Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 23
Текст из файла (страница 23)
1, $ 4 н б, З 6. Примеры 103 Мы рассматривачи особое решение дифференциального уравнения(19) (см. гл. 1, 9 4, п. 6). Предполагая, чтоУ„У вЂ” У' +О, мы получаем это решение, разрешая уравнения х= — У ° у= У относительно а и Ь и подставляя их в уравнение и = ах+ Ьу+ у (а, Ь); череа координаты касательной плоскости $, т1, ы это решение представляется просто как опорная функция (23) ы = — Г" (Е, т)). Теперь все решения можно легко связать с особым решением.
Заметим, что плоскости, составляющие полный интеграл, совпадают с касательными к особому решению и что характеристики являются линиями касания. Поэтому вся совокупность решений уравнения Клеро состоит из развертывающихся поверхностей, касающихся особого реше ~ив. Таким образом, задачу Коши легко можно решить, выбрав плзскости. касающчеся как начальной кривой, так и особого решения, и построив их огибающую. Можно было бы непосредственно из самого дчфференциального уравнения получить, что конус Монжа в точке Р есть конус с вершиной в точке Р, касающчйся особого решения.
Кроме того, конус Монжа является также интезральны.ч коноидом. 4. Дифференциальное уравчечие трубчатых поверхностей. Поучительный пример дает дифференциальное уравнение трубчатых поверхностей, упомянутое в гл. 1, 9 4: и'(р' + рэ + 1) = 1. (24) Семейство сфер (х — а)'+ (у — Ь)'+ и' =1 (25) есть полный интеграл уравнения (24).
Геометрически очевидно, что характеристики являются большими кругами этих сфер, параллельными оси и. Аналитически это следует из характеристических дифференциальных уравнений гух: иу: Ии: Ир: Йу = иар: итд: (1 — иа) . ~ р 1 ° ( Х1 (2б) из которых мы находим, что д (х + ир) = д (у + и4) = д ~ Р ) = О. Мы сразу получаем уравнения х — а= — ир, у — Ь= — ид, р=су, 1О4 Гя.
//. Обцоя теория уравнений первого порядка б. Соотношение однородности. В качестве последнего примера мы рзссмотрим соотношение однородности (ср. гл. 1, $ 1) рх+г/у=/гсс, (27) где Ь вЂ” постоянная. Интегрируя характеристические дифференциальные уравнения ах: агу: а'и = х: у: йи, (28) мы получаем уравнения и х — „=а и — =Ь. х" У Следовательно, общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения дастся формулой и = хп(т (у/х), где ьт — произвольная функция, или формулой и=упп(у/х), где и — произвольная функция; это значит, что и — однородная функция х и у степени Ь. Другое представление общего решения получается из полного интеграла и ах +Ьу" (29) с помощью уравнений и = ахв+ ш (а) у*, О =х +ш'(а) уп, где а, Ь, с — постоянные интегрирования.
Из этих уравнений и из соотношения (24) мы получаем уравнения (х — а)а+ (у — Ь)Я+ ит = 1 и (х — а)/(у — Ь) =е; таким образом, характеристическими кривыми являготся описанные выше круги. Более того, нз соотношений (х — а): (у — Ь): и = р: г/: ( — 1) слсдует, что нормаль к касательной плоскости в любой точке круга направлена всегда к центру этого круга. Остальные интегральные поверхности являются огибающими одно- параметрических семейств сфер радиуса 1, центр которых передвигается вдоль некоторой кривой на плоскости х, у.
Если кривизна этой кривой, называемой осью трубчатой поверхности, меньше, чем кривизна единичной окружности, то трубчатая поверхность будет действительно иметь форму трубки. Ее характеристические круги тогда не имеют огибающей. Однако они ее имеют, если радиус кривизны оси меньше единицы; тогда опи порождают ребро возврата интегральной поверхности. Эти ребра возврата являются фокальными кривым~ нашего дифференциального уравнения. Проекция такой фокальной кривой на плоскость х, у является эволютой осевой линии нашей „трубки'. Эти соотношения легко сделать наглядными с помощью конкретных примеров или моделей. й 7. Общее уравнение с и переменными 105 Так как из второго уравнения можно выразить и как функцию отношения х/у, мы снова получаем, что и есть общая однородная функция степени Ь.
