Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Для любой функции а координат точки В справедливо уравнение в / и г(яг — ггяг= 1 1 тг„г,н-г,г ), А ' 1 (24) 5. Конус лучей. Конструкция Гюйгенса. В прелылушем пункте мы решили вариационную задачу и таким образом построили реигения дифференциального уравнения с частными производнымн Гамильтопа— Якоби, все еще зависящие от одной произвольной функции, а именно, решения, обращающиеся в нуль на ааданной поверхности Т=О.
Кроме того, было покааано, что гем самым мы исчерпали все возможные решения этого дифференциального уравнения с частными производными. '1астный случай, когда начальная поверхность вырождается в точку, т. е. функция о' становится геодезическим расстоянием от фиксированной точки, приводит к решениям дифференциального уравнения с частнымн производными, которые раньше были названы инглегральными коноидими, или конусами лучей, Соответствующие поверхности /= сопз1=с естественно назвать геодезическими сферами. Необходимо отметить, что построение поверхностей /=с, параллельных произвольной заданной поверхности Т = О, по существу эквивалентно построению всех решений уравнения (16) с помощью огибающих, исхоля из решения, содержащего л параметров. Действительно, поверхности /=с являются огибающими параллельных поверхностей ралпуса с вокруг точек А на начальной поверхности.
Это построение восходит к идее Гюйгенса рассматривать в момент (=с „фронт волны" света, исходящего из поверхности Т=О в момент (=-О, как огибающую фронтов сферических волн, исходящих нз отдельных точек поверхности Т=О. Надо снова подчеркнуть, что все проведенные выше построения лелаются „в малом", т. е.
относятся к достаточно малым окрестностям, например, некоторого луча. Рассмотрения „в целом" требуют дополнительных рассуждений, как мы увидим ниже. 4 9. Теория Гамильтона — Якоба и еариачнонное исчисление 133 причем путь интегрироваьпия С мем(ду точками А и В произволен. Мы рассмотрим геодезическое расстояние л от точки В до начальной поверхности Т = О в нашем поле (есл(ь А лежит на поверхности Т = О, то /(А) = О). Подставляя частные производные функции У из формул (13), мы получим следующее интегральное представление для эйконала л(ежду точками А: (и(, т) и В: (Ч(, 1): в Ген Π— Н., )= ('(Е(', ., О,'- $(Н' — '.(Нг)Е, ~ЕЕ~ А е=1 или в — — Е (,...() л ы л Символы и' снова обозначают производные по кривой С, а символы и„и и, обозначаю( определенные ранее величины, относящиеся к полю, т.
е. производные и моменты, которые в точках поля соответствуют проходящим через них экстремалям поля. Эти величины рассматриваются здесь как заданные функции координат в поле. Обратно, „инвариантный интеграл Гильберта" (25) обладает следующим свойством. Если в заданной области (и+!)-мерного пространства и, г заданы функции о,(ип а.„..., и„, е), « = 1, 2, ..., и, такие, что интеграл взятый между парой точек А и В в пространстве, пе зависит от пути интегрирования, то функции о,(ап аю ..., и„, е) являются величинами некоторого поля экстремалей; значением интеграла как функции конечной точки В является функция расстояния л'(()(, (),, ..., д„, Г), соответствующая этому полю экстремалей.
Это можно сразу доказать, если вспомнить, что для интеграла такого типа, не зависящего от пути интегрирования, в конечной точке В выполняются соотношения у =- рн l,= — Е. Следовательно, такой интеграл как функция своего верхнего предела удовлетворяет дифференциальному уравнению Гамильтона — Якоби (16) и наше утверждение следует из теоремы п.
4, согласно которой любое решение дифференциального уравнения Гамильтона — Якоби есть функция расстояния некоторого поля экстремалей. Таким образом ясно, что дифференциальное уравнение с частными производными ! амильтона — Якоби, построение поля экстремалей )З4 Гл. П. Общая теория уравнений первого порядка ~~У (гг' — и) РЬ йз, А =1 (26) которое, конечно, также не зависит от пути интегрирования С. Если точка В сдвигается из начального положения Ва по экстремали поля, соответствующей системе значений а, т. е. если рассматриваемая дуга С является экстремалью и, следовательно, и = и, то подинтегральная функция в (26) обращается в нуль и мы имеем (27) Здесь ܄— постоянная, равная величине интеграла между Л и В .
Обратно, если семейство кривых г),(Г, о„, Ь,) определяется уравнением 1, =Ь,, что возможно только единственным обрааоч в некоторой окрестности рассматриваемой системы значений а, Ь, в силу условия )l ( пь О, то эти кривые должны быть экстремалями. Действительно, подинтегральная функция в (26) должна обращаться в нуль на дуге С из этого семейства, и мы получаем линейную однородную систему уравнений относительно разностей и' — а„ с определителем ( Р ° , ~.
С другой стороны, согласно п. 4, величины, характеризующие поле, задаются формулами о = Р„= l„. Таким образом, наш определитель совпадает с )У„, ! и, следовательно, по предло"г 1 ложению не обращается в нуль. Тогда мы имеем и„'— к =О, откуда видно, что кривые С являются экстремьлями. В следующем параграфе мы дадим другое доказательство теоремы Гамильтона — Якоби. и соответствующих функций расстояния, а также независимость интеграла вида (25) от пути интегрирования, являются эквивалентными описаниями одной и той же ситуации. 7.
