Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Введение обобщенных функций. Бегущие волны 4. Распространение разрывов для систем первого порядка 5. Характеристики постоянной кратности 5а. Примеры распространения разрывов вдоль многообразий более чем одного измерения. Коническая рефракция 6. Устранение начальных разрывов и решение задачи Коши ба. Характеристические поверхности как фронты волны 7. Решение задачи Коши с помощью сходящегося разложения на волны 8. Системы второго и высших порядков а е 567 569 571 571 573 575 577 579 582 583 583 587 588 590 591 593 593 594 597 599 603 606 611 611 612 614 618 620 621 622 626 626 626 9.
Дополнительные замечания. Слабые решения. Ударные волны З 5. Колеблющиеся начальные значения. Асимптотическое разложение решения. Переход к геометрической оптике 1. Предварительные замечания. Бегущие волны высшего порядка 2. Построение асимптотических решений 3. Геометрическая оптика з 6. Примеры теорем единственности и области зависимости для задачи Коши 1.
Волновое уравнение Х 2. Дифференциальное уравнение и„— Ьи — — и, = 0 (уравнение Дарбу) 628 629 629 630 634 636 636 639 640 642 642, 643 646 645 647 650 654 656 656 656 а 660 663 663 665 667 669 670 671 672 672 672 673 677 677 679 3. Уравнения Максвелла в вакууме 8 7. Области зависимости для гиперболических задач 1. Введение 2. Описание области зависимости з 8. Интегралы энергии и теоремы единственности для линейных симметрических гиперболических систем первого порядка 1. Интегралы энергии и единственность решения задачи Коши 2.
Интегралы энергии первого и высших порядков 3. Энергетические неравенства для смешанных задач 4. Интегралы энергии для одного уравнения второго порядка 8 9. Энергетические оценки для уравнений высших порядков 1. Введение 2. Энергетические тождества и неравенства для решений гиперболических уравнений высших порядков.
Метод Лере и Гординг 3. Другие методы 8 10. Теорема существования 1. Введение 2. Теорема существования 3. Замечания о сохранении свойств начальных значений и о соответствующих полугруппах. Малый принцип Гюйгенса 4. Фокусирование. Пример несохранения дифференцируемости 5. Замечания о квазилинейных системах 6.
Замечания о задачах высших порядков и о несимметрических системах Часть 1!. Представление решений ~ 11. Введение 1. Общие понятия. Обозначения 2. Некоторые интегральные формулы. Разложение функций на плоские волны я 12. Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 1. Задача Коши 2. Построение решения для волнового уравнения 682 684 687 688 631 694 691 696 698 699 701 705 706 710 719 719 717 гх. 721 721 724 727 729 730 731 734 738 738 738 742 742 743 745 747 3. Метод спуска 4. Дальнейшее изучение решения.
Принцип Гюйгенса 5. Неоднородное уравнение. Интеграл Дюамеля 6. Задача Коши для общего линейного уравнения второго порядка 7. Задача излучения 8 13. Метод сферических средних. Волновое уравнение и уравнение Дарбу 1. Дифференциальное уравнение Дарбу для средних значений 2.
Связь с волновым уравнением 3. Задача излучения для волнового уравнения 4. Обобщенные бегущие сферические волны 8 13а. Решение задачи Коши для уравнения упругих волн с помощью сферических средних: 8 14. Метод плоских средних значений. Применение к общим гиперболическим уравнениям с постоянными коэффициентами 1. Общий метод 2. Применение к решению волнового уравнения 8 14а. Применение к уравнениям кристаллооптики и к другим уравнениям четвертого порядка 1.
Решение задачи Коши 2. Дальнейшее исследование решения. Область зависимости. Лакуны 8 15. Решение задачи Коши как линейный функционал от начальных двинь Фундаментальные решения 1. Описание. Обозначения 2. Построение функции излучения с помощью разложения 8-функции 3. Регулярность матрицы излучения За. Обобщенный принцип Гюйгенса 4. Пример. Системы с постоянными коэффициентами частного вида. Теорема о лакунах 5. Пример. Волновое уравнение б. Пример. Теория Адамара для одного уравнения второго порядка 7.
