Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(8') х= хс .к, ' хз У=-- », Функция и(х, у, ...) тогда переходит в функцию а(хн хв, ...), которая является однородной функцией пулевой степени относительно новых переменных, и, следовзтельно, удовлетворяет соотношению Эйлера хта,, + хаа„,+ ... =О. Первые частные производные функции и(х, у, ...) по х. у, можно выразить через производные функции от(х,, ха, ...): и» = хта,, и„ = хса»н Таким образом, если задано дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка для и у(х, у,..., и, и, и, ...)=О. то оно преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка вида ср(хс, хт... „, со, со,.„а„...,) = О.
Кроме того, дополнительным уравненном является соотношение однородности хга, + хса, + .. = О. Вместо одного дифференциального уравнения мы получаем переопределенную систему двух уравнений. Если мы преобразуем систему Тот факт, что эта система сильно переопределенная, показывает, что теория функций многих комплексных переменных гораздо сложнее, чем классическая теория функций одного комплексного переиенного. Мы получим третий пример переопределенной системы, если введем и+1 „однородных переменных" хн ха ..., х„,, вместо и переменных х, у, ...
посредством соотношений ЗО Гл ! Вводные замечания уравнений, вводя однородные переменные, то мы, конечно, получим такую же ситуацию. Уравнение ио,— ио =О, «у у х которое, как легко видеть, выражает тождественное обращение в нуль якобиана двух функций (г(х, у) и о(х. у), является примером недоопределенной системы, Из этого уравнения следует'), что и и и связаны соотношением ау(и, о) =О. Это соотношение явно не содержит независимых переменных х и у; оно является „общим решением' недоопределенной системы дифференциальных уравненийт). Лля системы, содержащей и функций и"', и(т', ..., и'") переменных хн хз, ..., х„, равенство нулю якобиана (1) («) и ... и (9) д1хь ..., х„) «« вообще говоря, означзет зависимость между и функциями и(", и('), ...
и(«). т(иы), и'"', ..., и'л') =О. (10) Поэтому соотношение (10) можно рассматривать нак общее решение недоопрсделенной системы дифференциальных уравнений (9). Ниже, в гл. 11 и Ш, мы вернемся к проблеме решения различных типов недоопределенных систем дифференциальных уравнений. 9 8. Методы интегрирования некоторых специальных ди4(реренциальных уравнений 1. Разделение переменных.
Лля многих задач математической физики, связанных с дифференциальными уравнениями, семейства решениИ, зависящие от произвольных параметров, можно получить ') См. $ 1, и. 1, пример 5. ') Аналогично, недоопределенное уравнение и«оу — иуо«- = 1, которое характеризует преобразования плоскости х, у на плоскость и, о сохраняющие площадь, имеет решение к=«+«ь и=« — ва, у = З вЂ” ««, я = и+ и«, где ь — произвольная функция, для которой д 1х, у) д 1и, о) д(«,р) д1«,я) =-д -„- — 1+ „„-зй — '„, +О.
а 8. Методы интегрирования некоторьсх уравнений 31 предположив, что мы получим сс(х, у)=р(х)+ф(у), (е' (х) )~+ (йс' (у) )' = 1, (у'(х) )' = 1 — И'(у))' илп Так как правая часть не зависит от х, а левая часть не аависит от у, то обе они не зависят ни от х, ни от у; следовательно, они равны одной и той же константе аз. Таким образом, мы сразу получаем семейство решений и (х, у) = сс х + рг! — а' у+ 3, содержащее два произвольных параметра а и (т. 2) Аналогично, дифференциальное уравнение ит + и'+ и' = 1 х у .сля функции и трех переменных х, у, л приводит к семейству ре- шений и = ах+ 3у+ )сг! — аз — рт г+ Т (2) с тремя параметрами а, р, Т, если предположить, что =р( )+Ф(у)+х( ) 3) Предположение о том, что и = с!с(х) + ф (у), в применении к дифференциальному уравнению т(х) ит + о (у)ит = и (х) + д (у) дает, так же как в предыдущих примерах, х х и(х, у)= / ~ссг ()+ йс",+ / ~ссг (') " с(т)+р, (3) ж где а и р — произвольные постоянные, 4) Часто разделение переменных успешно проходит после неко- торого преобразования переменных.
Например, уравнение с неизвест- ной функцией и(х, у) и из+ и-,.= — -- й (гт = х'+ у', сс, тс — постоянные), .х х г с помощью специальных методов, хотя этп методы непосредственно не дают всю совокупность решений. Самый важный из этих методов —,ивтод разделения переменных; он будет продемонстрирован на нескольких примерах.
1) Рассмотрим уравнение и'+ из =1; У 32 Гл й Вводные ваиевавил встречающееся в ироблелге двух тел в небесной механике, переходит в уравнение и' -+ — и', = — — Л 1 и гг или га иа+ ит = иг — ига г (4) зависящее от двух произвольных параметров з, р. 5) В случае линейных дифференциальных уравнений, в частности уравнений второго порядка, часто бывает полезно положить и(х, у) = и(х) ф(у) (примеры даны в т.
