Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 22
Текст из файла (страница 22)
гл, 1, 4 3) полный интеграл и.= ах+ !у 1 — азу+Ь (4) и для которого уравнения и = ах + )/! — аа у+и (а), (4') О = х — у+ те' (а) !' 1 — ая дают решение, содержащее произвольную функцию. Два уравнения и = ах + !у 1 — а' » + Ь, О=х — у+с )Р1 — а' и соответствующие им соотношения р = а, ~у = р' 1 — аз определяют семейство характеристических полос, зависящее от трех параметров а, Ь, с; вдоль этих полос мы можем считать х независимой переменной. Характеристические кривые, „световые лучи", являются прямыми, и вдоль каждан из этих линий касательная плоскость остается постоянной.
И характеристические ,зинни, и соответствующие плоскости образуют угол 45* с плоскостью х, у; они У б. Примеры Мы проиллюстрируем только что разработанную теорию несколькими примерами; некоторые из них важны сами по себе. йв Гя. 11, Общая теория уравнений первого порядка определяются этим свойством. Конус Мошка в точке (хо, уо, ио) очевидно имеет вид (х — хо)э+ (у — уо)о = (" ио)э Характеристические дифференциальные уравнения, решения которых определяются из написанных выше соотношений, можно представить в виде г(х: агу: г(и: НР: г(ту = р: 7: 1: О: О; (5) их можно проинтегрировать; мы сразу получаем Р=ро ч=Чо и=в+по "= Ров+хо У = Чов+Уо где начальные условия, соответствующие значению в = О, обозначены чеРез хо Уо* "о Ро г1о Исключая р и д из уравнений Р'+ г)а = 1, у' = ч(р, и' = 17Р, мы получим для функций и(х) и у(х) уравнение Монжа, соответствующее нашему дифференциальному уравнению с частными производными: (б) и = ах -1- )7 1 — а' у+ тв (а), О = х — у+ и'(а), О= — у+щи(а) '), ре(! ае)з (7) Этими фокальными кривыми можно воспользоваться для того, чтобы охарактеризовать решения э) дифференциального уравнения (1) как развертывающиеся касательные поверхности с ребром возврата, которое является фокальной кривой, т.
е. кривой, касательные к которой образуют угол 45' с плоскостью х, у. ') Проверка этого представления с помощью прямых вычислений предлагается как упражнение. ') За исключением плоскостей (4) и интегральных кокандов, т. е, прямых круговых конусов, образующие которых наклонены к плоскости х, у под углом 45'. Его решения — зто такие кривые, касательные к которым в любой точке образуют угол 45' с пяоскостью х, у, Эти фональные или „каустические" кривые (которые являются звольвентами кривых и=сопя!) можно следующим образом выразить без использования интегралов через произвольную функцию ш(а): й б.
Принеры Решения уравнения (1) имеют еще одно важное геометрическое истолкование. Рассмотрим семейство кривых и (х, у) = с = сопв1 на плоскости х. у. Мы утверждаем, что значение функции и(х, у) е лн бой точке плоскости равно расстоянию от втой точки до кривой и(х, у) =О. Кривые и (х, у) = е параллельны кривой и(х, у) = О и отстоят от нее на расстояние с; ортогональными траекториями к этому семейству кривых являются прямые (а именно проекции наших характеристических кривых), а огибающая этих прямых, общая эволюта кривых и =сопз1, является проекцией ребра возврата, т. е.
фокальной кривой. Этот факт можно доказать, например, разрешая задачу Коши, поставленную для начальной кривой О (ха, уа) = О, на которой задано начальное условие и = О. Чтобы построить решение, мы рассмотрим характеристики, проходящие через каждую точку (ха. уз) начальной кривой, а именно прямые х=раз+хм у=ива+уа, и = з. Так как рг ~ча е представляет собой расстояние от точки (х, у) до точки (хв, уэ) на проекции этой прямой. Чтобы определить ра и оа, мы заметим, что если считать х, независимой переменной вдоль начальной кривой, то мы получим йиа)йх„=- р„+кайуа/йхе.
Следовательно, это уравнение и начальное условие 6,+ 0г, йу,)йха = О дают райю — дчб„, = О. Таким образом, проекция упомянутой выше характеристической линии ортогопальна к начальной кривой Действительно, тогда и является — по крайней мере, в достаточно малой окрестности начачьной кривой— расстоянием от точки (х, у) ло кривой 0 (ха, уо). Из этих замечаний сразу следует, что любая кривая и = сопз1 снова ортогональна нашей прямой. Доказательство будет иметь несколько другой внд, если мы начнем со следующей задачи: найти ортогональные траектории к данным кривым и = сопя(. Этн траектории задаются системой обыкновенных дифференциальных уравнений йх йу (8) Возводя в квадрат и складывая, получаем таким образом, мы видим, что е представляет длину дуги на траектории. Дифференцируя первое из дифференциальных уравнений (8) по е и снова используя эти уравнения, получим йахГйеа= и и„+ и и .