Дальнейшие примеры. Случай двух независимых переменных. Замечания 8 16. Ультрагиперболические дифференциальные уравнения и общие дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 1. Общая теорема Асгейрссона о среднем значении 2. Другое доказательство теоремы о среднем значении 3. Применение к волновомууравнению 4. Решение характеристической задачи Коши для волнового уравнения 5. Другие приложения. Теорема о среднем значении для софокусных эллипсоидов з 17. Задача Коши для многообразий непространственного типа 1.
Функции, определенные с помощью средних значений по сферам с центрами на некоторой плоскости 2. Приложения к задаче Коши 8 18. Замечания о бегущих волнах, передаче сигналов и принципе Гюйгенса 1. Неискажающиеся бегущие волны 2. Сферические волны 3. Излучение и принцип Гюйгенса Приложение к главе У1.
Обобщенные функции или распределения 8 1. Основные определения и понятия 1. Введение 2. Идеальные элементы 3. Обозначения и определения 4. Повторноеинтегрирование 5. Линейные функционалы и операторы. Билинейная форма 6. Непрерывность функционалов. Носители основных функций 7. Лемма об г-непрерывности 8. Некоторые вспомогательные функции 9.
Примеры 8 2. Обобщенные функции 1. Введение 2. Определение с помощью линейных дифференциальных операторов 3. Определение с помощью слабых пределов 4. Определение с помощью линейных функционалов 5. Эквивалентность. Представление функционалов 6. Некоторые выводы 7. Пример. Дельта-функция 8. Отождествление обобщенных и обыкновенных функций 9. Определенные интегралы. Конечные части 8 3. Операции над обобщенными функциями 1. Линейные процессы 2. Замена независимых переменных 3. Примеры.
Преобразование дельта-функции 4. Умножение и свертка обобщенных функций 8 4. Дополнительные замечания. Модификации теории 1. Введение 2. Различные пространства основных функций. Пространство о. Преобразования Фурье 3. Периодические функции 4. Обобщенные функции и гильбертовы пространства. Негативные нормы. Сильные определения 5.
Замечание о других классах обобщенных функций Библиография 747 749 753 753 755 757 758 758 758 759 761 761 762 763 765 765 766 767 767 768 770 771 772 774 775 776 779 782 789 783 783 7У5 786 786 786 788 790 791 743 Предметный указатель 814 ПРЕДМКТН Альтернирующий метод Шварца 293 Аналитичность гармонических функций 270 Анизотропия 593 Асимптотические решения 630 Барьер 310 Бегущая волна 617, 753 — — относительно неискажающаяся 617 — — плоская 192 — — полная 617 — — порядка Ф 617 — — сферическая 200, 699 Билинейная форма 763 Бихарактеристики (лучи) 551, 577 Бихарактеристическиенаправления 591 — полосы 552, 577 Вектор нормальной скорости 554 — скорости в направлении луча 554 Ветвление интегральной поверхности 413 Внутренний дифференциальный оператор 410, 548, 563, 573, 575 Внутренняя полость конуса нормалей (сердцевина) 585, 643 — производная 140, 174 Волновая оптика 634 Волновое уравнение 549, 636, 670,678, 710, 742 Волны Альфвена 607 — плоские 190, 662, 673, 706 †стояч 197 — сферические 197, 775 — цилиндрические 197 Выводящая производная 140 Выпуклая оболочка конуса лучей 585 Гармонические функции 242 Геодезическая сфера 132 Дирака 182 — — квазилинейное 16, 42 — — линейное 16, 40 — — Максвелла 182 — — Эйлера 121 Дифференциальный оператор гиперболический 193, 412, 418, 420, 549, 583 — — параболический 185 — — ультрагиперболический 185, 549, 673, 738 — — эллиптический 161, 168, 191, 420 Емкость 304 Задача Коши 73, 80, 83, 88 — Плато 226, 227 — Римана об отображении 227 Законы сохранения 485 Запаздывающий потенциал 207 Затухающие волны 195 Инвариантность характеристик 555, 583 Инвариантность характеристических лучей 583 ЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Геодезическое