Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 16
Текст из файла (страница 16)
2). Таким образом, первая часть нашей теоремы доказана. Предположим теперь, что а — Ь чь 0 при х =- О (а слеловательно, и в окрестности оси у). Тогда иа равенства (4) мы получаем выра>кение (5) иу >н которое однозначно определяет и для любого и. ') Если система (3) эллиптическая и эквивалентность понимается в несколько более широком смысле, то можно показать, что всегда существует .эквивалентное уравнение в>араго порядка для одной только Функции, и наоборот.
7О Приложение» х гл. l Но если бы все и, удовлетворяющие системе (3), удовлетворяли одному и тому же дифференциальному уравнению второго порядка, то функции и, а в силу равенства (5) также и о, однозначно определялись бы начальными данными и(О, у) и и (О, у); однако это противоречит результату, ранее полученному в этом пункте '). Наконец, мы рассмотрим случай, когда система (2) может быть записана в виде о„= р(л, у, и, о, р, д), о = О (х, у, и, о, р, (/), (6) где г» и Π— аналитические функции своих аргументов и где, кроме того, дО/др -р О, Вычисляя о из обоих уравнений, мы получим Ори»»+ (Ор — Ре) и»у — Геи у+ Оир Ре//+ Это равенство является уравнением второго порядка относительно функции и, если выражения Π— РλР— Реа-/- ΄— Р ~- ΄Р— Р,О не зависит от о.
Обратно, можно показать, что дифференциальное уравнение второго порядка для и, эквивалентное системе (6), суще- ствует тогда н только тогда, когда вырзжения (7) не зависят от о. 1) Заметим, что эта теорема справедлива также, если А и В ие являются линейными функциями и, и„, ию Если, кроме того, коэффициенты а и Ь также зависят от и, и = р, и„=//, то вместо ат — — — Ь» мы имеем следующие условия, при которых сведение к одному уравнению возможно: ае —— Ьр — — О, ар — — Ь, а„+а»а= Ь„+Ь„р.
Глава г'г ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЪ|Х УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЬ|МИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА "1тобы строить решения дифференциальных уравнений в частных производных с помощью степенных рядов, требуется очень сильное ограничение; данные задачи должны быть аналитическими (см. гл, 1, В 7, п. 4). Это исключает многие задачи, заслуживающие рассмотрения. Однзко для дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка можно построить более прямую и полную теорию интегрирования при очень слабых предполоькениях относительно непрерывности и дифференцируемости.
Главным результатом этой главы является установление впвивалентноспги между дифференииальным уравнением с частными производными первого порядка и некоторой системой обыгсновенных дифференг(иальных уравнений '). Ключом к этой теории является понятие характеристики, которое будет играть решающую роль также для уравнений более высокого порядка, Заметим, что здесь опять все встречающиеся производные будут предполагаться непрерывными, если специально не оговорено противное. Следует снова подчеркнуть, что все утверждения и выводы надо понимать „в малом", т.
е. они касаются только некоторых окрестностей точек, причем, каких именно окрестностей — не все~да точно оговаривается г). р А Геометрическая теория квазилинейных дифференг|иальных уравнений с двумя независимыми переменными 1. Характеристические кривые. Мы вкратце напомним то, что было сказано о квазилинейных дифференциальных уравнениях в гл.
1, ~ Ги Сначала мы рассмотрим уравнение с двумя независимыми переменными х, у: аих+дгг =с, ') См. также Каратеодори (1). ') Одно исключение будег указано в приложении 2, касающемся теории законов сохранения. ?2 Гл. ?/, Общая теория уравнений первого порядка где а, Ь, с — заданные функции от х, у, и. которые в рассматриваемой области непрерывны вместе со своими производными первого порядка и удовлетворяют условию аа+Ьг+ О. Это дифференциальное урзвнение в частных производных можно геометрически нстолковагь следующим образом. Интегральная поверхность а(х, у) э~ого уравнения в точке Р:(х, у, и) должна иметь касательную плоскость, компоненты нормали к которой ил= р, и =д, — 1 связаны линейным уравнением ар+Ьд= с. В силу этого у уравнения касательные плоскости ко всем интегральным поверхностям, проходящим через точку (х, у, и), принадлежат пучку плоскостей, ось которого задается соотношениями ах: с(у: а'и = а: Ь: с (2) в точке Р; эти пучки и их оси называются пучками Монжа и осями Монжа '), Точка Р вместе с нзправлением оси Монжз, проходящей через Р, называется характеристическим линейным элементом.
Направления осей Монжа образуют поле направлений в пространстве х, у, и; интегральные кривые, соответствующие этому полю направлений, определяются системой обыкновенных дифференциальных уравнений (2) и называются характеристическими кривыми нашего уравнения в частных производных.
