Е.В. Радкевич - Лекции по урматфизу (1120444), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Äëÿ ïîëíîãî ýëëèïòè÷åñêîãî îïåðàòîðà íåðàâåíñòâî âåðíî â äîñòàòî÷íîìàëîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè x0 . Äîêàæåì ïåðâîå óòâåðæäåíèå(âòîðîå îñòàåòñÿ â êà÷åñòâå çàäà÷è).Îáîçíà÷èì r = |x − x0 | è γi =ïðè i 6= jÒîãäàxi − x0ir∂211( s ) = s(s + 2) s+2 γi γj∂xi ∂xj rr(162)∂2 11s( s ) = s(s + 2) s+2 γi2 − s+22∂xi rrr(163)P11saij γi γjaiiL0= s(s + 2) s+2 [aij γi γj −]≥(s + 2 − e)s|x − x0 |rs+2rs+2(164)è âñå äîêàçàíî.Ëåììà Îëåéíèêà î íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé.
 ïðåäûäóùåì ïóíêòå áûëà óñòàíîâëåíàâûïóêëîñòü ñóá- è ñóïåðôóíêöèé. Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî èç L0 u ≥ 0 ñëåäóåòu(x) ≤ max∂Ω u(165)Ïóñòü x0 ∈ ∂Ω è u(x0 ) = max∂Ω u ≡ M . Òîãäà óòâåðæäåíèå ëåììû ñîñòîèò â òîì, ÷òî íîðìàëüíàÿïðîèçâîäíàÿ â ýòîé òî÷êå îò ôóíêöèè u(x) ñòðîãî îòðèöàòåëüíà (íîðìàëü áåðåòñÿ âíóòðåííÿÿ). Äëÿñóïåðôóíêöèé âñå àíàëîãè÷íî (ïðîèçâîäíàÿ ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà).Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ òàê íàçûâàåìûì ìåòîäîì áàðüåðíûõ ôóíêöèé Áåðíøòåéíà.  ñèëó òîãî,÷òî ãðàíèöà ïðåäïîëàãàåòñÿ ëèïøåöåâîé, åå ìîæíî êîñíóòüñÿ èçíóòðè îáëàñòè âíóòðåííèì øàðîìK, ïðè÷åì òî÷êîé êàñàíèÿ áóäåò x0 . Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî öåíòðîì øàðà ÿâëÿåòñÿ 0, àðàäèóñ ðàâåí R. Òîãäà äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ K\x0 áóäåò âåðíî u(x) < u(x0 ), òàê êàê âñå îíè ëåæàòñòðîãî âíóòðè îáëàñòè Ω.Ðàññìîòðèì ôóíêöèþεεv(x) = M + s − s(166)R|x|ãäå s ≥ e − 2.
Î÷åâèäíî, ÷òî L0 (v − u) ≤ 0 (ôóíêöèÿ v óæå áûëà èññëåäîâàíà âûøå). Èç âûïóêëîñòèñóïåðôóíêöèé ñëåäóåòv − u ≥ min∂Ω (v − u)(167) êà÷åñòâå Ω âîçüìåì êîëüöî ñ öåíòðîì â íóëå è ðàäèóñàìè R2 è R. Òîãäà íà ãðàíèöå ýòîé îáëàñòè(äâå ñôåðû)(168)v − u = M − u + O(ε) ≥ 0äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî è âî âñåì êîëüöå v ≥ u.Êðîìå òîãî, v(x0 ) = u(x0 ) = M . Çíà÷èò, íîðìàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò v−u â òî÷êå x0 íåîòðèöàòåëüíà(íîðìàëü âíóòðåííÿÿ äëÿ êîëüöà).
