Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Особо отметим, что в частном случае линейного уравнения, т. е. в слу'!ас, когда а, не зависят явно от и, уже дифференциальные уравнения с!х! — = а! (! = 1, 2, ..., и) составляют определенную систему, задающую иг в пространстве х,, х,, ..., х„(п — 1)-параметрическое семейство „ироек- Ш!й характеристик", тогда как в общем случае они образуют п-параметрическое семейство.
80 Гя. П. Общая теория уравнений лервого нарядно Теперь мы можем построить интегральную поверхность из характеристических кривых, определенных характеристической системой уравнений, решая следующую задачу гтоиеи. Пусть в (и+1)-мерном пространстве х, и с помощью (и — 1) независимых параметров 1н ~, ..., бл, задано (а — 1)-мерное многообразие С: х, = х, (Гн йг, ..., („,), и = и Ин ~,... „~„,) (1=1, 2, ..., и); предполоягим, что ранг матрицы (дх„где„) равен и — 1.
Пусть проекция Со этого многообразия в пространство х не имеет двойных точек, т. е. различным наборам 1н ~ж ..., гл, соответствуют различные точки на Со. В окрестности Со мы ищем решение дифференциального уравнения и(х,, хю ..., х„), проходягцее через С, т. е. такое, которое обращается в гг((н 1ю ..., 1л,), когда вместо х; подставлены х,(~н ~,, „., Гл,). Мы решаем эту задачу Коши следующим образом: для данного набора значений 1н 1„..., Ел, мы находим решение характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2) хг(е ~г г -г) "(е ~г ел-г) которое при е = О совпадает с заданными функциями от бн б„ ... Эти решения являются непрерывно дифференцнруемыми функциями не только е, но н 1н Рю ..., 1л ,.
Будем теперь считать, что величины е, ун Га, ..., Гл, выраягены через х,, ха, ..., х„ (с помощью уравнений х,.=х,(е, 1н ..., 1„,)), и подставим их в и(з, гп ..., Г„,), так что и станет функцией переменнык х,, х, ..., х„, Введение хн х,, ..., х„в качестве новых независимых переменных несомненно возможно, если якобиан дх, дхл йв ''' ое д(хгьхе, ..., х ) охг дх„ д (е, го ..., Гл ,) дх, дхл огл-г ог -1 не обращается в нуль на С, т. е. при э=О.
В сияу уравнений (2), элементы первой строки можно выразить на С с помощью соотношений дхигдв=а,(хн х,, ..., х„, и); здесь вместо х, я и надо подставить заданные начальные функции переменных ~н Га...,, ~„г. .д 2. Квази»и»ейные уравнен».я с н»ереме»ными й1 Таким образом, якобиан (3) тождественно равен определителю а, ... а„ дх| дх» дб ''' дб дх~ дх» дг»- 1 д~л-~ В предположении, что Ь вь О, из и(з, гн ..., 1„,) мы получаем функцию и(х,, хг, ..., х„). Уравнение би/бе= а для и (з (~ . г»-д переходит в уравнение а»,— „' = ~~1 а;и,, =а. Следовательно, функция и(х,, х,...,, х„) есть решение дифференциального уравнения (1).
Таким образом, в предположении, что Ь + О, наша задача Коши плгеенг единственное решение. Такой способ решения задачи Коши не проходит в исключительном случае, когда Ь=-О всюду на С. Возникает вопрос: какие нужны дополнительные условия, чтобы гарантировать существование решения задачи Коши в этом случае? Заметим сначала, что предположение а = О эквивалентно сушествованию и — 1 однозначно определенных иепрерь1впых функций ), (гн 1,, ..., Г,,), таких, что на С выполняются линейные соотношения » †! дг., .=1 Действителыш, это сразу следует из обращения в нуль определителя Ь и наличия ненулевого алгебраического дополнения хотя бы у одного элемента первой строки. Чтобы сформулировать искомые необходимые условия, мы введем понятие (и --1)-мерного характеристического многообразия. Говоря геометрическим языком, каждой точке (х,, х,, ..., х», и) пространства х, и мы поставим в соответствие характеристический вектор ан а...,, а„, а.
Многообразие С размерности п — 1 называеягся характеристическим, если в каждой точке соотеегнстеугоигай характеристический вектор касается зпгого многообразия. Аналитически мы можем сформулировать это определение, пред. ставив многообразие С с помощью и — 1 параметров гн гг, ..., 1„~.' С называется характеристическим многообразием дифференциального ! л. П. Общая теория уравнений первого порядка ь2 уравнения в частных производных ~~'„агин,= а. если существует г=! п — ! функций )е(1т, уг, ..., Ел,) (1= 1, 2, ..., п — 1), таких, что на С выполняются соотношения л-! а =ау Մ— ' (1=1, 2, ..., п), дх! л~е " дгн =1 л-! а ~~) дгг "дг,' (5') .=! — „" =Л,(1,, 1, ..., (л,).
