Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Далее, мы проведем все рассуждения только для случая и=1, т. е. для дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными х, у, так как для ббльшего числа независимых переменных не требуется никаких модификапий. Вообще говоря, систему можно привести к нормальной форме(1). Однако, как мы увидим в п. б, есть важные исключительные случаи, когда это невозможно' ). Для доказательства этой теоремы сначала формально строят степенные ряды для решения, а затем показывают, что они равномерно схолятся. Прежде чем переходить к общему рассмотрению, мы разберем несколько примеров. Для дифференциального уравнения аи +ри =0 с постоянными а и р все решения задаются формулой и = то (ау — рх) с произвольной функцией тв.
Предположим теперь, что нам произвольным образом заданы начальные значения и(0, у) = гу(у). Тогла функция ш определится, если положить х=О; мы получим решение ис й(у — рх(а). Вообще, рассмотрим (ср. й 1, п. 1, пример б) нелинейное дифференциальное уравнение а(и)ик+р(и)и =О, предполагая, что коэффициенты а и р зависят от неизвестной функции и. Задача Коши состоит в том, чтобы найти решение, для которого и(0, у) =гр(у), где р(у) — заданная функция. Как мьг видели раньше, все решения нашего дифференциального уравнения задаются формулой а(и)у — р(и)х=ш(и), где ш — произвольная функция; функция пг снова определяется из начальных ') То, что задача Коши является самой естественной задачей (так же, как и в случае обыкновенных дифференцкгальных уравнений, где она сразу объясняет присутствие в решении произвольных констант интегрирования), видно из самого смысла дифференциальных уравнений (1); оян выражают через начальные данные и их неявно известные производные по переменным у единственную производную, которая этими данными не определяется; каз мы увидим, зто открывает путь к определению всех производных неизвесгиых функций в начале координат.
Гл Л Вводные замечания условий. Подставив в формулу х = О и и = у(у), мы получим та(у)=с(р) у; если обратная функция для и=с(у) есть у=~(и), то мы определим произвольную функцию пу соотношением та(у) =а(~)д®, Таким образом, искомое решение уловлстворяет соотношснию а (и) у — 1у (и) х = а(и) у (и) или эквивалентному ему соотношению Если функция и(х, у) определена из этого неявного уравнения, то задача Коши решена.
(В конце этого параграфа, на стр. 62, мы рассмотрим частный случаИ, важный для дальнеИших приложений.) для дифференциального уравнения второго порядка и „=у'(х, у) интеграл по треугольнику в формуле (2) из э 1, п. 1 дает решение задачи Коши. Простейшее дифференциальное уравнение колебаний сс. и =О кк уу приводит к слелуюшей задаче Коши: наити и, если при х=О произвольным образом задано начальное состояние и (О, у) = у (у) и и (О, у)=ф(у) (ср. т. 1, гл.
К, Э 3). Из общего решения этого дифференцлального уравнения и=г'(у+ х)+К(у — х) можно найти вид функций г' и я', приспособив их к начальным условиям. Функции у' и д находятся из соотношений г (у)+д'(у)=р(у) У (У)— — д'(у) =ф(у), которые непосредственно дают у,к 2и(х, у)=р(у+х)+ср(у — х)-+ ~ ф(Л)е(Л. у —.е При формулировке общей задачи Коши мы предположим, что дифференциальное уравнение можно разрешить относительно старших прокзводных неизвестной функции (или функций) по х. В соответствии с этим мы будем, например, рассматривать лиффсренциальное уравнение первого порядка Р (х, у, и, р, д) = О, (2') где р=ив, гг=и, и предполагать, что уравнение (2') может быть разрешено относительно р и приведено к виду (2) р у(х, у, и, г). Задача Коши состоит теперь в том, чтобы найти решение и (х, у) уравнения (2), которое обращается в заданную функцию 53 Э 7.
Теорема свщесгвованил >Го~ми — Ковалевскоа и (О, у) = ф(у) при х = 0; геометрически это означает, что надо найти интегральную поверхность, пересекаюшуюся с плоскостью х = 0 по заданной начальной кривой к =ф(у). Можно было бы поставить более обшую задачу: найти интегральную поверхность уравнения г" (х, у, и, р, с7)=0, проходящую через заданную пространственную кривую и = ф(у), х = ф(у).