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî∂u∂v|x0 ≥|x∂n∂n 0(169)Òåïåðü îñòàëîñü ïîñìîòðåòü íà çíàê∂vεs|x = − s+1(170)∂n 0Ròàê êàê ìîæíî áðàòü ëþáîå s ≥ e − 2 (÷òîáû v áûëà ñóïåðôóíêöèåé), òî óòâåòæäåíèå äîêàçàíî (íàìäîñòàòî÷íî s > 0).Ïðèëîæåíèå ê Ëåêöèè 14.Óñèëåí. ïðèíöèï ìàêñ. êàê ñëåäñò. ëåììû ÎëåéíèêÇàäà÷è1. Ïóñòü BR øàð |x| < R è ñóùåñòâóåò êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå u ∈ C 2 (BR ) ∩ C 1 (BR ) çàäà÷èÍåéìàíà∆ u = −1 â BR , ∂r u|r=R = ψ.Äîêàçàòü,÷òî ôóíêöèÿ ψ íå ìîæåò áûòü ïîëîæèòåëüíîé âî âñåõ òî÷êàõ ãðàíèöû SR = ∂ BR .Ëåêöèÿ XV. Òåðåìà Ðèññà è ñëàáûå ðåøåíèÿ çàäà÷è Äèðèõëåè Íåéìàíà.Ñëàáûå ðåøåíèÿ çàäà÷è Äèðèõëå.◦Íåðàâåíñòâî Ôðèäðèõñà.
Åñëè v ∈H 1 (D, ∂D), òîZZ2|∇v| dx≥c|{z}èíòåãðàë ÄèðèõëåDv2(14.5)D◦Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé n = 1, v ∈H 1 . Ñëåäîâàòåëüíî, Dv 2 = 2ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâàRx0vvx dx. Ñëåäîâàòåëüíî,|v 2 | ≤ 2kv, L2 (I)kkvx , L2 (I)k =⇒Za|v 2 | ≤ 2akvkkvx k =⇒ kvk2 ≤ 2akvkkvx k =⇒0=⇒ kvk ≤ 2akvx k.Òåì ñàìûì ðàâåíñòâî äîêàçàíî. Ñëåäîâàòåëüíî,kuk◦H1Dkuk2H 1◦1=(14.6)kuk2L2+kux k2L2 ,à èç (14.6) ñëåäóåò, ÷òî= kux k ýêâèâàëåíòíàÿ íîðìà. Ââåäåì â H ýêâèâàëåíòíóþ íîðìóZ[v]2 =defk(x)|∇v|2 dx,(14.7)Dãäå (x) ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, k1 ≤ k(x) ≤ k2 < ∞. Ñëåäîâàòåëüíî,kvk◦H1≈ k1 kvx k2 ≤ [v]2 ≤ k2 k∇vk2L2 ≈ kvk◦H1.Ñëåäîâàòåëüíî, (14.7) õîðîøàÿ íîðìà è ñêàëÿðíîå ïðîèçâåëåíèå,êðîìå òîãî ïîëó÷àåì íå áàíàõîâîRïðîñòðàíñòâî, à ãèëüáåðòîâî.
Èòàê ïîëó÷àåì, ÷òî D[u, v] = D k∇u∇vdx ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.Íàøå òîæäåñòâî ïðèìåò âèä◦[v, G] = (f, G)L2 =(íàäî äîêàçàòü) = Ff (G) ôóíêöèîíàë â H 1 .(14.8)Åñëè ìû äîêàæåì, ÷òî ýòî îãðàíè÷åííûé ôóíêöèîíàë, òî ïî òåîðåìå Ðèññà îí çàïèøåòñÿ êàê:∃è ! G : F = [v, G]. Îãðàíè÷åííîñòü ôóíêöèîíàëà ñëåäóåò èç|(f, G)L2 | ≤ kf, L2 (D)kkG, L2 (D)k ≤ kf, L2 (D)k |{z}C [G].constÈòàê, èñïîëüçóÿ ìåòîä ñâåäåíèÿ ê òåîðåìå Ðèññà, ìû äîêàçàëè òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ.Ñëàáûå ðåøåíèÿ pàäà÷à Íåéìàíà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèìåíèòü òåîðåìó Ðèññà âñëó÷àå ñ çàäà÷åé Íåéìàíà, íàì ïîòðåáóåòñÿ àíàëîã íåðàâåíñòâà Ôðèäðèõñà. Âîò ýòî óòâåðæäåíèå:ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÎ ÏÓÀÍÊÀÐÅ.Ïîòðåáóåì, ÷òîáû ãðàíèöà îáëàñòè áûëà ëèïøåöåâîé.
