Е.В. Радкевич - Лекции по урматфизу (1120444), страница 17
Текст из файла (страница 17)
 ñëàáîì ñìûñëå< T Γ, ϕ >=< Γ, T ∗ ϕ > .Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî< Γ, T ∗ ϕ >= ϕ(x0 , t0 )Èç ëîêàëüíîé èíòåãðèðóåìîñòè Γ ïîëó÷àåìZ< Γ, T ∗ ϕ >= limΓ T ∗ ϕ dxdtε→0Ïî ïåðâîé ôîðìóëå ÃðèíàZZΓ T ∗ ϕ dxdt =t>t0 +εt>t0 +εZΓ(x, x0 , t0 + ε, t0 )ϕ(x, t0 + ε)dxϕ T Γ dxdt +t>t0 +εt=t0 +εÒàê êàê T Γ = 0 ïðè t > t0 , èìååìZZ∗0 0Γ T ϕ dxdt = ϕ(x , t ) limT Γ ϕ dxdt+limε→0ε→0t>t0 +εt>t0 +εZ+ limT Γ (ϕ − ϕ(x0 , t0 )) dxdtε→0Çäåñü(195)t>t0 +εZZ√2e−|ξ| |ϕ(2 ε ξ + x0 , t0 + ε) − ϕ(x0 , t0 )|dξT Γ |ϕ − ϕ(x0 , t0 )| dxdt ≤ π n/2Rξnt>t0 +εn+1Òàê êàê ϕ ∈ S(Rx,t), òî√|ϕ(2 ε ξ + x0 , t0 + ε) − ϕ(x0 , t0 )| = o(ε), ε → 0.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âòîðîé èíòåãðàë ñïðàâà â (195) ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ.
 òîæå âðåìÿZZ√ −n|x−x0 |2e− 4ε dx ≡ 1T Γ ϕ dxdt = (2 πε)nRxt>t0 +εÎòñþäà ñëåäóåò< Γ, T ∗ ϕ >= ϕ(x0 , t0 ) =< δ(x − x0 , t − t0 ), ϕ >Γ− ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â ïðîñòðàíñòâå ïðè t > t0 îò òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà â òî÷êåx = x0 , äëÿ êîòîðîãîZΓ(x, x0 , t, t0 )dx = 1,nRx÷òî êîëè÷åñòâà òåïëà â Rxn íå çàâèñèò îò t > t0 (Γ− âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå). ÈìååìΓ(x, x0 , t0 + ε, t0 ) → δ(x − x0 ), ε → 0 â S 0 (Rn )ñëåäîâàòåëüíî Γ(x, x0 , t0 + ε, t0 )− δ îáðàçíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.Çàäà÷à.
Γ ïî x0 , t0 ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì ôîðìàëüíî ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðàTx∗0 ,t0 Γ = δ(x0 − x, t0 − t)ÈìååìZ<hZTx∗0 ,t0 Γ, ϕt−ε= limε→0Îòñþäà−∞dt>=< Γ, T ϕ >= limε→0Zt−εRn0−∞xZZdt0Rn0xϕ(x0 , t0 )Tx∗0 ,t0 Γ dx0 +Γ(x0 , x, t0 , t)T ϕ(x0 , t0 )dx0 =0iΓ(x0 , x, t0 , t0 − ε)ϕ(x0 , t − ε)dx0 = ϕ(x, t)Rn0xTx∗0 ,t0 Γ = δ(x0 − x, t0 − t)Èíòåðåñíà ñâÿçü ìåæäó ôóíäàìåíòàëüíûìè ðåøåèÿìè îïåðàòîðà Ëàïëàñà è óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèËåììà 0.7 Ïðè n > 2 èìååìZ∞E(x, x0 ) =Γ(x, x0 , t, 0) dt00Äåéñòâèòåëüíî, ïðè x 6= x , n > 2Z ∞Z00V (x, x ) =Γ(x, x , t, 0) dt =0∞0Z ∞√|x−x0 |21−n −0 2−n4t(2 π t) edt = |x − x |(π s)−n/2 e−1/s ds40Ïðè n > 2 ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå èíòåãðèðóåìî.