ф 1. Общее дифферена)иалвное уравнение с п независимыми переменными Теория общего дифференциального уравнения в частных производных первого порядка ди '! р(~! хг ° ° хл " Р! Рг ° Рл)=О (Рг= д ) (1) в случае и независимых переменных аналогична соответствующей теории для и= 2. Поэтому мы не будем повторять ее геометрического обоснования, а выясним в основном роль характеристических полос.
По аналогии с $ 3 мы поставим в соответствие дифференциальному уравнению Г = О систему обыкновенных дифференциальных уравнений л г=! для 2п+ 1 функций хи и, р, параметра в. Система (2) называется характеристической сиспгемой дифференциальных уравнений, соответствующей дифференциальному уравнению (1). Функция Р(хг и, р,) является интегралом этой системы, так как л л — '+ Р '+Р— Π— к; й ки р.,г л для любого решения системы (2). Все решения системы (2), одновременно удовлетворяющие уравнению Р = О, называются характеристическими полосами. Эти полосы образуют (2п — 1)-параметрическое семейство. Кроме того, точно так же, кгк в случае двух переменных, яа каждой интегральной поверхности и(х,, хг, ..., хл) дифференциального уравнения Р=О лежит бесконечно много характеристических полос.
Всякая харакгперистическая полоса, имеющая обгций влемент (т. е. систему значений хр и, р!) с интегральной поверхностью, целиком лежит иа втой интегральной поверхности. Как и в й 3, мы имеем следующую задачу Коши. Пусть (п — 1)- мерное начальное многообразие С задано с помощью непра- 106 Гл. ~. Общая теория уравнений лервого порядка рывно дифференцируемых функций х,, хг, ..., х„и параметров г1, Рг, ..., г,, причем матрица производных дх/дг имеет ранг п — 1. Пусть это многообразие дополнено ло многообразия полос С, за- ДаНИЕМ П ФУНКЦИИ Р,, Рг, ..., Рл ПЗРаМЕтРОВ 11, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ тождественно по 1, условиям полоса л иг = г р, д (я=1, 2...„П вЂ” 1)„ (3) 1=1 Кроме того, пусть величины, определяющие полосу, удовлетворяют уравнению Р(х,, хг, ..., хл, и, рн рг, ..., рл) = О тождественно по гг.
Наши цель состоит в том, чтобы найти интегральное многообразие и=и(х,, х, ..., хл), т. е. решение уравнения Р=О, содержащее заданное началь. ное многообразие Сн Чтобы решить эту задачу, рассмотрим семейство характеристических полос с пзраметром в, начальный элемент которого, соответствующий значению я=О, лежит в заданном начальном многообразии полос С,; иными словами, мы рассмотрим те решения Х1(З ~1 ~г ° °" гл-1)* и(з, г1, аг, ..., („1), р,(з, Е,, 1, характеристической системы дифференциальных уравнений, которые при з= О переходят в заданные функции параметров г .
Если якобиан д(х„хн ..., х„) (4) а(в, г,,гн ..., гл,) ' в силу (2) совпадающий с определителем дх, дхл дг," дг, дх, дхл дгл , ' ' дгл не обращается в нуль на начальном многообразии С, Гт. е. при а=01 и. следовательно, не обращается в нуль в некоторой окрестности С,, то величины з, г1, ..., (л, в этой окрестности могут быть выражены через хп хг...,, х„; подставляя эти выражения в и(з с1 Ха ° ° ° (л-1). В 7, Общее уравнение с л леременмыми 107 получаем однозначно определенную поверхность и = и(хн х,,..., х„), содержащую начальное многообразие Сг Теперь мы должны показать, что эта функция и является решением нашей задачи Коши.
Если подставить решения характеристической системы дифференциальных уравнений вместо хг, и, р, в функцию Р(хр и, рг), то она тождественно обратится в нуль на поверхности и=и(хн хг, ..., х„). Поэтому осталось только показать, что всюду на этой поверхности ди дхг ' Этот факт проверяется так же, как в случае двух независимых переменных (ср. $ 3, п. 2), и здесь мы можем этого не делать.