Òîãäà ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè u ∈H 1 (Ω)1(171)||u − u||L2 (Ω) ≤ Cπ (D(u)) 2Rãäå u ≡ Ω u.Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðàë Äèðèõëå çàäàåò íîâóþ ýêâèâàëåíòíóþ íîðìóíà H 1 |const 3 {u ∈ H 1 ; u = const}.Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå. Ñ÷èòàåì, ÷òî îáëàñòü îãðàíè÷åíà, è ëþáûå åå äâåòî÷êè ìîæíî ñîåäèíèòü ëîìàíîé, çâåíüÿ êîòîðîé ïàðàëëåëüíû êîîðäèíàòíûì îñÿì.
Ïóñòü n = 2,çàêëþ÷èì îáëàñòü â êâàäðàò ñî ñòîðîíîé d è äîêàæåì íåðàâåíñòâî äëÿ ãëàäêèõ ôóíêöèé ñî ñðåäíèìíîëü. (ãëàäêèå ôóíêöèè ïëîòíû â H 1 , òàê êàê ãðàíèöà ëèïøåöåâà). Èòàê íóæíî äîêàçàòüZZ2|u| ≤ Cπ (∇u)2(172)ΩΩÒàê êàêZu≡(173)u=0Ωòî ñóùåñòâóåò x∗ ∈ Ω :u(x∗ ) = 0 (â ñèëó ãëàäêîñòè). Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ñ÷èòàåì,÷òî òî÷êè x è x∗ ìîæíî ñîåäèíèòü ëîìàíîé èç äâóõ çâåíüåâ: l1 - âåðòèêàëüíûé îòðåçîê, à l2 ãîðèçîíòàëüíûé.
ÒîãäàZZ x∗1Z x∗2∂u∂u∂uu(x) − u(x∗ ) =ds =(t, x∗2 ) dt +(x1 , t) dt(174)l ∂lx1 ∂x1x2 ∂x2ÒîãäàZ|u(x)| ≤ [2l2∂u+∂x1Zl1∂u 2] ≤|∂x2Zl1∂u 2| +|∂x2Zl2∂u 2|∂x1Îöåíèì ïîñëåäíèå èíòåãðàëû ñëåäóþùèì îáðàçîì:ZZ∂u 2∂u 2|| ≤d ()∂x∂x22l1l1ZZ∂u 2∂u 2| ≤d ()|l2 ∂x1l2 ∂x1Òåïåðü, èíòåãðèðóÿ ïî âñåìó êâàäðàòó, ïîëó÷èì (âíå îáëàñòè ôóíêöèÿ ðàâíà íóëþ)ZZ|u|2 ≤ d2 (∇u)2ΩΩ(175)(176)(177)(178)Òàêèì îáðàçîì, íåðàâåíñòâî Ïóàíêàðå â äàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ äîêàçàíî.ÇÀÄÀ×À ÍÅÉÌÀÍÀ.Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à Íåéìàíà äëÿ äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà, ãðàíèöà îáëàñòè ïðåäïîëàãàåòñÿëèïøåöåâîé.−4u = f(179)∂u|∂Ω = 0(180)∂νÒîãäà íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ èç H 1 (Ω) ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîñòüïðàâîé ÷àñòè ê åäèíèöå:Zf =0(181)ΩÌîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü ýòî óñëîâèå â äðóãîì âèäå. Ïóñòü ðåøàåòñÿ çàäà÷à(182)4u = 0∂u|∂Ω = ϕ(183)∂ν∂u0Ñ÷èòàåì, ÷òî ñóùåñòâóåò u0 ∈ H 1 (Ω), òàêàÿ ÷òî|∂Ω = ϕ (äëÿ ãëàäêîé ϕ ïðè ëèïøåöåâîé ãðàíèöå∂νýòî âñåãäà òàê).