Ñëåäîâàòåëüíî, V (x, x0 ) = C E(x − x0 ).Ïîêàæåì, ÷òî C = −1. Äëÿ ϕ ∈ S(Rxn )Z< ∆ v, ϕ >=< v, ∆ ϕ >=Z=limN →∞, ε→0hZ∆Γ ϕ dx =nRxεnRxεZdtN →∞, ε→0ZNlimZnRxΓ∆ϕ dx =dtZNdtεnRx∂t Γ ϕ dx =iϕ(x)Γ(x, x0 , ε, 0)dx = −ϕ(x0 )ϕ(x)Γ(x, x0 , N, 0)dx −limN →∞, ε→0N →∞, ε→0ZNlimnRxÇäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òîΓ(x, x0 , N, 0) → 0, N → ∞.Ñëåäîâàòåëüíî< ∆ V, ϕ >= −ϕ(x0 ) ⇒ < ∆(−V ), ϕ >=< δ(x − x0 , t − t0 ), ϕ(x) >Òàê êàê −V → 0 êîãäà |x| → ∞, òî â ñèëó åäèíñòâåííîñòè â ýòîì ñëó÷àå ôóíäàìåíòàëüíîãî ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ Ëàïëàñà ïîëó÷àåì−V (x, x0 ) = E(x, x0 ).Ïðè n = 2 èíòåãðàë V ðàñõîäèòñÿ.
Íóæíà åãî ðåãóëÿðèçàöèÿ. Ïðè x 6= x0 , n = 2 ïîëîæèìZ ∞0V (x, x ) =(Γ(x, x0 , t, 0) − ψ(t))dt,0ãäå½ψ(t) =14π t ,0,(196)t ≥ 1,t ≤ 1/2,è ψ ∈ C ∞ (R1 ). Òîãäà èíòåãðàë V ñõîäèòñÿ ïðè x 6= x0 , t ≥ 1. ÈìååìΓ(x, x0 , t, 0) −|x−x0 |2θ|x−x0 |2111−4t=(e− 4t − 1) = −e, 0 < θ < 1.4π t4π t4π t2|x−x0 |2(â ïðÿìóþ âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ e− 4t − 1). Èíòåãðàë (196) ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü ïîxj (j = 1, 2) ïîä çíàêîì èíòåãðàëà, òàê êàê ïîëó÷åííûé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïî xj . Èìååì∂xj V = −1∂x ln |x − x0 |2π jÎòñþäàV (x, x0 ) = −1ln |x − x0 | + C12πC1 çàâèñèò îò âûáîðà ψ(t).Îòìåòèì, ÷òî ïîñòîÿííóþ â V = CE ìîæíî îïðÿäåëèòü ïðÿìîZZ ∞Γ( n2 − 1)n11 −n/2 ∞ −n −1/s1seds = π −n/2y 2 −2 e−y dy =π=−n/244(n − 2)|S n−1 |4π00Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ. Ðàññìîòðèì êëàññè÷åñêîå ðåøåíèåu ∈ C 2,1 (QT )T u = f, (x, t) ∈ QTf − îãðàíè÷åííàÿ, íåïðåðûâíàÿ â QT .