Теорема Гамильтона и Якоби. Из интеграла Гильберта мы получаем новое понимание теоремы Якоби (см. й 8). Если у(рм дю ..., д„, г, ан аю ..., и„) — решение дифференциального уравнения с частными производными Гамильтона — Якоби, для которого определитель !.Уа в ) не обращается в нуль, то уравнения /„= Ь, и lч = р„(н = 1, 2, ..., л) дают 2п-параметрическое семейство решений канонической системы уравнений.
Наш прежний результат показывает, что функция г определяет поле экстремалей, зависящее от параметров а,, а,, ..., а„, а г' в этом поле экстремалей представляется интегралом Гильоерта (25). Кроме того, дифференцируя под знаком интеграла, мы получаем интегральное представление В и 135 4 10. Канонические ссрсобриэования ф 10. Каноничеение преобразования и их приложения 1. Каноническое преобразование. Каноническое представление характеристических дифференциальных уравнений вариационной задачи илн дифференциального уравнения с частными производными первого порядка является отправным пунктом теории каноничвскнх преобризованисс, имеющей важные приложения. Пусть заданы функция (.(оо и,, з) и соответствусощая каноническая система дифференциальных уравнений и„= с'...
о, = — l Мы ставим вопрос, можно ли и каким способом преобразовать канонически сопряженные переменные о,, и, в новые переменные та =э),(ссс, и,, ., и„, оо оо ..., ов), с,= ос (ин сс,, ..., исо он ос, ..., он) и получить таким образом из функции (.(оо ио з) новую функцию Л(4,, ыо С), такую, чтобы решения новой канонической системьс дифференциальных уравнений (3) соответствовали решениям исходных канонических дифференциальных уравнений (1). Такое преобразование переменных, или преобразование канонической системы дифференциальных уравнений, называется каноническим преобразованием.
Канонические преобразования легко получить, переходя к вариационной задаче. Действительно, наши требования выполняются, если при преобразовании (2) подннтегральная функция одной канонической вариационной задачи переходит в иодннтегральную функцию дру~ой такой задачи с точностью до слагаемого вида диввргенции (см.
т. 1, гл. 1Ч, ч 3, п. 5), которое не влияет на дифференциальные уравнения Эйлера. Этого можно добиться, если, напримвр, выбрать преобразование (2) так, чтобы тождественно по переменным ио осс, и„сэ, выполнялось соотношение ~ч, и,о„— Е(ос ио з)==- '~~ вс,т(,— Л(ч(о осн з)+ — „; (4) э сс (Гс .=1 =1 здесь )г )г (ыо ис з) — произвольная дифференцируемая функция и с(сс 1с и +ни Р + 5' ., с ',.с Гл. ГЛ Оощ1ая теория правление первого порядка Наше уравнение (4) перейдет в уравнение л л ~ и,(е,— В'„) — ~~", ео,~ты+В'„, ) — ь+Л вЂ” 'йт,= — О, =! гю и так црк оно должно выполняться тождественно по и„, ш,, и, ш, мы сразу получаем следующую теорему: уравнения (1) переводятся в уравнения (3) посредством канонического преобразования, которое зависит от произвольной функции йт Ов„, и,, е) и получается из соотношений 1" л' и 1' Л =Л+Ж'.
Функция Л должна быть затем выражена через переменные ш, и ть вместо и, и се Совершенно аналогичным способом можно получить другие выражения, определяющие канонические преобразования, выбирая другие переменные н в соответствии с этим, исходя из второй формы канонической вариационной задачи, данной в й 9, п. 1, стр. 122. Например, пусть В' — произвольная функция ее ш,, в. Тогда уравнения и„= Ж', ты= — йт Л =Л вЂ” йг, дают каноническое преобразование, если мы затем введем в Л в качестве переменных величины ш,, ть. Точно так же получаются еще два вида канонических преобразований с помощью произвольных функций Ж'ги,, .4,, в) и )утгп,, ш,, в).
Эти произвольные функции всегда характеризуются тем, что они зави- сят от одной серии старых и одной серии новых переменных. 2. Новое доказательство теоремы Гамильтона — Якоби. Наши результаты приводят к простому новому доказательству теоремы Гамильтона — Якоби. Мы попытаемся решить заданные канонические дифференциальные уравнения (!), построив каноническое преобразование с функцией Л таким образом, чтобы эта функция обратилась в тождественный нуль, так что две новые канонически сопряженные переменные будут постоянны вдоль каждой траектории. Мы находим эту функцию Л, предполагзя, что нам известно решение У(ип ию..., л„, 1, а,, аш ..., а„) дифференциального уравнения Гамильтона — Якоби в', +1.(в„, и,, в)=0, зависящее не только от независимых переменных, но и от и параметров а,, а,, ..., а„ для которо~о определитель ) А , ! отличен от нуля в рассматриваемой области.
Прн построении канонического преобразования мы выбираем 137 й !О. Канонические преобразования функцию 1(ао а,, з) за йг(ио а„, з) и сразу из формул (5) полу чаем каноническое преобразование дЗ дУ дУ о, = —, а,= — —, Д=б(оо и„, б)+- —. Так как наше дифференциальное уравнение выполняется тождественно по о,=-до/да,, а, и г, то мы действительно имеем А=— .=.О. Новыс канонические дифференциальные уравнения имеют вид а„=О, а,=О, а их решениями являются а = а,.=сопвй а, =/ =д„=сопзй это и есть утверждение теоремы Гамильтона — Якоби. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
