Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Выражения, полученные в результате, снова можно представить как ряды по х и у. Вспоминая, как определялись последовательные производные функций и; в начале координат, мы видим, что в левой и правой части каждого уравнения, а также уравнений, полученных их дифференцированием, в точке х = О, у = О получается одно и то же. В силу аналитичности рассматриваемые дифференциальные уравнения удовлетворяются тождественно, т.
е. функции и, являются системой решений. Эта система решений принимает заданные начальные значения и является поэтому решением нашей задачи Коши, что непосредственно следует из построения степенных рядов (!6) и из предположения об их сходимости. Следовательно, доказательство теоремы сущесл!вавакин будет завершено, как только будет показано, что ряды (16) сходятсл в некотород областа. Чтобы доказать их сходимость, мы исследуем зависимость коэф/рицивнтов с/я от коэффициентов и„, Ь,, „„. Заметим сначала, что / /5 почленное дифференцирование любого степенного ряда дает новый степенной ряд, коэффициенты которого строятся как линейные комбинации коэффициентов исходного ряда с неотрицательными целыми коэффициентами. При подстановке степенных рядов в дифференциальные уравнения (12) используются только действия сложения и умножения.
Таким образом, выражения, полученные в правых частях, тоже являются степенными рядами по х и у, коэффициенты с! которых представляют собой полиномы от величин а/, Ь.. /! и (1У) !Ф !ь > л. I. Вводные замечание Коэффициенты этих полиномов — неотрицательные целые числа, не зависящие от вида функциИ О>» и р, После этих подготовительных рассуждений мы установим сходимость, пользуясь классическим методом мажораиик Вместе с нашей исходной задачей Коши, относящейся к функциям О,„и у, мы рассмотрим новую задачу Коши, в которой функции О,» и с>,. заменены другими функциями — „мажорантами" К>» и фн В некоторой окрестности начала координат мы положим ф, (у) = ~~'.~ А,у' (18) Кы(и,, и )= ~, В' и,' ... и, (19) где А)~1а,(, В,...
" ~(д,'» Другими словзми, коэффициенты степенных рядов новых функций К, и ф; неотрицательны и не меньше, чем збсолютные величины соответствующих коэффициентов заданных функциИ О;» и ч>, Мы поставим следующую задачу Коши: дх 2,4 К>» (т>> ° г>в>) д (1 1' ..., гл), (20) т>,.(0, у)=ф,(у), (21) „мажорантную" для исходной задачи.
Если в соответствии с описанным выше методом мы построим ( коэффициенты Сы степенных рядов для предполагаемых решений (22) т>, (х, у) = ~Л С>»х~у > — », »=> мажорантной задачи, то мы получим новые выражения Сы через А, и ! В,, таким же способом, каким первоначальные коэффициенты с>» В получались из и~ и д~',, „(т. е.
Сг»=Р>»(А„', В,", „)). Но так как коэффициенты этих полиномов неотрицательны, мы сразу получаем С>,> ~ с>»!л Таким образом, формальныИ степенной ряд (22) является мажорантой для степенного ряда (!6). Следовательно, если мы дока>кел> сходи- э" 7. Теорема существования Коиш — Ковалевской 61 и )( М тогда а 1огбог1 мы имеем ~б/л, ~( М ('+ "+ч )' В/ "Г ''ЛЮ '1Ч" Ллт 1 Теперь мы положим (ср. (18), (19)) 0' СО Фт (у) =,7, А,'у = М ~~ ( — ') (23,1 ч=1 ч=1 Ъч гя =0 им ) "'(ч1 1 '' +чт) (24) ('-) "' / щ.
=М '~' ~" — ') ' Ряд (24) сходится, если аргументы ин и„..., и„ изменяются в области, где (ит(+,ит)+ ... + /и ~ С г; его сумма выражается формулои М КЫ(ит ° "тл)= и Л -1- -~-и 1 г (26) Ряд (23) для )у! < а дает Л/у Ф (у)=- —. а — у' (26) ность этого мажорантного ряда (22), то мы обеспечим и сходямость исходного ряда (16). Мы используем это замечание следующим образом: построим мажорантную задачу особенно простого вада, решение котороп можно получить в явном зиле и доказать тем самым схолнмость мажорантного ряда. С этой целью мы выберем (как н выше) два положительных числа г и р, таких, что степенные ряды для О/ (ио и,, ..., и,„) и эт(у) сходятся соответственно прн 1и,):,. г н ~у( .
р, Тогда, согласно хорошо известной теореме о степенных рядах, существует постоянная М, такая, что (а„'! ( —,=А, 62 Гл, 7, Вводные замечания Таким образом, задача чсвт диа ду в=1 д дат М дх и,+ив+,. +и г тг,(0, у) = Лу (27) (28) является мажорантной задачей Коши для задачи (12). Единственное, что осталось сделать — это явно построить решения о,(х, у) этой системь| и показать, что в точке х = О, у = 0 они могут быть разложены в степенные ряды. Так как все функции Кге, а также функции фг тождественны, то естественно предположить, что пг(х, у) =п(х, у) независимо от й Это приводит к одному дифференциальному уравнению в частных производных ди ягМ ддп дх гл дку" 1 — — и г или ! — — п1о — тМпу = О, ( ".) к (29) с начальными условиями п(О, у) о, Му Р у (30) Следовательно, мы должны только показать, что эта задача Коши имеет решение п(х, у), которое может быть разложено в степенной ряд в достаточно малой окрестности начала координат.