Ïóñòü (x0 , t0 ) ∈ QT . Ïðèìåíÿÿ âòîðóþ ôîðìóëó Ãðèíà âQt0 −ε äëÿ v(x, t) = Γ(x0 , x, t0 , t). ÒîãäàT ∗ v = −∂t Γ − ∆x Γ = 0, t < t0ZZ(vf − uT ∗ v)dxdt =(u∂ν V − V ∂ν u)ds +ZQt0 −εSt0 −εÇäåñüZuV dx −Ωt0 −εuV dxΩ0ZuV dx → u(x0 , t0 ), ε → 0.Ωt0 −εÎòñþäàZZZu(x0 , t0 ) =Ω0St0Qt0ZZ=ZΓ f dxdt +QTu(x, 0)Γ(x0 , x, t0 , 0)dx =(u∂ν Γ − Γ∂ν u)ds +Γ f dxdt +u(x, 0)Γ(x0 , x, t0 , 0)dx(u∂ν Γ − Γ∂ν u)ds +STΩ0(197)000ÇäåñüR ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî Γ(xR, x, t , t) ≡ 0, t > t .RΓ f dxdt− îáúåìíûé ïîòåíöèàë, ST a∂ν Γ ds− òåïëîâîé ïîòåíöèàë äâîéíîãî ñëîÿ, ST Γ b dsQTòåïëîâîé ïîòåíöèàë ïðîñòîãî ñëîÿ.Ïðåäëîæåíèå 0.7 Ïóñòü u ∈ C 2,1 (QT ), T u = 0.
Òîãäà u ∈ C ∞ (QT ).Âûøå äëÿ ëþáîé (x0 , t0 ) ∈ QT ìû ïîêàçàëè ÷òî â ýòîì ñëó÷àåZZu(x0 , t0 ) =(u∂ν Γ − Γ∂ν u)ds +u(x, 0)Γ(x0 , x, t0 , 0)dxSTΩ0RÏîñëåäíèé èíòåãðàë C ∞ ïðè t0 > 0. S 0 · · · =täèôôåðåíöèðóåìû, åñëè %((x0 , t0 ), ST ) > 0.RST· · · òàê êàê Γ(x0 , x, t0 , t) ≡ 0, t > t0 . Ýòè èíòåãðàëûÇàäà÷à Êîøè.T u = 0, (x, t) ∈ QT ,u|t=0 = u0 (x)u ∈ C 2,1 (QT ) ∩ C 0 (QT ). Ïðèìåíèì ôîðìóëó (197) ê îáëàñòè Ω = {|x| < R}.
Åñëè îíà îãðàíè÷åíàâ C 1,0 â ïîëîñå QT = Rn × (0, T ), òî â ñèëó Γ||x|=R , ∂ν Γ||x|=R → 0 ïðè R → ∞. ïîëó÷èì ôîðìóëóÏóàññîíàZ TZZ0 000u(x , t ) =dtΓ(x , x, t , t) f (x, t) dx +Γ(x0 , x, t0 , 0) u0 (x) dx0nRxnRxÏðèëîæåíèå ê Ëåêöèè 16.Çàäà÷èËåêöèÿ XVII. Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè Òèõîíîâà.Ïàðàáîëè÷åñêèé ïîòåíöèàë.Êàê è ðàíüøå ðàññìîòðèì îáëàñòü D ∈ Rn+1 . Ïî îïðåäåëåíèþ, ïàðàáîëè÷åñêèé ïîòåíöèàë Fs,β (x, t)ðàâåí1 |x|2Fs,β (x, t) = s e− 4βt,t > 0(198)tFs,β (x, t) = 0,t ≤ 0(199)Âûáîð β îñóùåñòâëÿåòñÿ âíå äèàïîçîíà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû ||aij ||.Çàìåòèì, ÷òî ïðè t = 0, x 6= 0 îñîáåííîñòè íåò.
