ê [?]. ïðîñòðàíñòâàõ íå÷åòíîé ðàçìåðíîñòè n (çà èñêëþ÷åíèåì n = 1), èíòåãðèðîâàíèå â îïðåäåëåíèèîïåðàòîðà Mg èäåò ïî ïîâåðõíîñòè ñôåðû Sxat , ñëåäîâàòåëüíî, êàê â ðàññìîòðåííîì íàìè òðåõìåðíîìñëó÷àå, ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí èäåò ñ íàëè÷èåì ïåðåäíåãî è çàäíåãî ôðîíòà. ïðîñòðàíñòâàõ ÷åòíîé ðàçìåðíîñòè, èíòåãðèðîâàíèå â îïðåäåëåíèè îïåðàòîðà Mg èäåò ïîøàðó Bxat , ñëåäîâàòåëüíî, êàê â äâóìåðíîì ñëó÷àå, ó âîëí åñòü òîëüêî ïåðåäíèé ôðîíò, à çàäíèé ðàçìûò.Ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè îäèí ñòîèò îñîáíÿêîì.Çàäà÷èËåêöèÿ XI.
Ìåòîä Ãàëåðêèíà. Ñìåøàííàÿ çàäà÷à∂t2 u − div(k(x)∇ u) + a(x) u = f, (x, t) ∈ QT = Q × (0, T ),u|ST = 0, ST = ∂ Q × (0, T ),◦1u|t=0 = ϕ ∈ H , ∂t u|t=0 = ψ ∈ L2 (Q)◦1Ïóñòü vj (x) ∈ C 2 (Q), vj |∂ Q = 0, ñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé, ïîëíàÿ â H , . Ðàññìîòðèìêîíå÷íîìåðíûå ïîäïðîñòðàíñòâà ëèíåéíûõ îáîëî÷åê Vm = L(v1 , . . . , vm ) ⊂ L2 (Q).
Ìåòîä Ãàëåðêèíàñîñòîèò â ðåøåíèè êîíå÷íîìåðíûõ àïïðîêñèìàöèè ñìåùàííîé çàäà÷è, ïîëó÷àåìûõ îðòîãîíàëüíîéïðîåêöèåé íà Vm , ò.å. èùåòñÿ wm (x, t) ∈ H 2 (QT ), wm |ST = 0, òàê ÷òî wm ∈ Vm äëÿ ∀ t ∈ [0, T ] èwm |t=0 = ϕm =mXϕj vj (x), ∂t wm |t=0 = ψm =j=1mXψj vj (x)j=1ãäå ϕm , ψm -îðòîãîíàëüíûå ïðîåêöèè ôóíêöèé ϕ, ψ íà Vm . Äàëåå, ïî÷òè âñþäó âûïîëíåíî óðàâíåíèå∂t2 wm − div(k(x)∇ wm ) + a(x)wm = fmPmÀïðîêñèìèðóþùåå ðåøåíèå áóäåì èñêàòü â âèäå wm =j=1 cj (t) vj (x). Ò.å.
èùþòñÿ ôóíêöèècj (t), cj (0) = ϕj , c0j (0) = ψj , òàê ÷òî ï.â. t ∈ (0, T ) (ï.â. t, äëÿ êîòîðûõ îïðåäåëåí ñëåä f (t, ·))âûïîëíåíî èíòåãðàëüíîå òîæäåñòâîZZ2(∂t wm − div(k ∇ wm ) + awm )vk dx = fk (t) =f vk dx(102)Qò.å.Q(∂t2 wm − div(k ∇ wm ) + awm ) ⊥ Vm1.
ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî wm ,◦12. {wm } â íåêîòîðîì ñëàáîì ñìûñëå ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè u ∈ H . Äëÿ ïðîñòîòû ïóñòü ϕ = ψ ≡0 ⇒ ϕ m = ψm = 0 .mX(c00j (t)(vm , vk )L2 (Q) + cj (t)(vm , vk ) ◦ 1 = fk (t) ∈ L2 ((0, T )), k = 1, . . . , mHj=1(103)cj (0) = c0j (0) = 0, j = 1, . . . , mÍîðìàZ(k∇ h∇ g + ahg)dx(h, g) ◦ 1 =HQÄîêàçàòåëüñòâî äëÿ ëþáîé fm ∈ L2 ((0, T )) ñóùåñòâîâàíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ (c1 , . . . , cm ) ∈ H 2 ((0, T ))ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíååíèé (103) ñëåäóåò èç êëàññè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ äëÿ ÎÄÓ, ïîñêîëüêó âñèëó ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè (v1 , . .
. , vm ) äëÿ ëþáîãî m ≥ 1 íåâûðîæäåííà ìàòðèöà Ãðàìà¡¢det (vk , vj )L2 (Q) 6= 0Äëÿ ìàòðèöû ãðàìàmX(vk , vj )L2 (Q) ξj ξk = ||mXξj vj ||2 > 0j=1j,k=11Èç òåîðåìû âëîæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî (c1 , . . . , cm ) ∈ C ((0, T )) Óìíîæàÿ m óðàâíåíèå íà c0m è ñóììèðóÿïîëó÷èìZZQT(∂t2 wm − div(k∇ wm ) + awm )∂t wm dxdt =f ∂t wm dxdtQTÈíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì ïîëó÷èìZZ12(∂t2 wm − div(k∇ wm ) + awm )∂t wm dxdt =)dx|t=T((∂t wm )2 + k(∇ wm )2 + awm2 QQTe 1 (QT ) ⊂ H 1 (QT ), ñîñòîÿùåå èç ôóíêöèé, îáðàùÿþùèõñÿ â íóëü íàÐàññìîòðèì ïîäïðîñòðàíñòâî HST ∪ D0 , Dτ = Q × {t = τ }.
Ìîæíî ââåñòè ýêâèâàëåíòíóþ íîðìó³Z´1/22kwkHe 1 (QT ) =((∂t wm )2 + k(∇ wm )2 + awm)dxdtQTòîãäàZ2ZTdτ0DτÑëåäîâàòåëüíî(∂t2 wm − div(k∇ wm ) + awm )∂t wm dx = kwk2He 1 (QT)kwk2He 1 (QT)≤ 2kf kL2 (QT ) kwm kHe 1 (QT )e 1 (QT ), ò.å. ñóùåñòâîâàíèå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòèÎòñþäà ñëåäóåò ñëàáàÿ êîìïàêòíîñòü ìíîæåñòâà {wm } â He 1 (QT ), j → ∞wmj + u ∈ Hu− åñòü îáîùåííîå ðåøåíèå ñìåøàííîé çàäà÷èZZ(k∇ u∇ v + auv − ∂t u ∂t v)dxdt =QTf vdxdtQT(104)1ee (QT ), ñîñòîÿùåãî èç ôóíêöèé èç H 1 (QT ), ðàâíûõ íóëþ íàäëÿ ëþáîé òåñòîâîé ôóíêöèè v ∈ HST ∪ DT .1ee (QT ) ìíîæåñòâàÄîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü (104) äëÿ íêîòîðîãî âñþäó ïëîòíîãî â HM.  êà÷åñòâå M âîçüìåì vk (x)θ(t), ãäå θ(t) ∈ C 1 ([0, T ]), òàêàÿ ÷òî θ(T ) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
