Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 27
Текст из файла (страница 27)
На некоторой вкстремали !,! становится функцией в с производной — = ~~'„~ !28 и, + ~ !2е ие ~й) В силу соотношения однородности, правая часть равна 2 ов!-+ ~й и, ~()„ '=! нз (18') тогда вытекае !, что ль!/еГв = 2Ф!2(лв, и, следовате !ьно, что я®пв =. О. !28 т"я Н. Общая теория уравнен!!а первого порядка степени единица. В силу однородности 9, каноническое преобразование с функцией Н вместо б дает — (;1+ ~г ьвй и =Г;!=Н(рт, и!), (т = 1, 2...,, и) и,=Пр, (19) р', = — Нвр Из дополнительного условия (Е = 1 мы немедленно получаем Н(.l„, и!) = 1, что эквивалентно нашему уравнению (17).
4. Поле экстремалей. Дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби. Вернемся к функции расстояния Л рассмотренной в п. 2. Если мы зафиксируем начальную точку А, то l станет функцией и+1 координат !)„, Г одной лишь конечной точки В и будет удовлетворять дифференциальному уравнению Гамиль|она — Якобп (16); мы предположим, как было подчеркнуто раньше, что конечная точка В может находиться только в области, для которой экстре- мали АВ, а следовательно, и функции поля, заданные формулами (11) и (12), определены однозначно.
Такая область вместе с соответствующим семейством экстремалей называется полая!. Понятие поля н связанной с ннм функции расспгоянил от и+1 переменных, удовлетворяющей уравнению Гамильтона — Якоби, можно теперь расширить, Мы определим геодези гас!сов расстояние не только от фиксированной точки, но и от фиксированной начальной поверхности т(хт, х, ..., х, )=О. Это понятие геодезического расстояния возникает следующим образом. Мы временно считаем фиксированной конечную точку экстремалн В и ищем такую начальную точку А на заданной поверхности Т(х!, хг...,, хя, я) =О, (2)) что геодезическое расстояние l(А, В) остается стационарным, когда варьируется точка А.
Таким образом, в формуле (!5) мы должны положить равными нулю вариации Ьд„, 81 координат конечной точки В, и, так как йи'=О, мы получаем условие я 7,(пг, х! т)3т — ~~'~ я„йх„=О =1 для начальной то !ки А. Это условие должно выполняться всегда, независимо от того, каким именно образом варьируется начальная б 9. Теория Гояильтона — Якоби и вориачионное исчисление 1йй точка на заданной поверхности Т== О, т. е. формула (21) должна быть следствием уравнения (20) или его же в продифференцированном виде л ЙТ= ~е Т„„йх,+Т,бт =О. =1 Это требование эквивалентно следующему условию (так называемому условию тлринсеерсальности, см, т. 1, гл, 1У, э" 5): ( — В):х,=-Т,: Т, (л=1, 2, ..., а), (22) где Е = 1.
(хг, хг, т), или условию (22') где Р=Е'(х! т;, т). Условие трансверсальности является соотношением между координатами точки на поверхности Т = О и производными х,, нлн канонически сопряженными величинами х,, экстре- мали. Экстремаль, удовлетворяющая условиям (22) в точке А, нааывается отрангеерсалью к поверхности Т = О. Если построить трансверсаль в каждой точке такой поверхности, то эти кривые дадут и-параметрическое семейство. Предположим, кроме того, что для каждой точки некоторой области на поверхности Т мы можем построить такую трансверсаль и что семейство этих трансверсалей покрывает некоторую оГ>ласть в пространстве, примыкающую к области на поверхности, илн, лругнми словами, образует поле экстремален, так что через кажлую точку области проходит в точности одна экстремаль, Тогда каждой !очке В этого поля соответствует единственная точка А на поверхности.
В этом поле величины !)! и, в частности, величины д,. для экстремален являются однозначно определенными функциями положения. Величину эйконала между Л и В можно, таким образом, рассматривать как функцию координат ор 1 конечной точки В. Этот эйконал измеряет стационарное геодезическое расстояние от точки В до точек поверхности Т = О, короче — геодезическое расстояние от точки В до этой поверхности. Случай фиксированной начальной точки Л, который мы рассматривали раныпе, есть предельный случай, возникающий тогла, когда начальная поверхность (например, сфера) вырожлается в точку, Как легко видеть, в частном случае подинтегральной функции л В = ~/ 1 + ~~Л„ д„ геодезическое расстояние совпздает с евклидог т= 1 вым расстоянием по прямой.
