Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Таким образом, в некоторой области пространства х, у, и дифференциальное уравнение геометрически ицтерпретнруется как „поле конусов" точно так же, как обыкновенное дифференциальное уравнение может быть истолковано как поле напрзалений. Найти решение — значит найти такую поверхность, которая в каждой своей точке касается соответствующего конуса Монжа (или входит в поле конусов). Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, геометрическая интерпретация делает очевидной следующую теорему: Если семейство решений и = 7"(х, у, а) дифференциального уравнения Е(х, у, и, р, >7)=О, зависящее от параметра а, имеет огибающую, то э>па огибаю>цая тоже являемся решением.
Действительно, огибающая семейства интегральных поверхностей в каждой точке Р имеет касательную плоскость, касающуюся соответствующего конуса Мошка; эта касательная плоскость совпадает с касательной плоскостью к той интегральной поверхности из семейства, которая касается огибающей в точке Р.
Аналитически можно прийти к этому утверждению следующим путем: огибающая получается, если выразить а как функцию х и у из уравнения уа(х, у, а) = О (3) и подставить затем а (к, у) в 7"; таким образом, уравнение огибающей имеет вид и=у(х, у, а(х, у)) =ф(х, у).
Тогда с помощью (3) мы получаем фа=и„=),+Г,а =Г'„, 7„=и =У' + Г,а Следовательно, значения ф(ха, у ), ч>к(ха, у ), ф (х,, у ) в фиксированной точке ха, Уа совпадают со значениами У(х, У, аа), 7к(х, У, аа), ') В чесгь Гаспара Монжа, 1746 — 1318, Гг. /. Вводггьге эамекаюгл У (х, у, аз) соответственно, где а,=а(хз, у,). Так как функция и = у (х, у, аз) удовлетворяет уравнению в точке ха, у, то ему удовлетворяет и функция и=с(х, у, а(х, у))=Ф(х, у).
2. Полный интеграл. Примеры из 5 3 показывают, что для лифференциальных уравнений первого порядка мы часто можем найти семейства решений, зависящие от произвольных параметров. Пусть, например, дифференциальное уравнение (1) Р (х, у, и, р, г)) = О имеет решение и=к(х, у, а, Ь), (4) зависящее от двух параметров а, Ь. (Если и не входит явно в функцию р, то однопараметрическое семеИство решениИ и=у(х, у, а) сразу дает семейство и=у(х, у, а)+Ь, зависягцее от двух параметров,) Двухпараметрическое семейство решений называется полным инпгегралолг уравнения (1), если в рассматриваемой области ранг матрицы а ха туа равен 2 '); в частности, эпго так, если определитель О = Фхафуь ФльФуа (5) не обращается в нуль.
Значение понятия „полный интеграл'" определяется следующим основным фактом. Прп помощи образования огибающих, т. е, ари помощи пголько дифференцирования и исключения, из полного интеграла (4) ложно получить множеспгво решений дифференциа,гьного уравнения (1), зависягцее от произвольной функции г).
') Это условие гарантирует, что функция у существенно зависит от двух независимых параметров. В самон леле, если бы, вводя подходящую колгбинацию .1 = я (а, В), функцию у можно было бы привести к виду у (х, у, а, В) = Ф(х, у, Т), где Ф зависит только от одного параметра Т, то из соотношений Ула = Флг'га Уль = Флчуь туа = Фууза туь = Фубь та = ФПа кь = Фгуь сразу следовало бы, что ранг матрицы гИ не может равняться двум. ) Здесь не будет обсуждаться вопрос, дает ли этот метод все решения или нет.
Сделать здесь какие-нибудь общие утверждения трудно; это ясно из следующего примера. Пусть р(х, у, и, р, д) = 6(.к, у, и, р г)) гг (х, у, и, р, г)), и пусть у — полный интеграл урзвнения П = О, который не является одновременно решением уравнения 11= О. Тогда, согласно нашему определению, у является также полным интегралом уравнении Р = О; однако существуют семейства решений уравнения р = Π— а именно, решения уравнения 11.= О,— которые не могут быть построены как огибающие семейства т. 37 Э 4. Геометрическая иигвпвйвгаиия Чтобы построить такое решение, мы выбираем однопараметрическое семейство нз двухпараметрического, связывая параметры а и Ь, которые до сих пор были независимыми, при помощи произвольной фуш<ции, например д= ш(а).
Затем мы образуем огибающую этого однопараметрического семейства. Мы рассматриваем а как функцию х и у, полученную из уравнения г,+ Ьтв'(~) = 0 (б = (а)), (6) и подставляем ее в равенство и(х, у) = -;(х, у, а, ы(а))=ф(х, у). Здесь мы дополнительно предполагаем, что уравнение (6) можно разрешить относительно а. Таким образом мы получаем множество решений ф (х, у), зависящее от произвольной функции ш. Между прочим, описанная ситуация обьясняет кажущийся парадокс, упомянутый в Э 1, п. 2.
Если для дифференциального уравнения с часткымн производными дано двухпараметрическое семейство решений, то тем самым дано множество решений, зависящее от произвольной функции; ио произвольная функция входит таким сложным образом, что это множество решений, вообще говоря, не может быть записано, как в э' 1, п. 2. Систематическое изложение теории дифференциальных уравнений первого порядка, данное в следующей главе, показывает, что теорию полных интегралов можно обобщить на дифференциальные уравнения для функций п независимых переменных, и что эта теория тесно связана с общей теорией интегрирования уравнений первого порядка.