Çà èñêëþ÷åíèåì òî÷êè t = 0, x = 0, ôóíêöèÿ âñþäóãëàäêàÿ.ËÅÌÌÀ.Åñëè β ≤ α1 , s ≥M12β ,ãäåX0 < M2 ≤aij (x, t) ≤ M1Xα1 ≤aij νi νj ≤ α2(200)(201)äëÿ ∀x ∈ D.Òîãäà ïàðàáîëè÷åñêèé ïîòåíöèàë áóäåò ñóáðåøåíèåì âî âñåì ïðîñòðàíñòâå, êðîìå íóëÿ.2Åñëè æå β ≥ α2 , s ≤ M2β , òî ýòî áóäåò ñóïåððåøåíèå.Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì òîëüêî äëÿ L = L0 , à ñëó÷àé ñ ëèíåéíûìè ÷ëåíàìè îñòàåòñÿ â êà÷åñòâåçàäà÷è. Âû÷èñëÿÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîèçâîäíûå, ïîëó÷èì|x|2P∂e− 4βt |x|2 aijaii(L − )Fs,β = s+2 (( νi νj − 1) + t(s −))∂tt4β β2β(202)Ðàññìîòðèì ïåðâûé ñëó÷àé.
ÒîãäàPs−èaiiM1≥s−≥02β2βaij νi νj ≥ α1 ≥ β(203)(204)Î÷åâèäíî ïîëó÷èëè ñóáðåøåíèå. Âòîðîé ñëó÷àé ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.Òåîðåìà Òèõîíîâà.Äàäèì îïðåäåëåíèå ôóíêöèé êëàññà Òèõîíîâà. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ(205)Lu − ut = 0â ïîëîñå t0 ≤ t ≤ T < ∞ ïðè íà÷àëüíûõ äàííûõ(206)u|t=t0 = f (x)Ðåøåíèå u(x, t) ïðèíàäëåæèò êëàññó Òèõîíîâà TC1 ,C2 , åñëè2|u(x, t)| ≤ C1 eC2 xðàâíîìåðíî ïî t âî âñåé ïîëîñå.ÒÅÎÐÅÌÀ ÒÈÕÎÍÎÂÀ.Åñëè u ∈ TC1 ,C2 è u|t=t0 = 0, òî u ≡ 0 ïðè t ≥ t0 .(207)Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñäåëàåì äîïîëíèòåëüíîå ïîñòðîåíèå. Ðàññìîòðèì E ∈ Rn+1 - áîðåëåâñêîåìíîæåñòâî è çàäàäèì íà íåì êîíå÷íóþ ìåðó µ(E) < ∞.
ÎïðåäåëèìZUs,β,E,µ =Fs,β (x − ξ, t − τ ) dξdτ(208)EÒîãäà ýòà ôóíêöèÿ â D = Rn+1 \E áóäåò ñóá(ñóïåð)ðåøåíèåì, åñëè Fs,β - ñóá(ñóïåð)ðåøåíèå (äîêàçàòåëüñòâîâ êà÷åñòâå çàäà÷è).Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû íàì äîñòàòî÷íî ðàñïîëàãàòü ñëåäóþùèì ïðèíöèïîì ìàêñèìóìà âïîëîñå. Ïóñòü åñòü ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (16)-(17) â ïîëîñå. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû u ∈ TC1 ,C2 è u ∈C(t0 ≤ t < T ) (ïîñëåäíåå óñëîâèå âûïîëíåíî äëÿ êëàññè÷åñêèõ ðåøåíèé).Òîãäà1) åñëè f ≤ 0, òî u ≤ 0 (çäåñü ìîæíî òðåáîâàòü òîëüêî Lu − ut ≥ 0);2) åñëè f ≥ 0, òî u ≥ 0 (Lu − ut ≤ 0).Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì äëÿ óçêîé ïîëîñû t0 ≤ t ≤ t0 + ε, êîòîðîå íå áóäåò çàâèñåòü îò ååðàñïîëîæåíèÿ. Ïîýòîìó çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ ìû ïðîéäåì âñþ ïîëîñó. Áóäåì îïÿòü ñòðîèòüáàðüåðíûå ôóíêöèè.  êà÷åñòâå E âîçüìåì ìíîæåñòâî(209)E = {|x| = R, t = t0 + ε}ñ ìåðîé Ëåáåãà µ (èëè E = {|x| = R}, à ìåðà âñþäó íóëü, êðîìå ñôåðû).
