Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Но если С вЂ” характеристическая кривая, то через нее проходит не только одна, а бесконечно много интегральных поверхностей. Рассмотрим другую кривую С', которая проходит через произвольную точку кривой С и для которой якобиан А не обращается в нуль; тогда интегральная поверхность, проходящая через С', обязательно содерткит характеристику С, Таким образом, множество решений задачи Коши для кривой С определяется множеством кривых С'. Все интегральные поверхности, проходяшне через кривые этого множества, содержат кривую С. Следовательно, характеристические кривые являются линиями пересечения интегральных поверхностей — линиями ') Аналогичные теоремы с доказательствами см.
в гл. 7, й 6, ') Случай, когда Д обратцается в нуль в нзолнрованнык точках н на других собственных подмножествах С,здесь не рассматрявается. См, Лере Н ). В 1. Квазияинейные уравнения с двумя переменными 75 ветвления, — тогда как через нехарзктеристическую кривую не может проходить более одной интегральной поверхности. Следующая теорема резюмирует предыдущие результаты. Если й чь О всюду на начальной кривой С, то задача Коши имеет одно и только одно решение'). Если оке О=О всюду на С, то задача Коши неразрешима, когда С не является характеристической; в противном случае задача имеет бесконечно много решений. Заметим, что решениями задачи Коши являются только те решения уравнения (1), которые проходят через С и которые в некоторой окрестности С, а следовательно, и на кривой С, непрерывно дифференцнруемы.
Без предположения о непрерывной дпфференцируемости функции и вдояь С мы не можем из равенства О=О сделать вывод, что С вЂ” характеристическая кривая. Действительно, могут быть решения дифференциального уравнения, которые проходят через нехарактеристическую кривую С и для которых й=О. Однако производные функции и на С тогда уже не могут быть непрерывными. В таких случаях С может быть ребром возврата (огибающей характеристических кривых) интегральной поверхности и (х, у); во всяком случае, проекция Сь кривой С есть огибающая проекций характеристических кривых.
В окрестности кривой С функция и уже не может быть задана как однозначная функция х и у. 3. Примеры. 1) Чтобы проиллюстрировать наши результаты, рассмотрим дифференциальное уравнение ии +и =1 (4) (частный случай примера 5 в гл. 1, й 1). Соответствующие дифференциальные уравнения характеристик имеют вид их йу ди — =и, — =1, — =1; (5) дг дз дз ') Песнолько громоздкая формулировка теоремы существования, где перечислены все предположения, такова: пусть Оь — область плоскости х, у, Π— область пространства х, у, и, полученная из О, добавлением координаты и, причем (и1 < У.
Пусть а, Ь, е — непрерывно дифференцируемые функции от х, у, и в О, а х(г), у(8), и(г) — непрерывно дифференцируемые функции г для ~ г ( < Т, определяющие кривую С в О с простой проекцией Оь з Оь, и такие, что хг+ у, *Д О. Предположим, что Л = ау, — Ьх, + О иа С. 2 с Тогда существует подобласть Оз области Ое, содержащая Сг, в которой определена непрерывно дифференцируемая функция и(х, у), удовлетворяющая дифференциальному уравнению аи +Ьи с в Оь и начальным условиям и(х(г), у(г)) и(г) на Сь.
Эта функция определяется единственным образом. 76 Гя. !!. Общая георая уравнений первого порядка их решение вв х=х„+ ир+ —, у=у +3 а = ио+ а, где ха, у,, иа — произвольные постоянные интегрирования. В частности, семейство характеристических кривых, пересекающих заданную начальную кривую С: хо = Ф (!) уо = Ф (!) аа = Х (!) задается формулами ве х(а, !)=Ф(!)+ Х(!)+ 2, у(ж !)=Ф(!)+-я, а(в, !) =у(!)+ж (6) Определитель й(Я !)=х Уг «еу =в(фг Хг)+Хфг 9г на кривой С принимает значение й = й (О !) = Хфг — Фа (7) и = у+ х (!) Ф (!) х = Ф (!) + Х (!) (У вЂ” ф (!) ) +— (у — ф (!) )', из второго уравнения можно получить ! как функцию х и у, если выражение Х) =Ф вЂ” ХФ+(У вЂ” Ф(!))(Х вЂ” Ф) отлично от нуля.
Когда мы приближаемся к кривой С, мы имеем у — ф(!) — ь О; так как чг, — уф, чь О, существует такая окрестность кривой С, что в ней 7г чь О и, следовательно, ! = ! (х, у) и и = и(х, у). Если в качестве С мы возьмем харанргерисагину ! а хо= 2 1~ Уа=! ио=! (8) то уравнения (6) перейдут в уравнения х = — (а-+ !)а, у = в+ 1, и = а+ ! 1 Если этот определитель Ь не обращается в нуль на С, то из уравнений (6) можно исключить параметры я и ! и выразить и как функцию х и у. Действительно, из уравнений (6) следует, что 4 К Кеаяияанейные уравнения с двумя нереяеннььча 77 (г.
е. снова получится выражение для той же самой дуги С); это не дает выражения для решения уравнения (4). Чтобы решить задачу Коши для такой кривой С, мы заметим, что решение уравнения (4) неявно задается уравнением 1 г х =,— и'+ ю (и — у) с произвольной функцией ш. Если мы выберем го так, что ю(О) = О, и так, что функцию и можно однозначно определить из уравнения (9), то все соответствующие интегральные поверхности и = и(х, у) будут проходить через кривую С. Наконец, пусть С вЂ” нехарактеристическая кривая хо=г уо=2г ио=г.