Если мы введем параметр э, изменяющийся вдоль характеристической кривой, то лнфференциальные уравнения примут вид ах йу йи — =а, — „=Ь, — =с. йэ (2') Г1роекции характеристических кривых на плоскость х, у называются „проекциями характеристик". Проинтегрировать дифференциальное уравнение в частных производных (1) — это значит найти такие поверхности, касательные плоскости к которым в каждой точке входят в соответствующий пучок Монжа, или, другими словами, поверхности, которые в каждой точке касаются оси Монжа. Таким образом, мы видим, что любая поверхность и(х, у), составленная иэ однопараметрического семейства характеристических кривых, есть интегральная поверхность уравнения в частных производных.
Обратно, подая интегральная поверхность и(х, у) порождается некоторым однопараметрическим сельейством характеристических кривых. Последнее утверзгденне легко проверить. На любой интегральной поверхности и(х, у) дифференциального уравнения (1) можно задать одно- ') Ср. стр. 35. С 1 Кяазияинейньче уравнения с двумя переменными параметрическое семейство кривых х х(з), у=у(з), и=и(х(е), у(з)) с помощью дифференциальных уравнений йх а'у — =а, — =д, дч где вместо и в а и Ь надо поставить функцию и(х, у). Вдоль такой кривой дифференциальное уравнение (!) равносильно утверждению, что би)йэ = с. Таким образом, наше однопараметрическое семейство удовлетворяет соотношениям (2') и, следовательно, состоит из характеристических кривых, Заметим, что параметр з явно не входит в дифференциальные уравнения, так что если заменить з на в+сопя(, то мы получим те же самые интегральные кривые.
В этом смысле можно считать, что произвольная аддитивная постоянная, входящая в параметр, не является существенной, Так как решения системы дифференциальных уравнений (2') однозначно определяются начальными значениями х, у, и при з=О, мы получаем следующую теорему. Любая характеристическая кривая, имеющая общую точку с интегральной поверхностью, целиком лежит на этой интегрильной поверхности. Кроме того, любая интегральная поверхность порождается однопораметрическим семейством характеристических кривых.
2. Задача Коши. Мы получаем все многообразие решений дифференциального уравнения в частных производных, исходя из задачи Коши. Определим пространственную кривую С, задав х, у, и как функции параметра у, такие, что ха+у',пьО и С имеет простую') проекцию Сь на плоскость х, у. В окрестности проекции Са мы теперь будем искзть интегральную поверхность и(х, у), проходящую через кривую С, т. е. решение уравнения (!), для которого и(Ю) =и(х(Г), у(!)) тождественно по !. Данные задачи, т. е. коэффициенты дифференциального уравнения и начальные функции х(!), у(Р), и(г) должны быть только непрерывно дифференцируемы в рассматриваемой области; они не обязательно должны быть аналитическими.
Чтобы решить задачу Коши, мы через каждую точку кривой С проведем характеристику, т. е. интегральную кривую системы дифференциальных уравнений (2'); это можно сделать, причем единственным образом, в некоторой окрестности. Мы получим семейство характеристических кривых х=х(з, 1), у=у(з, !), и=и(з, !), зависящее от параметра !.
') Если бы проекция Сь кривой С иа плоскость х, у, или сама кривая С имели двойные точки, то мы пришли бы к интегральным поверхностям с самопересеченнями. 74 Тл. Сс Общая теория уравнений яервоео нарядно Ес.ш из первых двух уравнений мы можем выразить в н через х и у, то эти кривые порождают поверхность тт(х, у), )тля этого достаточно, чтобы на кривой С не обращался в нуль якобиан б = х,ут — у,х, = ау, — Ьхо Г3десь мы пользуемся хорошо известной теоремой из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, согласно которой х, у, а являются непрерывно днффсренцируемыми функциями в н ~.]') Если на С выполняется условие б эь О, то и является функцией йи х и у; третье дифференциальное уравнение — =с тогда эквнвайе лентно заданному дифференциальному уравнению в частных произйи водных, так как — = аи +Ьи .
Таким обризом, задича Котии дя ' У для начальной кривой С решена. Единственность решения сразу слелует из теоремы п. 1, которая утверждает, что характеристическая кривая, иметошая одну общую точку с интегральной поверхностью, целиком лежит на этой поверхности. Это значит, что любое решение, проходящее через С, целиком содержит однопараметрическое семейство характеристик, проходящих через С, и, следовательно, совпадает с и.
Усетовтте, что й чь О на С, допускает следуюшую геометрическую интерпретацию. В любой точке кривой С касательное и характеристическое направления должны иметь различные проекции на плоскость х, у. Если задача Коши имеет решение и всюду на кривой С выполняется исключительное равенство А = О, то сама кривая С является характеристической '), так как в этом случае параметр Ь на кривой можно выбрать так, что вдоль этой кривой а = дх)ат, Ь = буфа. Далее, из дифференциального уравнения вытекает, что с =- ди(Л; следовательно, С действительно является характеристической кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
