Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Изложение любого вопроса мы будем начинать с рассмотрения типичных частных случаев, которые именно в силу своеИ коннретности многое могут подсказать н в которых тем не менее проявляеэся существо соотвегствующеИ абстрактной ситуации. Индивидуальные явления игрюот роль не только частных примеров; скорее общие теории вырастают пз этих явлений по мере того, кзк мы шаг за шагом поднимаемся до более общей точки зре.

ннл. С этой общеИ точки зрении легче обозревать п объединять отдельные летали и преодолевать частные трудности. Танич образом, в соогветсгвии с естественным процессом изучения и обучения, мы предпочитаем индуктивный подход, иногда даже принося в жертву краткость, которой монгно бьшо бы добиеп ся, пользуясь дедуктивным методом изложения. Этот том по существу является независимой книгой; он соотвегствует тому П немецкого издания Ме1йос1сп бег шайешайзсйсп Рйуз|й, который вышел в !937 г. Это издание было затем запре- 12 Предисловие щено министерством культуры фашистской Германии, и лшИ верный друг Фердинанд Шпрннгер был смещен с поста главы своего знаменитого издательствз. Книга сохранилась благодаря перепечатке в издательстве !п1егьс1епсе РпЫ!зйегз с разрешения правительства Соединенных Штатов 11943). С того самого времени готовился совершенно новый вариант книги на английском языке.

За этот длительный период исследования в области уравнений с частными производными сильно продвинулись вперед и я также во многих областях добился более глубокого понимания. Естественно, что настоящая книга отражает это развитие в той мере, в какои я принимал в пем участие, активно разраоатывая одни вопросы и изучая другие. Понятие о содержании книги дает ее оглавление. Почти во всех существенных пунктах она отличается от немецкого оригинала. Например, теория характеристик и их роль в теории распространения волн изложены алесь гораздо полнее, чем это можно было сделать 25 лет тому назад.

Лалее, понятие слабых решений дифференциальных уравнений, введенное Соболевым и фридрихсом и уже содержавшееся а немецком издании, рассматривается здесь в связи с теорией обобщенных функций, которые были введены Лораном Шварцем и названы им „распределениями"; они стали теперь необхошшым орудием прн изучении высших разделов анализа. Приложение к главе УЛ содержит краткое изложение теории обозщенных функций. С другой стороны, для материала последней главы немецкого издания, в частности для доказательства существования решения эллиптических уравнений, не нашлось места в этом томе.

Эти вопросы будут изложены в коротком третьем томе, который предполагается посвятить построению решений и оозору последних результатов. Предлагаемая книга, безусловно, является неровпоИ по стилю, полноте и степени трудности. Однако я надеюсь, что она будет полезна для всех изучающих математику, независимо от того, являются ли они начинающими, студентами, математиками, специалистами в области других точных наук или инженерамн. Возможно, по наличие в книге частей, написанных на равных уровнях, сделает ее более аоступпой, так как начальное ее чтение не требует больших математических знаний.

Я с сонсалепием сознаю, что некоторые выдающиеся результаты, лежащие вне сферы моих собственных интересов, быть может, педостзточно полно изложены в этой книге нли вообще опущены. Отчасти этот пробел в недалеком будущем восполнится другими публикациями, такими.

как книга Лере и Гординга, посвященная нх замечательным работам, которая должна скоро выйти. Выход в свет этой книги был бы невозможен без постоянной самоотверженноИ помощи моих друзей. В тсчсгше всей моей научной деятельности я имел редкое счастье работать с чолодымп людьми, которые были последовательно моими учениками, научныьш сотруд- Ллвдиглввие нпкамц и учителями.

Многие из ннх за это время стали выдающил>нся Гченымн, но продолжают мне помогать. Курт О. Фридрихе и Фриц Джон, которые начали сотрудничать со мной более тридцз|н лет навал, до сих пор сохранили активный интерес к работе нал этой монографией по математической физике. Посвящение настоящего тома К. О. Фридрихсу является естественной данью нашей многолетней >лучной и личной друз бе. Сотрудничество Питера Д.,!1зкса н Луиса Ниренберга столь велико н ценно, что я не могу описать его посредством простого перечисления деталей. Питер Унгар сильно помог мне своими полезными замечаниями и критикой. Очень ценную помощь оказал также Липмап Берс; кроме того, он написал важное дополнение к гл.

!7. Среди более молодых сотрудников я должен отметить Дональда Людвига, чье активное участие привело во многих случаях к значительным улучшениям. На различных этапах работы отлельные части рукописи подверглись критическому разбору со стороны Конрада Иоргенса, Герберта Крзнцера, Анпелн Ланс, Ханана Рубина. Корректуры прочли Наташа Брунсвик, Сьюзен Хан, Рейбен Герш, Алан Джефри, Питер Рейто. Бриджит Реллих, в!еонард Сарасон, Алан Соломон и др.

Джейн Рихгмайер помогала при составлении библиографии и оказыва>а другую помощь для выхода книги в свет. Значительную часть изда>ельской рзбгты выполннля Лори Берковиц. Большая часть технической работы по подготовке книги была проделана Рут Меррей, которая печатала н перепечатывалз тысячи страниц рукописи, подготовила чертежи и проделала невероятный труд, превратив наброски, которые едва можно было прочитать, в эту книгу. Я глубоко благодарен всем этим помощникам, а также тем, чьи имена здесь пропущены. Благодарю также моего терпеливого друга Эрика Проскауэра нз издательства !п1егэс1епсе.