Òîãäà ïîëó÷èìu0 + v = u(184)−4v = 4u0 ≡ f(185)∂v|∂Ω = 0∂ν(186)Óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè èìååò âèä:Z0=Z4u0 =Ω∂Ω∂u0=∂νZ(187)ϕ∂ΩÁóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïåðâóþ çàäà÷ó ñ îäíîðîäíûì óñëîâèåì Íåéìàíà íà ãðàíèöå (9)-(10).Çàïèøåì ñëàáóþ ôîðìóëèðîâêó íàøåé çàäà÷è:ZZ∇u∇ψ =fψ(188)ΩΩÈíòåãðàë ïî ãðàíèöå ðàâåí íóëþ â ñèëó óñëîâèÿ (10).
Êàê è ðàíüøå ýòî äîëæíî áûòü âåðíî äëÿëþáîé ãëàäêîé ôóíêöèè. Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è u ∈ H 1 (Ω),ïðè÷åì u = 0 (óñëîâèå íåîáõîäèìî, ÷òîáû óáðàòü ñäâèã íà const).Îïðåäåëèì HN ⊂ H 1 (Ω) êàê çàìíóòîå ïîäïðîñòðàíñòâî H 1 (Ω) ñî ñðåäíèì íîëü. Èç íåðàâåíñòâàÏóàíêàðå ñëåäóåò, ÷òî èíòåãðàë Äèðèõëå çàäàåò íà ýòîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå íîâóþ ýêâèâàëåíòíóþíîðìó.  ïðàâîé ÷àñòè (18) ñòîèò íåïðåðûâíûé ëèíåéíûé ôóíêöèíàë (íåïðåðûâíîñòü ïî íîâîéíîðìå), òàê êàêZ|Ωf ψ| ≤ ||f ||L2 ||ψ||L2 ≤ Cf ||ψ, H 1 || ≤ C||ψ, HN ||(189)Çäåñü ñ÷èòàåì, ÷òî f ∈ L2 (òîãäà áóäåò îïðåäåëåíî è f ).Ïî îïðåäåëåíèþ, ðàâåíñòâî (18) âåðíî äëÿ ëþáîé ãëàäêîé ôóíêöèè, à ñëåäîâàòåëüíî è äëÿ ëþáîéôóíêöèè èç H 1 (Ω) (â ñèëó ïëîòíîñòè ãëàäêèõ ôóíêöèé â H 1 (Ω)). Äëÿ ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû Ðèññàíàì äîñòàòî÷íî òðåáîâàòü ψ ∈ HN .ψ = ψN + ψ(190)Ïîäñòàâëÿÿ â (18), ïîëó÷èìZZ∇u∇ψN =ΩZfψ =ΩZf ψN + ψΩfΩ(191)Îòêóäà è âûòåêàåò óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè, ñôîðìóëèðîâàííîå âûøå.
Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìàñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Íåéìàíà â êëàññå HN äîêàçàíà.Òåîðåìà Áåðíøòåéíà.Ýòî òàê íàçûâàåìàÿ òåîðåìà î ãëàäêîñòè, êîòîðàÿ óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè óâåëè÷èòü ãëàäêîñòü ãðàíèöûè ïðàâîé ÷àñòè íà 1, òî è ðåøåíèå áóäåò èìåòü ãëàäêîñòü êàê ìèíèìóì íà åäèíèöó âûøå.
