Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Действительно, применяя (9), (10), (11), мы получаем « — 1 «-! « =1 «-! — рн рГ«. йз 'и дг« ' ! «! Е-! «=1 Таким образом, наши функции являются решениями характеристической системы дифференциальных уравнений (2) и, следовательно, з силу Г= О, определяют характеристическую полосу; (и — 2)-параметрическое семейство таких полос покрывает С,. С помощью рассуждений, совершенно аналогичных примененным в случае квазилинейных уравнений (см.
9 2), вторая теорема получается как следствие того факта, что решение характеристической системы дифференциальных уравнений однозначно определяется иачальнымн значениями. После такого анализа характеристических миогообрззий мы можем сформулировать и доказать такие же полные результаты, как и в квазилинейном случае. Задача Коши для данного начального многообразия С, имеет одно и только одно решение, если ЬчьО всюду на Ск Вели же ла С, выполняется соотношение й!=О, то для разрешимости зада*!и Коши необходимо и достаточно, чтобы С, было характеристическим многообразием.
В этом случае существует бесконечно много решений ПО Гя. Сч Общая теория уравнений верного иорядиа Мы должны доказать это утверждение только для случая Ь = О. В этом случае мы сразу можем сделать заключение о существовании а — 1 функций «(~!' ~2* ' ' ' ' и-!)' таких, что выполняются соотношения (9). Если мы теперь предположим, что функция и=и(х,, хю ..., хи) залает некоторую интегральную поверхность Л проходящую через Сн н положим р;= ди/дх!, то соотношения (10), (11), из которых следует, что С, — характеристическое многообразие, получаются сразу. Так как р; =и, и так как справедливы формулы (9), мы имеем и и и-! и — 1 г=! «-! и ! 1 (13) учитывая, что дря!дх!=др!!дхя, мы видим, что это дифференци- альное уравнение (1), продифференцированное по х„. Применяя (12), мы получим и-! ),, — = — Риря — г« = Ья, дря дг« -! т.
е. требуемое уравнение (11), Таким образом, мы доказали, что если задача Коши для С, разрешима, то С, — характеристическое многообразие полос. Достаточность этого условия получается так же, как в кзазилинейном случае. Построим многообразие Сн не касательное к С,, имеющее с С, общее (и — 2)-мерное многообразие Я, и такое, что всюду на нем ЬФО; тогда задача Коши для С; однозначно разрешима; решением является интегральная поверхность У. Все характеристические полосы, проходящие через 8, и многообразие Сы порожденное этими полосами, лежат на У. Так как С, 'выбрано произвольно, существует бесконечно много решений задачи Коши для многообразия С,.
В заключение этого параграфа мы еше раз подчеркнем, что он касается изучения вопроса только в малом. Ниже, в гл. ч'1, мы должны следовательно, установлено соотношение (10). Теперь мы воспользуемся тем фактом, что а должно тождественно по х; удовлетворять соотношению З 8. Полный интеграл и теория Гамильтона — Якоби 111 будем рассматривать решения на всем их 'протяжении, допуская особенности и многозначность; это рассмотрение в целом требует гораздо больше усилий, чем локальные исследования. я 8.
Полный интеграл и теориа Гамильтона — Якоби 1. Построение огибающих и характеристические кривые. рассмотрим дифференциальное уравнение с частными производными Р (хг хз ° хь " Р1 Рю ° ° ° Р )=0 (1) где р,=ди1дх, и ~,Г-'р ФО. Пусть имеется частное решение г и=гр(хн хз, ..., х„, ин из, ..., и„), (2) зависящее от и параметров и, (полный интеграл). Прелположим, что условие ') в=)4 .
)чьо выполнено в рассматриваемой области пространства х, и. Тогда огибающая произвольного (и — 1)-параметрического семейства этих решений также есть решение, Чтобы доказать это, мы положим иг — а;(1ы ьт, ..., (л 1) (1=1, 2, ..., и), где аг — произвольные функции и — 1 параметров 1л. Чтобы найти огибающую, надо определить Гн 1м ..., Г,„, из уравнений О=~раг илг (т 1, 2, .
° °, и — 1) (4) как функции от х,, хм ..., х„и полставить эти г, в выражение и =ср(хн ..., х„, а,(гн ..., 1н,), ..., а„(1,, ..., 1„,)). Ликии касания поверхностей, заданных полным интегралом, и огибающей оказываются характеристическими кривыми. Такая линия касания соответствует фиксированной системе величин да,/д1„и и,; кроме того, влоль такой кривой выполняются соотношения (4), в силу которых функции ри, принимают, с точностью ') Мы могли бы, как раньше (ср. гл. 1, 4 4, и. 2), наложить более общее требование, чтобы матрица с л строками та тл а ''' тл а л ~~ имела ранг л. 112 Гп, )Л Оби1ия теория Кривления первого порядка до общего коэффициента пропорциональности Л, некоторые постоянные значения Ь: Яа, = Лдо (5) х,(а,, и„..., ил, Ьн Ь,, ..., Ьл, )).