Если мы вместо х и у введем новые независимые переменные '; = х — ф(у), у и положим а (х, у) = и (С+ ф (т~), й) = а (с, т)), то рассматриваемое дифференциальное уравнение перейдет в уравнение г(С+ф(4), й, м, в;, ы — ф'еч)= — О(Е о, ы, оь, н,)=0 с начальным условием ы(0, т~)=ф(т). Более обшая задача сводится таким образом к ранее рассмотренной задаче специального вида, которой мы теперь и ограничимся. Рассмотрим также дифференциальное уравнение второго порядка (3') г" (х, у, и, р, д, г, в, () =О, где введены сокрашенные обозначения г=и „=Р„, в=и =Р„=д, Г=-иг, =с)„, которые будут часто применяться в дальнейшем. Предположим, что это уравнение может быть разрешено относительно г в рассматриваемой области изменения аргументов, т.
е. что оно может быть приведено к виду (3) г=у(х,у,а,р, Т,в,7). Задача Коши для этого дифференциального уравнения состоит в том, чтобы найти решение и(х, у), для которого при х=О заданы начальные значения и и и: (4) а(0 у)='Р(у) ас(0 у)=ф(у) Вместо одной произвольной начальной функции р(у), как в случае дифференциальных уравнений первого порядка, мы имеем две произвольным образом заданные функции ф(у) и ф(У). Аналогичные задачи можно ставить для дифференциальных уравнений более высокого порядка или для систем дифференциальных уравнений.
В частности, мы рассмотрим систему первого порядка для неизвестных функций и,(х, у) (иногда они будут обозначаться через и'(х, у)) следуюШего вида: — ' = г' ~х, у, и, ..., и, —, ..., — ~ (с = П 2,.... ш) (5) ди; Г ди, ди„, > дх "~ ' ' и'''' вс ду ' '''' д> Гж /. Вводные замечания 54 с заданными произвольными начальными значениями и~(0, у)=ег(у). Доказав, что эти задачи Коши имеют единственные решения, мы выясним, каким образом произвольные функции входят в общее решение, 2.
Сведение к системе квазилинейных дифференциальных уравнений. Все задачи Коши, сформулированные выше, могут быть сведены к эквивалентным задачам для систем квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Мы подчеркивали, что многообразие решений системы дифференциальных уравнениИ, вообще говоря, не эквивалентно множеству решений одного уравнения. Однако, как мы увидим, они эквивалентны, если рассматривать дифференциальные уравнения не в отдельности, а вместе с соответствующимп дополнительными начальными условиями.
Система квазилинейных дифференциальных уравнений имеет более широкое множество решений, чем исходные уравнения, однако мы так ограничим начальные значения, что множества решений обеих начальных задач будут совпадать. Лрсждс всего мы выполним это сведение для лифференциального уравнения первого порядка (2). Заметим, что если задано и(0, у) = = э(у), то тем самым автоматически заланы и начальные условия д(0, у) = р'(у). Более того, дифференциальное уравнение (2) лает начальные значения для р, а именно р(0, у) = р(0.
у, р(у), р'(у)). Дифференцируя уравнение (2) по х, мы получим для трех функций и, р, д систему квазнлинейных дифференциальных уравнениИ в частных производных первого порядка и,. = р, (6) чс=ру р,=У.+У. +У,р, и начальные условия и(0, у) =ср(у), ,р (0, у) = р'(у), (у) р (0, у) = Р(0, у, р(у), ~ (у)). Мы утверждаем, что эта задача Коши эквивалентна исходной.
Чтобы оправдать это утверждение, достаточно показать, что для решения и. р, д системы уравнений (6), (7) выполняются уравнения р=-г" (х, у, и, Ч), и„=р, и„=Ч. 4 7. Гворедо суснвсгвововов Кои~о — Кововсвскоа Так как согласно (6) Рт=-грк мы имеем и„= у„; отсюда, интегрируя по х, получим и (х, у)=а+о(у).
Подставляя х == 0 и принимая во внимание начальные условия (7), имеем и,=д для всех х и у, так как из о'(у)=и„(0, у) следует, что о(у) =О. Лалее, согласно (6) д и„, = р, = — г' (х, у, и, (1); следовательно, интегрирование дает и =У (х, у, и, «7)+ а(у). 11о так как для х=О выполняется равенсгво и =«, то а(у)=0, н отсюда ик = 7'(х, у, и, и ), т. е. и (х, у) является решением исходной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