Наша задача Коши совпадает с задачей, уже рассмотренной в качестве примера в п. 1, стр. 51, Данный там метод приводит к квадратному уравнению (о+ М) ~(! — — и) у+лгМх1= рп '(1 — — о) (31) относительно функции и. Из двух корней этого уравнения мы доллгны выбрать тот, который принимает нулевое значение при х = О, у = О.
Существование такого решения сразу следует из уравнения (31), которое при х = О, у = 0 переходит в уравнение п(1 — лги)г) = О. Так как по предположению г ) О, корни различны при х = О, у = О. Поэтому днскрнминант квадратного уравнения (31) отличен от нуля в начале координат, а следовательно, н в некоторой окрестности З 7. Теорема существования Коьш — Ковалевеиои начала, так что в этой окрестности корень несомненно может быть рззложен в степенной ряд по х и у.
Действительно, это решение явно дается формулой М гг у1 — (у — гх) + — ! 1 — — ) О=,— 2 ! — у)е 1/ ~ — (у+ гх) — — (! — -У.)~ — 4М' —— 2 1 — у/р (32) 4а. Замечание о линейных дифференциальных уравнениях. Если коэффициенты О фиксированы, то предыдущее рассуждение показывает, что степенной ряд лля решения и сходится в круге радиуса г, который является функцйей г (М, р), зависящей только от М и р. Если заданное дифференциальное уравнение линейно и однородно, то аи с проиввольной константой а является решением с тем же радиусом сходимости г, соответствующим начальным данным аср, ко~орые, согласно предыдущему пункту, сохраняют радиус сходиьшсти р.
Следовательно, г=г(аМ, р) не зависит от М и является что легко проверить. Таким образом, в некоторой окрестности начала координат показана сходимость мажорантного ряда (22) и, следовательно, сходимость исходного ряда (16), а тем самым полностью доказано существование анал1пического решения нашей задачи Коши.
В то же время непосредственно ясно, что для всех дифференЛиальных уравнений и начальных функиий, допускающих общие мажоранты, степенные ряды сходятся равномерно и решения существуют е одной и той же области. Данное выше доказательство, очевидно, показывает, что может быть только одно аналитическое решение задачи Коши для аналитической системы (12), если только начальные данные аналитичны. Во многих случаях предположение об аналитичности начальных данных является слишком сильным; часто оно лаже противоречит природе рассматриваемых физических задач. Г1оэтому представляет интерес установленный Хольмгреном (1) факт, что единственность решения задачи Коши для аналитического уравнения или системы имеет место независимо от того, являются ли начальные данные или решение аналитическими, В частности, аналитическое решение, соответствующее аналитическим данным Коши, является единственным решением, соответствующим этим данным Коши; таким образом, любое решение автоматически является аналитическим.
(См. гл. 111, приложение 2.) Точную формулировку и доказательство теоремы Хольмгрена см. з приложении 2 к гл. 111. Гл Д Вводные золочение функцией одного р. Лналогично мы можем рассуждать в случае неоднородных дифференциальных уравнений. Отсюда вытекает следующий важный факт.
Если для фиксированных линейных дифференииальны:с уравнений начальные данные сходятся ири всех значениях их аргумента, например, если они являются иолиномами, то ряды для решений имеют фиксированный радиус сходимости, не зависящий от начальных данных. 4б. Замечание о неаналитических дифференциальных уравнениях. Для нужд мзтематической физики предположение об аналитичности дифференциальных уравнений является слишком узким. В следующих главах мы будем строить решения для широких классов дифференциальных уравнений (необязательно аналитических), к которым доказательство существования нз этого параграфа не применимо без дополнительных или совершенно иных соображений.
Тем более важно, что недавно Ганс Леви 111 построил пример, а Хермандер 11) провел дальнейшее исследование классов линейных дифференциальных уравнений в частных производных с бесконечно дифферснцнруемымн, но не аналитическими коэффициентами, у которых совсем нет решений. Такое неожиданное повеление некоторых дифференциальных уравнений, которые, казалось бы, не слишком отличзются от аналитических уравнений, ставит следующую проблему: найти простое различие между разрешимыми и „неправильными" не разрешимыми дифференциальными уравнениями. Работа Хермандера в большой мере проливает свет на этот вопрос. б.
Замечания о критических начальных данных. Характеристики. Результаты п. 2 и 3 основаны на предположении, что систему дифференциальных уравнений можно записать в виде (12). Если мы рассмотрим условия, при которых можно написать такую „нормальную" форму, то мы придем к понятию исключительных, или „критических", начальных многообразий, или „характеристик". Мы определим понятие характеристики, которое играет фундаментальную роль в теории дифференциальных уравнений н частных производных и встречается в разных местах этой книги. Предположим сначала, что з;щенная система уравнений линейка и что независимых переменных две: Х~ гг д гуд 1 г ~ агу д +Ь;у д г +с .и =йг (с=1, 2, ..., и); ~ г) дх гт ду гг г1 здесь а,р дгр с,р д,— заданные фуннции х и у. Эту систему можно разрешить относительно производных по х в некоторой точке (хв, ув) тогда и только тогда, когда матрица коэффициентов а,) неосойая бб З 7. Теорема гйтесгеоеанил Коши — Коеплеесной в (х,, уа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
