Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Аналогично, задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка (3) с двумя начальными условиями (4) может быть заменена эквивалентной задачей 1(оши для следующей системы дифференциальных уравнений с шестью функциями и, р, гу, г, г, 1 независимых переменных х, у; ик==р Чк=р рг=г У' а =-г, г„=г«, г. = 1.+ 1чр+рг+ /,р„+ 1Гв+ 1,а, при начальных условиях и (О, у) = е (у), р (О, у) .= ф (у), а (О, у) = ~р' (у), 1(0, у)=рв(у), а(0, у)=ф'(у), г(0, у) =у'(О, у, е(у), ф(у), ср'(у), (з'(у), оо(у)). !1з заданных начальных значений исходной задачи ~р, ф и из дифференциального уравнения мы немедленно получаем дополнительные правяльно согласованные начальные данные для д, г, в, г.
Как и выше, мы можем показать, что р, а, г, в, 1 совпадают с производными ик, и„, и,, и„, и, что и и и принимают заданные начальные значенги (4) и что выполняется дифференциальное уравнение (3), « = р(х, у, и, р, д, г, а, г). Анатогично мы моягем заменить дифференциальное уравнение высшего порядка нли систему уравнениИ каазнлннейной системой первого порядка. Гд А Вводные валвнанал Полученные выше квазилинейные системы дифференциальных уравнений содержат независимые переменные х и у в коэффициентах правой части. Часто бывает удобно перейти с помощью одного искусственного приема к другой эквивалентной квазилинейной системе дифференциальных уравнений, в которую уже явно не входят независимые переменные х и у и которая, кроме того, однородна относительно производных. С этой целью мы формально вводим две функции с(х, у) и т)(х, у) вместо х и у с помощью уравнений 4.=0 (8) и начальных условий 1(О, у) = О, .1(О, у) = у; (9) решениями системы (8), (9) являются (= х, т) = — у.
Так как о) =1, мы можем теперь заменить нашу задачу Коши (6), (7) очевидно экви- валентной ей системой для пяти функций и, р, д, 1, т): и = ра), ~7„= р, д.=О, = У,р, + (У, + И.) '), ПРи этом мы должны подставить 1, о вместо х, У в Га, Гл, у„и потребовать, чтобы выполнялись начальные условия и(0, у)= р(у), и(0, у)=р'(у), Е (О, у) = О, ъ) (О, у) = у, р(О, у) = г. (о, у, р(у), р'(у)). (10) (11) с заданными начальными условиями вида и, (О. у) = рг (у).
(13) Таким образом, сформулирована задача Коши указанного выше вида, эквивалентная исходной залаче Коши для уравнения (2). Аналогичный результат получается в случае задачи Коши для уравнения второго порядка. Как и в задаче для уравнения первого порядка, мы искусственно заменяем х и у функциями ( н тн удовлетворяющими дифференциальным уравнениям (8) и начальным условиям (9); опять вместо (3), (4) мы можем поставить эквивалентную задачу Коши для системы квазилинейных однородных уравнений первого порядка относительно функций и, р, (г. г, г, Г, Е, а).
Все задачи, получаемые таким способом, имеют вид квазилинейной системы первого порядка д ' — — ~ Пы(ин иы .... и ) д (1=1, 2, ..., и) (12) / 1 й 7. теорема существования Коши — Ковалевской 57 В такой квазилинейиой системе коэффициенты Отв(и,, и, ..., и ) явно зависят только от самих неизвестных функций ин но не от независимых переменных х и у. Соответствующий общий результат формулируется так: задача Коши любого порядка для систем дифференциальных уравнений может быть легко сведена к задаче Коши этого типа.
Конечно, в случае и переменных у,, ..., у„систему (12) надо заменить системой вида л и« ди; дит —,„.' =,~„,У, О,д„,(и " им) —, «=1 /=1 (12а) 3. Определение производных вдоль начального многообразия. решающим фактом является то, что дифференциальные уравнения вместе с начальными условиями дают метод вычисления всех производных искомого решения вдоль начальной кривой, например х = О, если только это решение существует и если как решение, так и дифференциальное уравнение и начальные функции аналитичны.
Сначала заметим, что вдоль начальной кривой х = 0 все величины, которые нам уже известны (например, и и некоторые производные от и), дают при дифференцировании по у новые известные величины, т. е, дополнительные производные. Недостающие производные, содержащие дифференцирования по х, должны затем определяться с помощью дифференциальных уравнений, Таким образом, в случае дифференциального уравнения (2), р = т"(х, у, и, «7), мы можем определить «7 = с«'(у) н с = и = 7 = =ун(у) и т. д.