Система (б) переходит в систему вг х= 2 + г+гг, у=в+ 2г, и=в (11) (1О) Определитель а(в, 1) = в обращается в нуль прн в =О, хотя С не характеристика. Исключая в н 1, мы получим а(х, у)= — — ч- х — —, У У 2 1 (12) есть цилиндрическая поверхность, перпендикулярная плоскости х, у. Если мы предположим, что у,и, — и,у,гь О иа С, то х можно выразить как функцию у и и. Мы покажем, что х = у'(у, и) не зависит от и. Сначала мы замечаем, что для линейных дифференциальных уравнении соотношение л, — (а„+ дв) б т. е. две поверхности, проходящие через С я удовлетворяющие уравнению (4) при х ) угг4.
Формулы (!2) не дают решения задачи Коши, так как производные и„и и неограничены при приближении к С. Кривая С не является ребром возврата поверхности и = и(х,у); однако, она является особой кривой на поверхности в том смысле, что в окрестности проекции С на плоскость х, у функция и неоднозначна. 2) В случае линейного дифференциального уравнения (1), когда функции а, д, с не зависят явно от и, обращение а в нуль влоль нехарактеристическоп кривой означает, как мы увидим, что многообразие, определяемое системой уравнении х = х (в, Р), у = у (в, 1), и = и (в, (), 7В Га. П, Общая теория Краоиеиад первого порядка для определителя Ь следует из (2'), так что Ь обращается в нуль всюду, если он равен нулю на С, Лалее, из соотношений х,=у у«+~ли,, х, =У,у«+у-„и« непосредственно вытекает, что Ь = Гл (и,У« — и,У,); следовательно.
У„=О, т. е. х= Г(у), ф 2. Квазилинейные ди«р4еренциальные уравнении с и независимыми переменными Для и независимых переменных х,, х, ..., х, при а ) 2 в теории нет никаких существенных изменений; однако здесь мы должны рассматривать не только одномерные характеристические нривые и и-мерные интегральные поверхности, но также и (и — 1)-мерные характеристические многообразия С.
Интегральную поверхность можно построить либо из (и — 1)-параметрического семейства характеристических кривых, либо из однопараметрического семейства (п — 1)- мерных характеристических многообразий, каждое из которых в свою очередь порождается (л — 2)-параметрическим семейством характеристических кривых '). Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение л 2ц а«и,= а, (1) «=т где коэффициенты а«и а — заданные функции переменных х,, х, ... хл, и, имеющие непрерывные производные и такие, что л чп аз + О. Геометрически уравнение (1) означает, что в каждой точке «1 пространства х, и на поверхности и= а(х,, х,, х„) „характеристическое направление" «(х««««ха: ...: ««х„: ««и=а,: а: ...; ал: а является касательным к поверхности. Тзк же, как в случае двух независимых переменных, мы пользуемся следующим определением характеристических кривых: п-параметрическое семейство кривых в пространстве х, и, заданное системой обыкновенных дифференциальных уравнений — =а, — — =а (1=1, 2, ..., «гх, ии (2) «гг " аз ') Можно также определить промежуточные (и — 2)-мерные хзрактернс.
тнческие многообразия н т. дд однако они не будут играть никакой роли в дальнейших рассуждениях. Э 2 Квиэющявйяые уравнения с л иерем иными 79 называется семейсгпвом характеристических кривых, соответствующим дифференциальному уравнению; проекция характеристики в пространство х называется проекцией характеристической гривой. Характеристические кривые в пространстве х, и определяются упавнеииямн (2) независимо от решения уравнения в частных производных (1) '). Сяязь между характеристическими кривыми и интегральными поверхностями устанавливается следующей теоремой. На любой интегральной поверхности и=и(хы х,, ..., х„) дифференциального уравнения в частных производных существует (и — 1)-параметрическое семейство характеристических кривых, порождающее эту интегральную поверхность.
Обратно, л!абая поверхность и= и(х,, хг, ..., х„), порожденная таким селгейсп!во.и, есть интегральния поверхность. Более того, если харагстеристическая кривая имеет общую точку с интегральной поверхностью, то она целином лежит на этой поверхности. Чтобы доказать первое утверждение, рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений йхуаэ = а! (1= — 1, 2, ..., и), где в правые части вместо и подставлено решение и(х,, ха хя). Эта система ка интегральной поверхности определяет (и -- 1)-параметрическое семейство кривых, порождающее эту поверхность.
Вдоль каждой кривой этого семейства и является функцией параметра э на кривой, и мы получаем ей! 'Г йх! Ъ ! г=! С.тедовательно, так как и удовлетворяет дифференциальному уравнению, мы имеем ди(дэ=-и. Поэтому такая кривая является характеристической. Так же как в й 1, второе утверждение непосредственно следует из определения характеристических кривых, а третье — из егинствеиности характеристической кривой, проходящей через данную точку. ') То, что система и+1 характеристических уравнений (2) определяет только и-параметрическое семейство кривых, объясняется присутствием несущественной аддитивной постоянной интегрирования вараметра в (э не входит явно в (2) ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
