Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Мы обозначим эту систему решений через х (з, Г), у (г, (), и (з, Г), р (е, б), д (з, (). Снова единственность таких решений и их непрерывная дифференцируемость по в н по параметру б гарантируются хорошо известными теоремами из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Если выражение ел= ррул — Р х,= — х,у,— х„ул (5) отлично от нуля на начальной полосе, а следовательно, и в некоторой ее в, 1-окрестности, то мы можем считать х и у независимыми переменными в этой окрестности вместо параметров в, Г. Это значит, что мы можем выразить величины и, р, д как функции от х и у; в частности, мы получаем поверхность и(х, у). Мы утверждаем, что на этой поверхности р = и„, и =- и, что она является интегральной поверхностью и, таким образом, решает нашу задачу Коши.
Последнее очевидно, если только установлены соотношения р = и „, д = и . Действительно, так как Р является интегралом системы урану' пений (4), выражение Р(х, у, и, р, д), несомненно, обращается в нуль тождественно по в и у иа нашей поверхности (в силу второго из начальных условий); следовательно, оно также обращзется в пуль тождественно по х и у.
Чтобы проверить соотношения р=и, су=и, нам достаточно показать, что лва выражения (у' = — и, — рх, — лгун )л = и, — рх, — ду, тождественно обращаются в нуль на нашей поверхности; тогда из соотношений О=и — и х — и у, к л у (у) О=и,— и х — и у к к у л ') Прн постановке такой задачи можно было бы сначала считать заданной только начальную криву1о С, а величины р и е определить из соотношения волосы и из уравнения и == О; однако выбранная здесь форма постановки задачи Коши лучше, так как з ней отсутствуют нвсущественныв ссылки на возможную многозначность решений уравнений, определяющвх р и в вдоль С.
90 Гл. П, Общая теор«я уравнений первого порядка следует, что р = и„, г) = и . так как определитель а = х,у, — х,у, втой системы линейных уравнений относительно и, и по предположению отличен от нуля. Обращение в нуль вел«чины ьг непосредственно следует из характеристических дифференцлальных уравнений. Чтобы дшшзать, что У обращается в нуль, мы будем рассматривать У и ьг как функции от в и ~.
Рассмотрим тождество дУ д)г — — — = — (р,х, — р,х, + д,у, — г),у,) и воспользуемся характеристическими дифференциальными уравнениями (4), а также тем, что из тождественного обращения в нуль функции (г следует равенство д)г)де =О, Мы получим д = Рггр+ огре+ Рхг+ руг) «+ рлхг+ г туг' С другой стороны, дифференцируя по 1 соотношение Е=О, кото- рое выполняется тождественно по з и 1, имеем ргг +дгР +игР,+хгР«+угГ =О; отсюда (8) д При фиксированном С зто уравнение является линейным обыкновенным дифференциальным уравнением относительно У как функции в. Так как по предположению 0 обращается в нуль при в=О, из единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения при заданном начальном условии У(0)') следует, что величина У обращается в нуль при всех значениях е.
Это как раз то, что мы хотели доказать. Построенная интегральная поверхность единственна, так как решения обыкновенных дифференциальных уравнений (в данном случае характеристических уравнений) однозначно о пределяются начальными условиями. Мы следующим образом резюмируем полученный результат. Пусть дана пространственная кривая С: х=к(~), у=у(~), и = и (С), которую можно дополнить функциями р (Г), г) (~) ') То есть из соотношения Г н и (в) = сг' (О) е о З 3. Общие ди4фереялиальные уравнения с двулгя яеременны.ни 91 до начальной полосы С,: х, у, и, р, г). где.С, удовлетворяет соотношению паласы и уравнению гч = О; если вдоль эта» полосы ц=-гч у,— Г х, ~ О, то в окрестности полосы С, существует одна и только одна интегральная поверхность и (х, у), и ро ходя ща я через эту полосу.