расстояние 124, 128 Геометрическая оптика 634 Гиперболические квазилинейные системы 670 Гипотеза Адамара 757 Главная часть дифференциального оператора 185, 572 Двойственнаяпорождающая пара 385 Двойственное преобразование 557, 559 Дисперсия 194 Дифференциальное уравнение Бельтрами 164 — — Гамильтона — Якоби 125, 128 — — матриц 583 Инварианты Римана 455 Индекс инерции 549 Интеграл Дирихле 255 — Дюамеля 507, 545, 687 — Фурье 678 Интегральная поверхность дифференциального уравнения 16 — полоса 88, 408, 409, 546 — теорема для функций Бесселя 529 — формула Пуассона для полупространства 269 — — — — сферы 266 Интегральный коноид 92, 132 Интегралы энергии 437, 611, 636, 647, 654,660 Интенсивность излучения 691 Каноническая система дифференциальных уравнений 114, 117, 122 — форма вариационной задачи 122 Канонически сопряженные переменные 122 Канонический вид квадратичной формы 185 — — уравнения второго порядка 162 Каноническое преобразование 135 Каустическая поверхность 130 Каустические кривые 92, 98 Квазиконформное отображение 390 Коллинеация 557 Конечная часть расходящегося интеграла 734, 778, 780 Коническая рефракция 621 Коноид лучей 556, 559 Консервативный гиперболический оператор 647 Конус лучей 132, 556, 577 — — направленный вперед 557, 563, 584 — — — назад 558, 563, 584 — Монжа (локальный конус лучей) 35, 84, 556, 578 — нормалей 556, 563, 575, 577 Корректно поставленная задача 218, 230, 482 Кратные характеристические поверхности 590 Кривая временного типа 756 Лакуны 643, 717, 721, 730 Линза пространственного типа 644 Линии Маха 433 — тока 433 Линия ветвления 74 Лучи (бихарактеристики) 551, 577 Луч трансверсальный к фронту волны 554 Максимальное неотрицательное граничное пространство 652 Максимум-норма 463, 466, 761 Метод Бельтрами 570 — выметания Пуанкаре 296 — мажорант 60 — разделения переменных 31 — спуска 208, 682 — сферических средних 694 Многообразие полос 106, 141 Направление временного типа 559, 563, 583 Негативные нормы 790 Неискажающаяся волна 192 Неравенство Харнака 270 Нерегулярный рациональный оператор 515 Нижние (верхние) функции 308 Нормальная скорость 575, 576 — форма системы 424 Носитель функции 763 Нуль-векторы 574, 576, 588, 590, 612, 620, 730 Нуль-непрерывность функционала 764 г-непрерывность функционала 764 Область влияния 230, 436, 642 — зависимости 212, 230, 436, 636, 642, 717 — — в точном смысле 643, 721 — определенности 436, 636 Обобщенные решения 425, 665 — функции (распределения) 614, 676, 721, 758, 767 Обратный коноид зависимости 643 Однородные функции 24 Операторный метод Хевисайда 504 Опорные плоскости 561, 579, 580 Основные функции 762 Особое решение 37, 94 Ось Монжа 35, 72 Плоские средние значения 705 Поверхности Френеля 599 Поверхность вращения 23 — лучей 580, 581 Поверхность нормалей 575, 576 — нормальных скоростей (взаимная поверхность нормалей) 577, 581 — пространственного типа 549,563, 583 Подобные комплексные функции 376 Поле эстремалей 129 Полный интеграл Зб, 93, 115 Полоса 85 Полугруппа 668 Порождающая пара псевдоаналитических функций 384 Порядок дифференциального уравнения 15 Последующая пара 386 Построение Гюйгенса 579 Потенциал двойного слоя 253 — распределения масс 247 Почти линейная система 175 — линейное уравнение 550 Преобразование годографа 425, 427 — Лапласа 530 — Лежандра 43, 46, 49, 121 — Лоренца 744 — Фурье обобщенных функций 787 Приводимость 590 Принцип Гюйгенса 212, 684, 693, 712, 737, 753, 757 — — малый 667 — — обобщенный 729, 738 — Дюамеля 663, 723 — отражения 272 — смещения Хевисайда 520, 526 — Ферма 124 Проблема излучения 691, 698 Продолжимые начальные значения 467 — свойства гладкости 466 Проекция характеристической кривой 