3. Особые интегралы. Кроме „общего" решения, полученного в п, 2 путем образования огибающих однопараметрических подсемейств дзухпараметрического семейства решений и = в(х, у, а, Ь), мы можем, образуя огибающие, иногда найти еще одно, особое, решение, так как двухпараметрическое семейство и может иметь опвбающую '), не содер кащуюся среди огибающих одпопараметрических подсемейств.
Эта огибающая получается исключением а и б из трех уравнений а=в(х, у, а, Ь), О=у„, о=7,, и тоже должна быть решением; она называется „особым" решением уравнения (1). Заметим, что так же, как в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, не надо знать полного решения, чтобы найти особые решения; их находят непосредственно из ') Зшго, правда, не может быть, если и не входит явно в г. Гж В Вводные замечания дифференциального уравнения с помощью дифференцирования и исключения.
Особое решение лолучаешся исключением р и а из уравнении Р(х, у, и, р, д)=0, Р' =О, Р =О. (8) Уравнение Р (х, у, о, о , ьь ) = О, которое является тождеством относительно а и Ь, можно продиф- ференцнровать по а и Ь, что приводит к равенствам Р„р.+ Рьр„в+ Р,р„=О, Рьрь+ Рь9вь+ Рвууь = О На особой интегральной поверхности имеем ььь= рь=О, и, следова- тельно, для всех ее точек справедливы соотношения Р,рн„+Р,р,„= О, Если мы предположим, что на этой поверхности не обращается в нуль определитель тьатуь тхьтуа' то имеют место равенства Р„=О, Р =О.
Следовательно, уравнение особого интеграла может быть получено из уравнений (8) исключением р и б. В соответствии с этим особое решение может быть определено без использования полного интеграла, как решение, для которого Р=Р =Р =0 в (см. гл. П, и 4). 4. Примеры. Рассмотрим двухпараметрическое семейство функций (х — а)ь+ (у — Ь)а+ иь = 1, (9) т.
е. множество всех сфер радиуса 1 в пространстве х, у, и с центрами на плоскости х, у. Эти функции образуют полный интеграл для дифференциального уравнения иа(1+рз+Ч') =1. (10) Если мы положим Ь= ну(а), выделяя из всех таких сфер однопараметрическое семейство, центры которого лежат на кривой у=ш(х) в плоскости х, у, то огибающая этого семейства, т. е.
поверхность, полученная исключением а из уравнений (х — а)з+(у — то(а))э+и'= 1, х — а+то'(а)(у — ш(а)) = О, Э 4. Гео.чегричесвап интерпретация 39 (12) у — Ь=О. Так как эти поверхности удовлетворяют дифференциальному уравнению (10), они являются особымп решениями уравнения (!О). Мы также придем к этим поверхностям, если исключим р и д из уравнений Р = и'(1-+ р'-!-9') =-1 Р = — 2иар=О, Р Р =2иа(( =О. Другой пример — дифференциальное уравнение ггхеро и = хи .-+уи -+у(и», и„), которое часто встречается в приложениях. Мы исходим нз двух- параметрического семейства плоскостей и= +Ьу+У(а, Ь), (!5) (1 1) где у'(а, Ь) — заданная функция параметров а н Ь.
Так как и =а, и =Ь, это семейство удовлетворяет дифференциальному уравне- У нию (14). Здесь с)=1 (см, формулу (5)); следовательно, функ- ция и, заданная формулой (15), является полным интегралом диф- ференциального уравнения Клеро. Мы опять образуем огибающие, чтобы получить общее решение это~о уравнения; выбирая произвольную функцию Ь =то(а), мы исключаем а из уравнений и =ах+ум(а)+1(а, то(а)), О = х+уто'(а)+ У„+ уьто'(а), (16) Особое решение уравнения Клеро имеет важное значение; мы полу- чаем его как огибающую двухпараметрического семейства (15), т.
е. исключая а и Ь из уравнений и =- ох+ Ьу+ у (а, Ь), х = — 1",, У = — Уь. (11) дает еще одно решение. Любая такая огибающая есть трубчатая поверхность с осью у=я(х). Все двухпараметрическое семейство (9) имеет еще одну огибающую, состоящую из плоскостей и = 1 и и = — 1; это ясно непосредственно и может быть проверено аналитически исключением а и Ь из уравнений (х — а)а+ (у — Ь)а+ и'=1 х — а= — О, 4О Гл. д Вводные замечания Если мы продифференцируем дифференцизльное уравнение (14) по и„ = р, и = д, то прзвило, изложенное в п. 3, приведет к тем же У формулам. (Ср. в 6, п. 3, где представлена другая точка зрения.) ф о. Теории линейных и квазилинейных уравнений лервого нарядна 1. Линейные дифференциальные уравнения, Рассмотрим дифференцизльное уравнение с частнымн производными для функции и(х,, хз, ..., х,) вида (1) != ! Если а! н а — непрерывно дифференцируемые функции только независимых переменных х,, хт, ..., х„, то уравнение (1) называется линейным дяфференциальным уравнением; в более общем случае, если а! и а зависят также от неизвестной функции а, это уравнение называется квазилинейным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