Âîçüìåì s =òîãäàZUs,β,(|x|=R),µ =Fs,β (x − ξ, t − t0 + ε) dSξM22β ,|ξ|=Ráóäåò ñóïåððåøåíèåì â öèëèíäðåÍàì òàêæå ïîíàäîáèòñÿ ôóíêöèÿt0 a,t0 +εβ = α2 ,(210).0,RVR = M eZC2 R2Fs,β (x − ξ, t − t0 + ε) dSξ|ξ|=R(211)Äîêàçûâàåì ïåðâîå óòâåðæäåíèå (âòîðîå àíàëîãè÷íî). Íàäî ïîêàçàòü, ÷òî u(x0 , t0 ) ≤ 0 â òî÷êå èçóçêîé ïîëîñû. Áåðåì R > 2|x0 |, ε = min(T − t0 , 64C1 2 β ).Íóæíî èñïîëüçîâàòü ïðèíöèï ìàêñèìóìà âöèëèíäðå è ïîëó÷èòü îöåíêó VR ≥ u. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ñîáñòâåííóþ ÷àñòü ãðàíèöû öèëèíäðà.Íà äíå öèëèíäðà òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî âûïîëíåíî, òàê êàê VR ≥ 0, à äàííûå Êîøè ïî óñëîâèþíåïîëîæèòåëüíû. Òåïåðü ðàññìîòðèì áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà.2|u(x, t)| ≤ C1 eC2 x(212)Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî èíòåãðàë â âûðàæåíèè äëÿ áàðüåðíîé ôóíêöèè VR áîëüøåíåêîòîðîé ïîëîæèòåëüíîé const äëÿ ëþáîãî R.
Òîãäà ìîæíî âûáðàòü M òàêèì, ÷òîáû ïîëó÷èëîñüíóæíîå íåðàâåíñòâî. Èòàê ïîëó÷àåìZZ| x −ξ|2|x−ξ|2R1Rn−1− 4β(t−t +ε)−R2 4β(t−t00 +ε) dSMeedS=M(213)ξξss(t − t0 + ε) |ξ|=R(t − t0 + ε) |ξ|=1è ýòî äîëæíî áûòü áîëüøå C1 . Åñëè n ≥ 3, òî îñòàâëÿÿ òîëüêî R2 (ñ÷èòàåì R > 1), ïîëó÷èì ïðèR → ∞ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü δ -îáðàçíûõ ôóíêöèé, êîòîðûå óìíîæàþòñÿ íà 1 è èíòåãðèðóþòñÿ ïîåäèíè÷íîé ñôåðå.
Çíà÷èò èíòåãðàë ñòðåìèòñÿ ê ïîëîæèòåëüíîèó ïðåäåëó ïðè R → ∞, à çíà÷èòîòäåëåí îò íóëÿ ïîëîæèòåëüíîé const.  ðàçìåðíîñòÿõ n = 1, 2 òàêîå äîêàçàòåëüñòâî íå ïðîõîäèò,íî â ñïðàâåäëèâîñòè óòâåðæäåíèÿ ìîæíî óáåäèòüñÿ íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì èíòåãðàëà.Òàêèì îáðàçîì, ïî ïðèíöèïó ìàêñèìóìà íåðàâåíñòâî VR ≥ u èìååò ìåñòî âñþäó â öèëèíäðå.Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî áàðüåðíàÿ ôóíêöèÿ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè R → ∞. Èç R > 2|x0 | ñëåäóåò|x0 − ξ|2 > ( R2 )2M eC2 Ru(x , t ) ≤ VR (x , t ) ≤εs0002Ze−0|ξ|=R( R )228βεdSξ ≤R2M Rn−1 n−1 C2 R2 − 32βε|S|e→0sε(214)ïðè R → ∞.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