79, 409 Производная по направлению нормали 139 Прямой коноид зависимости 643 Псевдоаналитическая функция второго рода 374 — — первого рода 374 Пучок Монжа 72 Развертывающаяся поверхность 24 Разделяющий оператор 658 Распространение разрывов 567, 618 — — вдоль лучей 568 Рассеяние 312, 317 Рассеянная волна 317 Ребро возврата интегральной поверхности 75, 92, 104 Регулярная точка 310 Решение уравнения с частными производными 15 Самосопряженный оператор 237 Свертка обобщенных функций 785 Свободная линия 65, 175 — поверхность 177, 547, 573 — полоса 408 Семейство характеристических кривых 79 Сильное определение обобщенных функций 790 Симметричная система 424 — — гиперболических уравнений 544, 587, 588, 644, 663 Система дифференциальных уравнений вполне гиперболическая 178 — — — квазилинейная 423 †††ли 422 — — — недоопределенная 28, 85 — — — определенная 28 — — — переопределенная 28 — — — почти линейная 423 †††эллипти 176 — законов сохранения 629 — уравнений гидродинамики 594, 603 — — магнитной гидродинамики 606 Скорость Альфвена 607 — звука 595, 608 Слабая непрерывность функционала 764 -непрерывность 765 со-непрерывность 765 Слабо сходящаяся последовательность 770 Слабое определение обобщенных функций 767 — решение 484, 485, 628 Смешанные задачи 650 Сопряженный оператор 238 Сохранение свойств начальных значений 667 Субгармоническая функция 306 Супергармоническая функция 306 Сферический фронт волны 557, 558, 580 Тангенциальная производная 140 Телеграфное уравнение 454, 539, 690 Теорема компактности гармонических функций 275 Теорема о вихре 434 — — среднем значении Асгейрссона 738 — — — — для шаров 741 — — сходимости Вейерштрасса 273 — — — Карнака 274 — умножения 524 Теория канонических возмущений 137 Трансверсаль 129 Трубчатая поверхность 39, 103 Угол Маха 434 Ударные волны 629 Уравнение Дарбу 639, 694, 740 — Клеро 39, 48, 101 — Лапласа 242 — Монжа 95 595 — Монжа — Ампера 322 — переноса 612, 628, 632 — Пуассона 243, 247 — эйконала 125 Уравнениякристаллооптики 597, 712 †Максвел 640 Условие Гельдера 250 — излучения Зоммерфельда 313 — на ударной волне 629 — полосы 85, 106 — трансверсальности 129 Условия согласования 469 Фаза 192 Фазовая функция 753 Финитные функции 483, 762 Фокальная полоса 85, 91 Фокальные кривые 85, 95, 98 Форма волны 192, 193, 753 Формула Парсеваля 787, 789 — преобразования тета-функции 204 Формулы Вейерштрасса 172 Фронт волны 97, 553, 562, 579, 625 — — плоский 580 — — типа плоского 581 Фундаментальное решение 188, 246, 721 Функция Грина 262, 263 — излучения 724 — Лежандра 121 Функция Хевисайда 615, 676,733,737 Характеристики 64, 405, 547 — постоянной кратности 620 Характеристическая задача Коши 65, 447, 638, 744 — матрица 177, 573 †поверхнос 177, 545, 547, 550, 553, 563, 573 — полоса 86, 88, 105, 417, 420 — — интегральная 417 — производная 142 — система дифференциальных уравнений 87, 105 — форма 179, 185, 547, 573 Характеристические кривые 40, 65, 72, 84, 88, 111, 409 — — для уравнения второго порядка 163, 176 — поверхности «типа плоскостей» 644 Характеристический вектор 81 — — полосы 107 — канонический вид системы 176 — конус нормалей 576 — линейный элемент 72, 409 — определитель системы 175 Характеристическое многообразие 81, 107, 142 — — полос 108 — направление 85, 142 — соотношение 410, 547, 144„142, 420 — уравнение 191 Циклиды Дюпена 755 Эйконал 123, 124 Экспоненциальный оператор 519 Элемент ветвления интегральной поверхности 91 — поверхности пространственного типа 559, 563, 589 Энергетическое неравенство 446, 662 — — для задачи Коши 648 — — — смешанных задач 650 — — — уравнений высших порядков 656 ПРЕ314СЛОВИЕ РЕЕАКТОРА !УЕРЕЕОДА Книги Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