Если мы подставим эти функции в выражение р(хн х,, ..., х„, а,, аэ, ..., а„), то мы получим кривую, заданную при помощи параметра Л. Так как в рассматриваемой окрестности величинам а, и Ь, можно придать любые значения за счет соответствующего выбора функций лт, то мы получаем таким образом 2п-параметрическое семейство линий касания огибающей и нашего полного интеграла. Эти кривые являются характеристическими кривыми дифференциального уравнения (1) и вместе с функциямн р, = ср „, (х (а,, Ь„, Л), аи) дают характеристические полосы. Это следует из геометрического смысла наших полос — как полос касания. Чтобы доказать это утверждение аналитически, мы продифференцируем уравнение (5) по параметру Л: л .~~ ра.х х„=д,, й (5) Здесь дифференцирование по Л обозначено штрихом.
С лругой стороны, функция э(хы ха, ..., х„, и,, иэ, ..., и„) тождественно по и, и х, удовлетворяет уравнению (1); если мы продифференцнруем его по и, и применим (5), то получим :"„у„„.,Р,„+Р„Лд,. = О. (т) Таким образом, величины — (ттр (ЛГ ) удовлетворяют той же самой Ри системе неоднородных уравнений, что и величины х': так как определитель этой системы не обращается в нуль, мы можем сделать вывод, что рр х и * Лти С помощью втик уравнений мы можвм задать значения Лд, соответствующие заданным значениям величин х, и а,.; затем, в силу условия (3), мы можем однозначно разрешить уравнения (5) относительно х, в окрестности рассматриваемой системы значений и получить функции ПЗ й 8 Полный интеграл и теория Гамильтона — Якоби у Х' =РГр .
л е' Далее, дифференцируя (1) по х, мы находим, что л илн, так как в силу 18) мы имеем л х,' =.= — ~ г'д . 'д. а длл для дли, 1 ~~ дрл, 1 дх, дхь ! !г л'а длт ! л д' 1=1 то р~ = — р("лр + р'.,). Наконец, из (8) следует, что л л и' = ~ а„х,'. = р ~, р, Г"р . 1=! 1=! Так как параметр ) на кривой можно выбрать так, что р = 1, рассматриваемые кривые удовлетворяют характеристическим уравнениям 12) из 8 7 !).
2. Канонический вид характеристических дифференциальных уравнений. Теории дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка можно придать более ясную форму, упростив прн этом вычисления, проведенные в п. 1, если неизвестная функция а пе входит явно в дифференциальное уравнение. Произвольное дифференциальное уравнение всегда можно привести к такому специальному виду, искусственно увеличив на единицу число независимых переменных. Для этой цели нам достаточно ввести, например 1ср.
гл, 1, 8 б), и = х,+, в качестве независимой переиенной и выразить семейство решений п=ф(х1, х,, ..., хл, с) ') Заметим, что можно и другими способами с помощью построения огибающих получать решения из решения е1х„хл, ..., хл, ан ал, ..., а„), зависящего от произвольных параметров. Например, можно послропть огибающую л-параметрического сеиейгхва (2) и прийти таким образом к особому решению, которое, как и в случае к =2, можно получить также посредством дифференцирования и исключения переменных из соотношений р = — Р = О.
Иг!и можно из л-параметрического семейства с помо. щыо произвольных функций выбрать любое ш-параметрическое семейство с т < л и построить его огибающую. Многообразиями касания в этом случае будут характеристические многообразия размерности и — т. Гели чы обозначим отличное от нуля выражение — 1~>)л, через р, то пол чим (8) 114 Гя.
Н Общая теория Кравнгний первого порядка в неявном виде гр (хо ха..., х„,,) = с. Если мы заменим и, на — !рк/!рк, (г=1, 2, ..., л), то мы полу! "и я-'-! чим для новой неизвестной функции !р дифференциальное уравнение, не зависящее явно от гр. Для такого дифференцизльного уравнения мы выделяем одну переменную, например, х„„,= х, и считаем, что оно разрешено относительно производной гр по этой переменной.
Таким образом, если вместо р мы снова напишем сс, то без ограничения общности мы можем рассматривать дифференциальные уравнения вида р+ Н(х,, х.„..., хя, х, р,, р,, ..., р„1=0, р=ак, р;=ик (1=1, 2, ..., н) (9) для функции сс от (н+1) переменных х, хо хм .,., х,. Тогда характеристическая система дифференциальных уравнений, одним из которых является уравнение дх,'де=1 (или х=в), переходит в систему более того, выполняются соотношения йи Ся — =~ рН вЂ” Н, йх =Ля йр — = — Н . их = к' (11) г=! Одни только уравнения (1О) составляют систему 2н дифференциальных уравнений для 2н величин хо рр Если функции х,(х) и рг(х) являются решениями системы (10), то р(х) и и(х) получаются из (11) простым интегрированием. В механике и в вариационном исчислении (см. т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