1бб Гл. !б Оби(ая теория уровненпй первого порядка 2. Уравнение Р(и„, и )=О. Теперь мы рассмотрим дифференциальное уравнение ') РО=-, (Р= и„Ч= и,). 1 (1 О) Эквивалентное уравнение Монжа для у(х) и и(х) имеет вид и' =2у'. (1 1) Полный интеграл, содержащий все поверхностные элементы для нашего дифференциального уравнения, опредеяяется формулой 1 и = ах+ 2а у+О' которая дает семейство решеннй 1 и = ах+ — у+ ш (а), 2а 1 О = х — —, у+ ш'(а), (13) зависящее от произвольной функции тв(а). Наконец, если мы добавим уравнение О= — ', у+пГ(), (13') то мы получим не содержащее интегралов представление фокальных кривых через произвольную функцито е.
') С помощью преобразования координат (вращения) м = и, =(х — у)т' 2, $=(х+у)/)Г2 зто уравнение можно свести к уразненню яп — м = 1 для функции м(с, т); зто уравнение можно изучать способом, г аналогичным использованному выше. Правая часть тождественно равна нулю, в чем можно убедиться, дифференцируя уравнение в частных производных (1) по х. Лнаяогнчно мы получаем е(ау(агат = О, откуда видно, что траектории являются прямыми. В случае трех независимых переменных тот же самый метод показывает, что решения дифференциального уравнения (2) задаются семейством равноотстоящих друг от друга поверхностей и (х, у, л) = сопл!, параллельных произвольной начальной поверхности 0(х, у, а) =О.
Этв поверхности имеют прямолинейные ортогональные траектории, н часть этих прямых, находящаяся между поверхностями ия— я с, и и=сю имеет постоянную длину с,— се; сама величина и есть расстояние от точки (х, у, л) до начальной поверхности. Э о. Примеры 1О1 Множество всех характеристик задается уравнениями и=ах+ — у+Ь, 1 2а 1 О=х — —,у+с 2а' Таким образом, характеристики снова являются прямыми и соответствую!цие касательные плоскости постоянны вдоль всей линии.
Поэтому уравнения характеристик таковы: У = — х + Уо, и = — х + ио. ро 1 чо чо (15) Наконец, мы решим задачу Коши для начальных значений и (О, уо) = ио = и (уо), которые мы считаем заданными произвольным образом. Мы сразу получаем Ч(О уо) =о (уо) 1 р(О, уо) 2о (уо) Таким образом, уравнения 1 и=.,„) х-(-.(уо), 1 У 2 ( у ) х + У (16) дают решение задачи Коши, если выразить уо через х и у из вто- рого уравнения и подставить в первое. Сравнение с решением и = 2ах+ аш'(а)+ гв(а), у = 2атх+ 2аош'(а), полученным из формул (13), показывает, что зти решения можно следующим образом преобразовать одно в другое. Мы введем новый параметр уо вместо а при помощи уравнения уо = 2а~я'(а), а затем получим новую функцию п(уо), определенную уравнением о(уо) = (атв(а) )' = аю'(а)+та(а).
В силу соотношений м' ' — — 2а (2ю' (а)+ атал(а)) = 2а (атв (а) )", о (Уо)= = — (аш(а)) ио (Уо) м аа 1 ауо иуо 2а ' лвз эти представления решения переходят одно в другое. с тремя параметрами а, Ь, с и независимой переменной х. Характеристические уравнения имеют вид е(х: г!у: е!и: е(р: Ау = д: р: 1: О; О. (14) 102 Рж Гд Общая теория уравкгпай первого порядка Оба предыдущих примера являются частными случаями общего дифференциального уравнения в частных производных Р(и„, и )=О, (17) для которого справедливы аналогичные соотношения. Из характеристических уравнений г(х: бУ: г(и: бР; йт) = Рр . Р,: (РГ, + т)Р,); О: О (18) мы, как и выше, видим, что характеристические полосы состоят из прямых линий с одной только соответствующей касательной плоскостью, и в результате решения оказываются развертывающимися поверхностями.
Это становится еще более ясным, если мы заметим, что можно построить полный интеграл, состоящий целиком из плоскостей. Для этого мы предположим, что уравнению Г(р, д) = О удовлетворяют две функции параметра а: р(а) и д(а). Мы получаем полный интеграл и = р (а) х+д (а) у+ б, состоящий целиком из плоскостей. 3. Дифференциальное уравнение Клеро '), Мы снова рассмотрим дифференциальное уразнепие Клеро и=хи +уи +7(ит, и ). В гл. 1, $4 мы нашли семейство плоскостей и = ах+ду+7(а, б), (20) которое является полным интегралом. Решения, полученные из полного интеграла с помощью образования огибающих, даются формулами и = ах + то (а) у+ 7 (и, то (и) ), О = х+ ю' (а) у+ Уа + Увш ' (21) эти решения представляют развертывающиеся поверхности.
Таким же способом мы устаназлнваеи, что все интегральные поверхности, порождаемые семействами характеристик, являются развертывающимися; из характеристических уравнений ггх: г(у: г(и: г(р: йу = =(х+,гр): (у+ Р ): (рх+оу+рР +г))д): О: О (22) мы, как и выше, заключаем (см. п. 1, 2), что характеристические полосы состоят из прямых линий с одной только соответствующей касательной плоскостью. ') См. гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