1, гл. Ч, Я 3 — 9). Для уравнения теплопроводности и — и =0 «в у мы имеем Рв(х) ' р(х)=ф'(у): ф(у), а следовательно, и левая и правая частя должны быть постоянными. Можно предположить, что эта постоянная положительна или отрицательна и соответственно обозначить ее через эз или — ча; таким образом получаются два семейства решений сс = а зй ч (х — з) е" ~, и = а з1п ч (х — а) е Последнее семейство играет особую роль в математической физике; если и — температура, у — время, х — пространственная координата, то оно описывает распрелеление температуры, стремящееся к нулю с течением времени. 2. Построение других решений посредством суперпознции. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона. Из решений линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметры, могут быть получены другие решения с помощью сложения, интегрирования и дифференцирования.
Так как з т. 1, гл. Ч, дано много таких примеров, здесь будет рассмотрено только несколько дополнительных. Чтобы получить еще одно решение уравнения теплопроводности, мы нгпегрируем решение е ~созэх по параметру ч от — оо дооо для и (г, О) в полярн ~х координатах г, 0. Следовательно, формула (3) дает семейство решений б 8. Методы ннтеврнрования некоторьтл уравнений и получаем новое решение и = ) е ' сов эха (у > О). Интеграл в правой части легко вычисляется ') и дает и= 1У вЂ” е (6) + ~ (!т уз (х у) + т! (ч (х )т)) .-! ') Чтобы вычнсл!пь этот ивтеграл, мы делаем подстановку чэу = Л' и получаем интеграл 1 х — — У(а), тле а= = н У(а) = 1 е 'сов (аЛ) тй. Чтобы найти У(а), мы находим У'(а), дифференцируя под знаком интеграла: СО У'(а) = — / е ' Лз!в(аЛ) дЛ; интегрируя по частям, мы сразу получаеи У'(а) =.
— а У (а)У2; непосредственный подсчет дает У(0) = ~ е !' иЛ =)Гк. Отсюда следует, что у(а) = )':т евт'!. таким образом, формула (6) установлена. — „фундаментальное решение" уравнения теплопроводности. В качестве второго примера на принцип суперпозиции мы даем решение краевой задачи для уравнения Лаиласа Ьи=О в круге гт=х'+ уз С 1; при г = 1 задаются граничные значения и как (непрерывно дифференцируемая) функция л'(б) полярного угла 9. Пусть 1 г 1 г а,= — ~ у(!!ч)созифдл, (т,= — з! а (ф)а(питудф — козффяциенты ряда фурье для функции Лт(6), тогда ряд и(х, у) = —,'+ т (а„сов ч0+д,зи чб)г'= 2 лн! 34 Гл.!.
Вводные замечания равномерно сходится при г ( д ( 1. Этот ряд можно дважды почленно дифференцировать при г (с; он является суперпоэицией гармонических функций Р„и Я„, рассмотренных в примере 8 из й 1, и, 1. Следовательно, это гармоническая функция, которая, кроме того, решает граничную задачу. Внутри круга мы можем изменить порядок суммирования и интегрирования и получить Используя формулу 2соза=е "+е '* и суммируя полученную таким образом геометрическую прогрессию, мы приходим, после очевидных выкладок, к выражению Г 1 — г' 2к .) 1 — 2г сов(З вЂ” т)+гг ь ( ) -л которое представляет решение краевой задачи в виде интеграла Пу- ассона (см. гл. 1Ч, а также т.
1, стр. 433). ф 4. Геомегпричесная интерпретация диЯЯеренциального уравнения первого порядка с двумя независимыми переменными. Полный интеграл 1. Геометрическая интерпретация дифференциального урав- нения первого порядка. Геометрическая интуиция очень помогает в теории интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка для функции и(х, у) двух независимых переменных. Пусть дано дифференциальное уравнение Р (х, у, и, р, о) = О, Рр.+ Ря ~ О, где применяются сокращенные обозначения р = и„, т 2 = и . Тогда для любой интегральной поверхности, проходящей через точку Р с координатами х, у, и, величины р и д, которые определяют положение касательной плоскости в этой точке, должны удовлетворять условию (1).
Касательная плоскость к интегральной поверхности в точке Р ') имеет наклон, обязательно принадлежаишй многообразию наклонов, характеризуемому уравнением (1) '). Для ') Чтобы подчеркнуть тот факт, что для рассматриваемых касательных плоскостей играет роль лишь непосредственная окрестность точки каса- ния Р, удобно рассматривать точку Р внес~с с ее бесконечно малой окре- стностью на касательной плоскости как „элемент поверхвости" и опериро- вать с такими элементами поверхности (в случае обыкновенного дифферен- циального уравнения аналогично используются элементы кривой). ') Более подробно см. гл.
!1, й 3, и. 1. б 4. Гео.иегрииескал интерпретация 35 данной точки Р: (х, у, и) это множество, вообще говоря, является однопараметрическим семейством (например, для р'+ >7г = 1 это семейство есть р= созе, >7=э!п1 с параметром 1). Если Е линейно по р и >7, то семейство возможных касательных плоскостей образует пучок плоскостей, проходящих через прямую, которая называется „осью Монжа". Мы пока оставляем без внимания этот специальный случай „квазилинейных" уравнений первого порядка, который будет рассмотрен в 3 5; вместо этого мы предположим, что в любой точке Р наше семейство плоскостей имеет в качестве огибающей невырожденный конус,,конус А1онжа" ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