Здесь поде экстремалей состоит из семейства прямых, ортогональных поверхности Т = О, — специального 1л УЕ Общая теория уравнений первого порядки вила п-параметрического семейства прямых. Таким образом, общее понятие поля экстремалей есть лишь обобщение этого элементарного понятия, ко>да евклидова расстояние заменяется геодезическим расстоянием, определенным нашей вариационной задачей, а прямая лилия между двумя точками — соответствующей экстремалью. Семейство поверхностей з=сопз1 называется семейством паралле >ьнь>х поверхностей на>иеи вариационной задачи.
Согласно ус.човиям трансверсаль>юстн (22), (22'), дчя нашего геодезического расстояния выполняется соотношение (21); следовательно, из формулы (15) мы немедленно получаем для геодезического расстояния от поверхности то же салше соотношение, которое л>ь> получили для фиксированной начальной точки А: (23) Таким образом, мы приходим к следующему общему результату. Если функции >У,=>У,((У>, >Уг,..., (Ую Г) (или Р,=Р,(>У>, У...,, >У„Г)) принадлежат полю зкстремалей, трансверсальному по атно>нению к непрерывно дифференцируемой поверхности Т=О, то в этом поле частные производные геодезического расстояния У=/(д>, >уг, ..., >у„, 1) от поверхности Т=О задок>тся форму.гоми (13) У>=РОу>, >у>, г) — ~~ >у> = — Црр ч> г), => з' =Р =- р, (ч=!, 2, ., п).
Само геодезическое расстояние удовлетворяет дифференциальнол>у уравнению в частных производных Гамильплона — Якоби (уравнению зйконала) (16) У,+ЕО,, д, Г)=О. Это утверждение основано на предположении, что возможно построение соответствующего поля экстремален. Исключительный случай возникает, если сама начальная поверхность порождена трансверсальными к ней экстремачями (еслн она „характеристическая'), т. е. если экстремали целиком 'лежат на начальной поверхности. Однако вполне возможно, что трансверсальные кривые касаются начальной поверхности, но не лежат на ней; тогда они могут служить для построения поля, примыкающего к начальной поверхности с одной стороны.
Начальная поверхность называется тогда каустической поверхностью, н вышеизложенный результат справедлив также и в этом случае. В 9. 7'еврин Гамильтона — Якоби и вирнацивнное исчисление 131 Теперь мы сформулируем теорему, обратную предыдущей. Ес,ги У(дг, ггг, ..., гги, 1) есть решение уравнения (16), то существует поле экстремалей, такое, что входящие в него эйстрелсали трансверсальны по отношению гсо всем поверхностям семейства в'=сопз1, и, в частности, к начальной поверхности в'=О. В этом случае и' являетсн геодезическим расстоянием от начальной поверхности в рассматривпелголг поле экстремалей.
Чтобы доказать эту обратную теорему, мы будем исходить из заланного решеюш в' дифференциального уравнения (16). Введем и величин р„опрелеляющих поле в соответствующей области, с помощью уравнений р,=4,(ч ч ° " ч '). В силу (16), мы имеем Аг= — ~(рг, юг, Г). Теперь мы определим и-параметрическое семейство кривых посредством системы обыкновенных дифференциальных уравнешгй гр(г12п) гле величины р=и (р* Ч ° ° Чю т) г подставлены в правую часть вместо переменных р,. Величины р, являются функциями параметра г на интегральных кривых этой системы дифференциальных уравнений; дифференцирование по этому параметру дает Р.,= Х Уч.е '1,+Ув.г. С лругой стороны, продифференцировав дифференциальное уравнение (16) по д,, мы получаем тождество и У,,+С.,+ ~Е,У,, =6.
ь г и, таким образом, Эти уравнения вместе с уравнениями д„ = Е показывают, что наше семейство кривых является и-параметрическим семейством экстремалей. Если в условии трансверсальиости (22) мы заменим и, па .г„, на ггг, 8 и, наконец, Т на У(дг, Яг, ..., Я„, т), то мы сРазУ увидим, что это семейство экстремалей трансверсально по отношению ко всем поверхностям семейства в'= сопя(. 1З2 Тл. В.
Общая теория уравнений первого порядка 6. Инвариантный интеграл Гяльберта для представления эйконала. Данные выше выражения для производных функции позволяют нам рассматривать сам эйконал как криволинейный интеграл от полного дифференциава, не зависящий от пути интегрирования.
В поле в пространстве ир в мы соединяем точку Л с переменной конечной точкой В произвольной кусочно-гладкой кривой С, заданной функциями и,(в), с параметром в и производными и,'(в). Производные и моменты, относящиеся к точкам поля и соответствующие экстремалям этого поля, являются функциями ир в; мы обозначим их через ир ор как в п. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