вдоль х=О с помощью начальных данных. Само дифференциальное уравнение дает величину р(0, у)= 7(0, у, «7(у), «с'(у)). Аналогично, при х = 0 известно у. = р, =У, +Уоу+У,Ч,. ,Чтобы определить вдоль начальной кривой недостзющую вторую производную г = р = и „, мы продифференцируем урзвнение (2) по х и получим г Рх — «гх+ тгеР + ее«7х. В правой части содой жатся величины, уже известные при х = 0 нз изложенных выше соображений; следовательно, левая часть тоже определена для х=0. Дальнейшее дифференцирование по х определенных таким образом величин и дифференциального уравнения лает все старшие произволные вдоль х = 0 до тех пор, пока справедливы предположения о непрерывной дифференцируемости функции Г" и решения и.
Аналогично мы можем определить производные функции и вдоль начальной кривой в случае задачи Коши для уравнения второго порядка (3). Но не менее просто рассмотреть общую задачу Коши (12), (13), которая содержит все рассматриваемые частные задачи. Для Улс А Ваогэя!яа аая!аяаяая (14) ~,. (у) =- ~ а, у", =1 Оы(и,, ..., ию) = ~"„Ь'" и,' ... и... сходящимися соответственно в областях 1у! <р и ,'и,! г. (15) ') Мы могли бы добиться еще большего упрощения, введя в'качестве новых неизвестных функций и. — т.
(у) = о., для которых все начальные ! значения о, (О, >) тождественно равны нулю, в то время как общий ввд системы дифференциальных уравнений остается неизменным. системы такого вида ясно, как последовательно получаются производные функций и! влоль начального многообразия, т. е.
вдоль х =-О. Сначала посредством дифференцирования функций а!(у) находятся производные ди!/ду, дгм!/ду.", ... вдоль линии я=О, а затем первые производные г!о х определяются нз дифференциальных уравнений; дифференцируя определенные таким образом величины по у, мы получаем смешанные производные д'и,./дхду для я =О.
Затем, дифференцируя систему дифференциальных уравнений (12) по х, в правых частях получают выражения, содержащие только первые и смешанную вторую производные функций и, по х н у; следовательно, этн выражения известны и определяют выражения, стоящие слева, т. е. вторые производные дсиь!дкз, и т. д, Подчеркнем, что в этом процессе последовательного определения произволных применяются только дифференцирование и подстановки. Согласно нашим предположениям об аналитичности, можно произвести неограниченное количество дифференцированиИ; тогда из начальных данных определятся все производные функций и,. при х = 0 и, в частности, при х = О, у= — О.
Теперь естественно рассмотреть обратный процесс. Если описанное выше последовательное определение начальных значений производных можно применять неограниченное число раз — а это так в случае, когда сами уравнения и начальные значения аналитична, — то можно построить формальный степенной ряд, используя полученные таким образом производные в качестве коэффициентов. Тогда остается показать, что так построенныИ степенной ряд сходится и явяяется решением первоначальной задачи Коши. 4. Доказательство существования решений аналитических дифференциальных уравнений. При докззательстве фундаментальной теоремы существования для системы (12) можно пытаться строить разложение в окрестности начала х.=О, у.= — 0 в предположении, что начальные значения удовлетворяют услови!о р!(0)=-0. Если бы это было не так, мы могли бы ввести разности и! — р,(0) в качестве новых неизвестных функций '). Аналитичность наших ланных означает, что функции бгя, !а! заданы степенными рядами й 7.
Теорема существования Кои/и — Ковалевскоа 59 Мы утверждаем, что задача Коши для такой системы дифференциальных уравнений имеет решение, которое может быть выражено степенным рядом и,(х, у) = ~з„с!ьх у . (16) !=ч я=! Согласно п. 3, коэффициенты степенного ряда (16) однозначно определяются с помошыо дифференциальных уравнений н начальных данных, так как значения производных предполагаемых решений и, в точке х = О, у = О могут быть получены простой подстановкой частного значения у =-О в производные на начальной линии х = О. Таким образом, коэффициенты с,'„ разложения (16) определены однозначно. Если мы предположим, что построенный таким образом ряд сходится в некоторой окрестности начала х = О, у = О, то, согласно хорошо известным теоремам, этот ряд можно почленно дифференцировать внутри его области сходимости; полученные производные можно подставить в дифференциальные уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