Наконец. я хочу поблагодарить Орйсе о1 Г>Гата! КезеагсГ> и Хайопа! Яс1епсе Роппба1!оп. з частности Ф. Иоахима Бейля и Артура ! Рада. за ту эффективную поддержку, которую они оказали при и>'блнкацин этой кнпги. Р, кхлл>>г Нью-рошель, Ньюлйорк ноябрь 1961 Глава с ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Мы начинаем с вводы|ой главы, где описываются основные понятия, задачи и подходы к их решению, Дифференциальное уравнение с частными производными есгь соотношение вида р(х, у, ..., сс, и, и„...., иг, их, ...)=О, (1) где р — функция переменных х, у, ..., и, их сс, ..., их„и,, .

Отыскивается функция и>',х, у,...) независимых переменных х, у,..., такая, чго уравнение (!) удовлетворяется тождественно по этим пременным, если и(х, у, ...) и ее частные производные ди и ди и,= —, . » д»' д'и х>' ' дхд> ' д'сс сс, . = —, дх' ' юдс та в лают с я в Г. Такая функция и (х, у, ...) называется решением уравнении с чосспными производными (1). Мы оудеч искать не только отдельные,,частные" решения, но будем исследовать всю совокупность решений и, в частности, выделять отдельные решения с помощью дополнительных условий, которые будут добавляться к (1). Уравссессссе с частными производными 11) превращается в ооыкновенное дифференциальное уравнение, если независимая переменная одна.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется иорядно.н этого дифференциального уравнения. Часто мы будем ограничивать изменение независимых переменных х. у, ... опрелелепной областью пространства х, у, ...; ана,тоги шо, мы пулем рассматривать се только в определенной области пространства х, у, ..., и, и,, и „ ..., Это ограничение означает, >" что мы буден допускать только такие функции и(х, у, ...) в основной области пространства х, у...., которые удовлетворяют условиям, пало кенным на соогвегсгвующие арсументы функции ! .

Гл П Вводные зачгчанссл Раз а навсегда услоеилсся, что зсе насии расс.ссолсрессия относятся сс достато шо малым облистям. Аналогсс«яо, мы будем предпо.лагалсь, что если специально не оговорено противное, то асе встречал щиеся нам гбусняс(исс Р, и, ... непрерывны и имеют непрерывные производные нужных ссорядяов '). Дифференциальное уравнение называется линейным, если функ- ииЯ Р линепна по пеРсмеппым и, и,, и, ..., ах, сс, ... и коэффику' пнснты зависят только от независимых переменных х, у,,... Если Р ллпеина по производным наивысшего порядка (например, а-го) с козффипиентами, зависяшими от х, у, ..., а такске, может оыть, от и и ее проиаводных до (и — !)-го порядка, то дифференциальное уравнение называется яеаэилинейнылс.

Мы будем большей частью иметь дело с линейными или квази- линейными уравнениями; уравнения более обшсго вила обычно будут сводиться н таким уравнениям, Б случае двух неззвисимых переменных решение дпффереиппального уравнения (1) и(х, у) можно геометрически рассматривать как поверхность, „интегральную поверхность" в пространстве х у, и. ф У. Общие сведения о совокупности решений !. Примеры, Для обыкновенного дифференпизльного уравнения и-го порялка вся совокупность решений (за исключением возможных „особых" решений) представляется функпиеи от независимой переменной х, з такзсе от и произвольных постоянных интегрирования сн с.„..., ссг Наоборот, лля любого семеиствз функппи и=т(х; с,, сг, ..., с ), зависящего от п пзряметров, существует дифференпизльное уравнение п-го порядка, решение которого и=" получается исключением параметров сг с, ..., с, из уравнения и =у(х; с,.

с,, ..., с,) и п уравнений и =е (х; с,, сг, ..., С„), ис«'=ТС«с(х; с,, с,, ..., сн). Для дифференциальных уравнегсссй с частными производными дело обстоит сложнее. Здесь тоже можно искать всю совокупность решении, нли „общее решение", т. е. такое решение, которое дает любое частное решение после того, как фиксированы некоторые „про- ') Точно так же в случае. когда решаются системы уравнений, чы всегда буден рассматривать окрестность точки, где соответствусошнй якобиан не обрасцаешя в нуль, 4 1, Опн1иг свгдснвч о свввнипнвспс Втсгннсг 17 невольные" элементы (опять зз возможным исключением некоторых „особых" решений). В случае дифференциальных уравнений с частными производнымн этн произвольные элементы уже не могут быть постоянными интегрирования, а должны содержать пронзвольныс функции; вообще говоря, число этих произвольных функций равно порядку дифференциального уравнения.

Число аргументов этих произвольных функций на единицу меньше числа аргументов решения и. Более точная формулировка этого утвержления содержится в теореме существования нз 1Г 7. В этом пункте мы чолько получим некоторые сведения, разобрав несколько примеров, !) Днфференгьпальное уравнение и =0 для функции и(х, у) означает, что и ие зависит от у; следовательно, и=си(х), где я (х) — произвольная функция х.

Характеристики

Список файлов книги