3. Характеристические кривые как элементы ветвлечня. Дополнительные замечания. Интегральный коноид. Каустики. Теперь мы должны разьяснить значение исключительного случая а = О. Если р у, — р х, = О всюду вдоль полосы С, на некоторой интегральной поверхности, то, согласно рассуждению на стр. 87, полоса С, должна быть характеристической полосой на этой поверхности. Следовательно, в исключительном случае, когда Ь = О, интегральная поверхность может проходить через С, только если С является характеристикой, т. е. если функции р н г7, определенные условиями 1) и 2), дополняют эту кривую до характеристической полосы. Но если это условие выполнено. то существует не одна, а бесконечно много интегральных поверхностей, касающихся друг друга на начальной полосе. Рассмотрим кривую С', которая пересекает С и которую можно дополнить до начальной полосы так, что эта начальная полосз будет касаться полосы, соответствующей С, в общей точке.
Тогдз задача Коши с начальной кривой С' даст интегральную поверхность, содержащую всю характеристическую полосу, соответствующую кривой С, так как эта интегральная поверхность имеет общий элемент с этой характеристической полосой. Таким образом, характеристики на интегральной повсрхности— это такие кривые, вдоль которых различные интегральные поверхности пересекаются, касаясь друг друга. Поэтому эти кривые (илн полосы) можно рассматривать как элементы ветвления интегральных поверхностей.
Пересекая одну из этих кривых, можно без нарушения непрерывности первых производных функции и перейти на другую поверхность из семейства интегральных поверхностей, вместо того чтобы продолжить движение по первоначальной поверхности. Итак, при решении задачи Коши могут встретиться два случая: Если Ь -Ь О на начальной полосе С,, то задача Коши имеет единственное решение. Если аке а =- 0 вдоль С,, то задача Коши имеет реигение только тогда, когда полоса С, является характеристической; в этом случае существует бесконечно много решений. Последнее замечание, кзсающееся случая, когда Ь = О: если начальная полоса С, не является характеристической, то она просто является фокальной полосой, и не существует решения задачи Коши, проходящего через Сн т. е.
не существует интегральной поверх. 92 Гл. П. Общая теория уравнений первого порядка ности, содержащей зту начальную полосу и обладаюгцейь в ее окрестности непрерывными производными вплоть до второго порядка. Однако возможно, что существует интеграяьная поверхность, для которой фокальная кривая С, является сингулярной кривой, Действительно, если мы построим характеристические полосы, проходящие через каждый элемент (х, у, и, р, ьг) полосы Сн взятый в качестве начального условия, и если не все они совпадают (как это было бы в случае, когда полоса С, — характеристическая), то эти полосы могут образовывать интегральную поверхность. На таких интегральных поверхностях кривая С обязательно должна быть сингулярной и, как правило, оказывается огибающей характеристических кривых, порождающих поверхность. Мы можем рассчитывать, что она будет ребром возврата интегральной поверхности или, по крайней мере, что в окрестности проекции С на плоскость х, у переменная и не может быть определена как однозначная функция х и у.
Мы проиллюстрируем эти возможности примерами (см. Э 6 и пример, рассмотренный в связи с квазилинейными дифференциальными уравнениями в 2 1), В теории распространения света характеристические кривые соответствуют световым лучалц поэтому каустические кривые этих лучей явлюотся фокальными кривыми (что определяет терминологию). Особый интерес представляет частный предельный случай задачи Коши, когда начальная кривая вырождается в точку. Те же рассуждения, что и выше, приводят к следующему результату.
Все характеристические кривые, проходящие через фиксированную точку Р пространства х, у, и, образуют интегральную поверхность. Эта интегральная поверхность (которая может состоять из нескольких полостей) имеет коническую особенность в точке Р (причем конус Монжа является касательным конусом) и называется интегральным коноидом дифференциального уравнения с чист- ными производными в точке Р. Как мы увидим дальше, он играет роль светового конуса в теории распространения света.
Следующее замечание, применимое также в случае и независимых переменных, указывает на существенное различие между квазилннейными уравнениями и общими нелинейными уравнениями. Чтобы построить решение в случае линейного и квазитинейного уравнения, достаточно рассматривать характеристические кривые, образующие двухпараметрическое (или, может быть, п-параметрическое) семейство. В общем случае мы вынуждены рассматривать целую характеристическую полосу, чтобы включить величины р и д, определяющие направление касательной плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