йг„ (6) Функции хг((г, (г, ..., 1л,) и и(йы йг...,, Юл !) перейдут тогда в функции переменной з, задающие кривые на С, для которых справедливы соотношения л-! л-! йи кч ди и — = у — Л. йз .2Е дг, .=! В силу уравнений, определяющих характеристическое многообразие, мы получим с(х,/бе= а,, йи/с(в= а, откуда слелует. что наши кривые — характеристические; они оораз>ют (и — 2)-параметрическое семейство и, следовательно, порождают С.
Обратное очевидно, так как многообразие, порожденное семейством характеристических кривых, в каждой точке касается характеристического вектора. Вторая теорема непосредственно следует из того, что решения характеристических дифференциальных уравнений однозначно опре- т, е. таких, что характеристический вектор линейно выражается через п — 1 линейно независимых касательных векторов с компонентами дхе)д1„, диод!„. )(ля характеристического многообразия квазилинейного дифференциального уравнения справедливы следующие теоремы.
Любое характеристическое многообразие порождается (п — 2)-параметрическим семейством характеристических кривых; обратно, лкбое такое семейство порождает характеристическое многообразие. Ес,ги характеристичесная кривая Г имеет хотя бы одну общую точку с характеристическим многообразием С, то они целиком лежит в нем. '!тобы доказать первую теорему, рассмотрим в пространстве параметров 1, (и — 2)-параметрическое семейство кривых 1, = 1,(з).
определенное системой (п — 1) обыкновенных дифференциальных уравнений б 2, Кеаэилинейние уравнении с н переменнььми деляются начальными условиями, требующчми, чтобы каждая характеристическая кривая содержала некоторую точку многообразия С. Как мы видели выше, существует характеристическая кривая, целиком лежащая в С, проходящая через эту точку С. Теперь мы резюмируем основные резучьтаты в следующей теореме. Если й ча О на начальном многообразии С, то существует одно и только одно решение задичи Коши.
Если же Ь= — О всюду на С, то задача Коши разрешима тогда и только тогди, когда С вЂ” характеристическое многообразие. В этом случае сущесп!вует бесконечно много решений задачи Коши и С является ,иногообразием ветвления, через которое различные решения мозкно гладко продолжать друг в друга. Осталось доказать только ту часть теоремы, которая касается случая а = О. Из условия Ь = О мы сделали заключение о существовании и — 1 непрерывно дифференцнруемых функций ) от параметров г,, г,, ..., гн ы таких, что выполняются соотношения (5). Мы должны также установить недостающее соотношение (5'), которое следует из предположения,что интегральная поверхность и = и(хы хг, ..., х„) проходит через С. Действительно, дли решения и на С мы имеем и — 1 ь=! (=1 и, следовательно, так как и удовлетворяет дифференциальному уравнению (1), и — ! =1 это как раз то соотношение, которое мы хотели доказать !).
Обратно, если С вЂ” характеристическое многообразие, то мы можем построить бесконечное множество решений и дифференциального уравнения в частных производных, содержащих многообразие С. Мы выоираем произвольное (и — !)-мерное многообрззие С', пересекающееся с С по (и — 2)-мерному многообразию 8, такое, что для него всюду а чь О. Тогда через С' проходит единственная интегральная поверхность У. Но, согласно проведенному выше построению, У содержит все характеристические кривые, проходящие через 3, а следовательно, и многообразие С, порожденное ими.
Этим завершается доказательство нашей основной теоремы. ') Этот результат становится геометрически очевидным, если вспомнить, что характеристический вектор касается интегральной поверхности; так как, согласно (5), его проекция в пространство хи хь, ..., х„ касается проекции С в пространство хо хм ..., х, то он сам касается С. 84 Гя. !б Общая теория уравнении ггеряого порядка ~ 8, Общие дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменныма 1. Характеристические кривые и фокальные кривые. Конус Монжа.
Рассмотрим общее дифференциальное урзвнение р (х, у, и, р, ()) = О, где использованы сокращенные обозначения и = р, и„ =-и. Как обычно, лгы предполагаем, что с — непрерывная функция, обладающая непрерывнылли первыми частными производными по всем пяти аргументам в рассматриваемой области. Кроме того, мы требуем, чтобы было Дифференцизльное уравнение в частных производных (1) можно следующим образом истолковать геометрически (ср. гл. 1, й 4): величины р, г), определяющие направяение касательной плоскости к интегральной поверхности в пространстве х, у, и, удовлетворяют уравнению Г = 0 в каждой точке Р:(х, у, и). Зто уравнение уже не является линейным относительно р и г); следовательно, вообще говоря, возможные касательные плоскости образуют уже не пучок плоскостей, проходящих через прямую, а однопараметри ~еское семейство, огибающей которого является коническая пов рхпость с вершиной Р, так называемый „конус Монжа". (Не следует забывать, что наши рассужления относятся к конической поверхности в ма.том, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