Остается рассмотреть исключительный случай, когда А=О тождественно на Сг Как и в й 2, из соотношения Ь = О мы можем сделать заключение, что существует (и — 1) функций )ч, )ти ..., ), для которых на С, выполняется равенство Наша цель состоит в том, чтобы найти, при каких дополнительных условиях в этом случае можно решить задачу Коши. Здесь опять положение проясняется с помощью понятия характеристического многообразия, которое мы сейчас введем и будем исследовать. В отличие от квазнлинейного случая (см. й 2), когда характеристическое многообразие С было (и — 1)-мерным многообразием в (н+!)-мерном пространстве х, и, мы теперь должны рассматривать (н — 1)-мерные многообразия полос Сн задаваемые 2и+1 величинами хп и, рр которые можно рассматривать в (2н+1)-мерном пространстве х, и, р.
Каждой точке (2п + !)-мерного пространства х, и, р (или любому элементу поверхности з (н+ 1)-мерном пространстве х, и) мы теперь поставим в соответствие систему 2н + 1 величин (1 = 1,2, ..., а) аг =Рр, у бг = — Р~Рч — Р» у И и а = игр„рр — л„р„а„ ч1 ч 1 ч=1 — компонент характеристического вектора нолосы. Кроме того, мы примем следующее определение: (и — 1)-мерное многообразие полос Сп для которого выполняется соотношение р(хн и, рг)=О, называется характеристическим.
если характеристический вектор колосы касается его в каждой точке. Это геометри- 108 Гя. и. Общая теория уравнений нерво»о норядна и соотношение пояосы — = у» р! д»! ( = 1, 2...., и — 1). ди 'г~ дх! (8) Тогда многообразие полос называется ществует (и — 1) функций Л„(»п»т, . воряются линейные соотношения') л-! Х! ==- а! — ~ Л, ! л-! жт и=а — 1 Л е ! л-! ЯР,.=д,. — ~Л, =1 характеристическим, если су., »л ,), таких, что удовлет- — =О, (9) — =О, ди д»„ (10) — = О.
др! д»., (11) ') Эти (2и+1) соотношений между величинами х», и, р! не являются независимыми, так как легко проверить, что и=.'ь р,х, и, кроме того, л-! л л=! »-! (у 1, 2, ..., л — 1), где ди %ч дх! и = — ~р, д», лй д»„ »=! Отсюда следует, что, кроме условия Р= О, полученного из него соотношения др/д» =О, условий полосы (8) и условий (9), надо предположить выполнение только одного из условий (11), чтобы обеспечить выполнение условий (10) и остальных (и — 1) условий (11).
Однако, как зто часто бывает в геометрии и анализе, из соображений симметрии целесообразно сохранить написанную выше систему зависимых соотношений. ческое определение, основанное на рассмотрении уравнения в (2и+ 1)- мерном пространстве, может быть сформулировано аналитически следующим образом: вектор (ао а, Ь!) должен линейно зависеть от и — 1 независимых векторов дх»!д»,, ди/д»,, др!»д»„(я=1, 2...,, и — 1), которые по определению касаются С,. Пусть для (а — 1)-мерного многообразия С,, заданного функциями х», и, р, параметров »,, », ..., »,, выполняются тождественно по», соотношение »о(х», и, р,.) =О (7) б?.
Общее кривление с ««ереме«ныло 109 Справедливы следующие две теоремы. Всякое характеристическое многообразие иолос С, порождается (и — 2)-мерныл! семейством характеристических полос, целиком лелсащих в Сн Всякая характеристическая полоса, имеюи(ая общий начильный элемент с характеристическим многообразием полос, иеликол! лежит в этом многообразии. Чтобы доказать этн теоремы, мы снова, как в 9 2, определим кривые Е,(з) на (и — 1)-мерном многообразии Е, с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений — ' =Л (Е,, Е!...,, Е„,) (ч=-1, 2, ..., и — 1). (!2) Эти кривые образуют (и — 2)-мерное семейство, порождающее мно!ообразие Ер Вдоль этих кривых можно определить одномерные полосы хЕ(Е,), и(Е,), р,(Е„), лежащие на С,; тюле гюдстановкп Е,=Е,(з) они принимают вид х,(з), и(з), рг(з); теперь мы должны доказать, что эта полоса есть характеристическая полоса нашего исходного дифференциального уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