Äîêàçàòåëüñòâîýòîãî óòâåðæäåíèÿ ïðîâîäèòñÿ ïåðåõîäîì ê ðàçíîñòíûì ñõåìàì è çäåñü ðàññìàòðèâàòüñÿ íå áóäåò.Ïðèëîæåíèå ê Ëåêöèè 15.Çàäà÷èËåêöèÿ XVI. Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè.  ýòîé ëåêöèè ìû ïîëó÷èì èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèåêëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ u ∈ C 2,1 (QT ) óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèT u = ∂t u − ∆ u = f.Çäåñü QT = Ω × (0, T ], Ω− îáëàñòü â Rn ñ Lip− ãðàíèöåé ∂Ω, áîêîâàÿ ãðàíèöà ST = ∂Ω × (0, T ],Ωτ = Ω × {t = τ }, 0 < τ ≤ T. ×åðåç T ∗ îáîçíà÷èì ôîðìàëüíî ñîïðÿæåííûé îïåðàòîðT ∗ v = −∂t v − ∆ vÄëÿ ãëàäêèõ u, v ∈ C 2,1 (QT ), èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èì ïåðâóþ ôîðìóëó Ãðèíà äëÿ óðàâíåíèÿòåïëîïðîâîäíîñòèZZnX(∂xj u∂xj v − u∂t v)dxdt−v T u dxdt =QTZQT j=1Zv∂ν u ds +−Zv(x, T ) u(x, T ) dx −v(x, 0) u(x, 0) dx,Ω0ΩTST(192)ν− âíåøíÿÿ íîðìàëü íà ST .
Òàêæå ïîëó÷èìZZ−u∆ v dxdt =QTZnX(∂xj u∂xj v dxdt −QT j=1(193)u∂ν v dsSTÑêëàäûâàÿ ôîðìóëû (192), (193), ïîëó÷èì âòîðóþ ôîðìóëó Ãðèíà äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèZZ(vT u − vT ∗ u)dxdt =(u∂ν v − v∂ν u)ds+(194)QTSTZZ+u(x, T ) v(x, T ) dx −u(x, 0) v(x, 0) dxΩTΩ0Äàëüøå ìû ïîêàæåì, ÷òî ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèΓ(x, x0 , t, t0 ) =|x−x0 |2θ(t − t0 )−pe 4(t−t0 )(2 π(t − t0 ))nÏðîñòûå ïðÿìûå âû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ t > t0 , x ∈ Rn ,Tx,t Γ = 0, Tx∗0 ,t0 Γ = 0Çäåñü äëÿ îïåðàòîðà Lx,t èíäåêñîì x, t ìû îáçíà÷àåì ïåðåìåííûå, ïî êîòîðûì îí äåéñòâóåò. Òåïåðün+1çàìåòèì, ÷òî Γ ëîêàëüíî èíòåãðèðóåìà â Rx,t. ÈìååìZΓ(x, x0 , t, t0 ) dxdt ≤|x−x0 |<R,|t−t0 |<R1π n/2ZZt0 +R2θ(t − t0 ) e−ξ dξdtt0Rξn√ïîñëå çàìåíû x − x0 = 2 t − t0 ξ .
Ïîýòîìó Γ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáîáùåííóþ ôóíêöèþn+1S 0 (Rx,t).Ëåììà 0.6 Ïîêàæåì, ÷òîn+1T Γ = δ(x − x0 , t − t0 ) ⇒ < δ(x − x0 , t − t0 ), ϕ >= ϕ(0, 0), ∀ϕ ∈ S(Rx,t).ò.å. Γ− ôóíäàìåíòàëüíîå ðåùåíèå óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. Îíî íå åäèíñòâåííî, ñ òî÷íîñòüþn+1äî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ T u = 0 â Rx,t.  äàëüíåéøåì ìû ïîêàæåì, ÷òî Γ îïðåäåëÿåòñÿîäíîçíà÷íî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
