Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 19
Текст из файла (страница 19)
е. к достаточно малой части полости конуса. В целом конус Монжа может состоять нз отдельных полостей '). ) Такой конус Монжа задается дифференциальным уравнением в каждой точке (х, у, и) рассматриваемой области пространства. Задача интегрирования этого уравнения состоит в отыскании поверхностей, которые в каждой точке касаются соответствующего конуса. Мы можем представлять конусы Монжа также с помощью соотношения, задающего их образующие, а не с помощью соотношения г' = О, задающего их касательные плоскости.
Чтобы сделать это аналитическим путем, мы сначала задаем конус Монжа с =0 параметрически, считая р и г) функциями параметра Л. Образующая конуса является тогда пределом линий пересечения касательных плоскостей, соответствующих значениям параметра Л и Л+1ц при я-нО. Если мы будем рассматривать координаты х, у, и вдоль фиксированной ') В гл. Н и Н1 иы проведем более подробное исследование конуса Монжа .в целом".
Рассуждения этого параграфа относятся тоя ко к достаточно малой области изменения р, д, т. е. к такой части полости конуса в пределах которой г) может быть выражено как однозначная днфференцпруемая функция от р. б 3. Обьиьье ттиффереяь)паььяме уравнения с дария переменными 85 образующей как функции расстояния а от вершины конуса, то мы легко получим уравнения ьь'и их й'у -- р(л) +ч(л) Па Па па 0 = р (Л) -"„'. +д (Л) ф. Дифференцируя соотношение Р=О по Л, мы находим р' р'(Л)+та ьт'(Л) =0; отсюда следует соотношение тах ь т(у ь тТи = Уа~ ь Р~ ь (рГ„+ дР ), Р) которое выполняется на образующих конуса.
Мы можем считать, что это соотношение является представлением конуса Монжа, двойственным по отношению к представлению с помощью дифференциального уравнения (1). Направления образующих конуса Монжа называются хириипьерисгпическими направлениями. В то время как в случае квази- линейного уравнения каждой точке в пространстве соответствует только одно характеристическое направление, здесь мы в каждой точке имеем однопараметрическое семейство характеристических направлений. Пространственные кривые, имеющие в каькдой точке характеристическое направление, называются фоиильными кривыми, или кривыми Л)онжа. Условия (2) для фокальных кривых мы можем записать в виде — =- те, — = — Г, — = рт'а + ТР, их пу ыи па р' Па а' из р (3) введя вдоль этих кривых соответствующий параметр з.
Третье из этих дифференциальных уравнений называется условием полосы. Оно означает, что фуьькцьььь х (з), у (з), и(з), р (з), ь) (з) определяют не только пространственную кривую, но и плоскость, касающуюся ее в каждой точке. Конфигурация, состоящая из'кривой и семейства касающихся ее плоскостей, называется по ьоаой. Эта систеьш трех обыкновенных дифференциальных уравнений (3) и соотношение Р(х, у, и, р, ф)=0 для пяти функций х, у, и, р, д аргумента з составляют недоопределвипую систему. Каждое решение такой системы лает так называемую фекальную полосу'). ') Четыре условия, которым удовлетворает фокальнаа полоса, превращаются в определенную систему, если мы зададим дополнительное произвольное соотношение между х, у, и, т.
е. если мы потребуем, чтобы фекальная кривая лежала на заранее заданной поверхности. (Однако потоса.ие обязательно должна быть касательной к поверхности.) Таким образом, становится ясно, что, вообще говоря, суьцествует однопараметрическое семейство фекальных кривых на заданной поверхности.
86 Гл. 11. Общая теория уравнений первого порядка В основе нашей теории лежит следующее рассуждение, которое позволяет выделить фзкальные полосы, входящ те в интегральные поверхности и называемые характеристическими полосами. На любой интегральной поверхности и(х, у) должны лежать фзкальные кривые, так как в каждой своей точке интегральная поверхность касается конуса Монжа и, следовательно, содержит характеристическое направление. Поле, образованное этими характеристическими направлениями, позволяет найти соответствуюшие фокальные кривые как интегральные кривые этого поля на интегральной поверхности. Требование, чтобы фокальная кривая включалась ') в интегральную поверхность и(х, у), приводит к двум дополнительным обыкновенным дифференциальным уравнениям для величин р и г) как функций з; это мы теперь н покажем.
Чтобы найти указанные дифференциальные уравнения для заданной интегральной поверхности и =- и(х, у), на которой величины Р и г) тоже можно рассматривать как заданные функции х и у, мы заметим, что дифференциальные уравнения — =Р, — =Р йх йу йе Р' йе е определяют на поверхности одноиараметрическое семейство кривых, вдоль которых выполняется соотношение йи их йу — =и — — +и— йе я йе т йз и, следовательно, йи —,1 —, = РРр+ )Ро. Таким образом, наши кривые образуют семейство кривых Монжа и порождают интегральную поверхность. Дифф ренцируя урзвнение в частных производных сначала ио х, а затем во у, мы получаем соотношения Р,Р.+ Р,(1,+ Р.Р+ Р. = О, Рррт+ Рог)т+ Риг) + Р„= О, которые являются тождествами на нашей поверхности. Так как Рр -— — атхтиз, Ре = г(У1из, Рт — — г)„, то мы видим, что дла кРивых Моижа, заданных функциями параметра з, эти два уравнения переходят в соотношения — + Р,р+ Р„= О, — + Р„т)+ Р = О.
') Здесь включение означает, что и есть однозначная дважды непрерывно днффереицируемая функция х и у в окрестности вроекцин фокальиой кривой на плоскость х, у, И 3. Общие диф4еренциальньье уравнения с двумя аеременкьыш 87 Таким образом, если кривая Монжа включена в интегральную поверхность, то координаты х, у. и ее точек и величины р и а вдоль втой кривой удовлетворяют системе пяти обыкновенных дифференциальных уравнений их йу йи — =Р, — =Р, —.=РР +7Р, ие а йя е нл л е (4) — (р!'а+ р„), й, — (црь+Р„).
Эта система называется характеристической системой дифференциальных уравнений, соответствующей уравнению (1). Теперь мы будем проводить рассуигдения в обратном порядке, оставляя без внимания тот факт, что эта система обыкновенных дифференциальных уравнений была получена при рассмотрении неко- тороП заданноИ интегральной поверхности; вместо этого мы воспользуемся этой системой как исходной, не обращаясь к решениям уравнения (!). Так как имеется несущественная адаптивная постоянная, входящая в параметр в, эта система определяет четырехпараметрическое семейство кривых х(в), у(в), и(з) вместе с соответствующими касательными плоскостями р(в), ь)(в), т.
е. семейство полос. Заметим, что функций р является интегралом') нашей характеристической системы дифференциальных уравнений. Другими словами, вдоль любого решения этой системы Г принимает постоянное аначение, Действительно, для этого решения выполняется соотношение и, в силу характеристической системы дифференциальных урзвнениИ, выражение, стоящее в правой части, тождественно по в равно нулю.
Теперь ыы выделим из нашего четырехпараметрического семейства решений характеристической системы дифференциальных уравнений трехпараметрическое семеИство, пользуясь тем условием, что вдоль этих решений функция Г должна принимать значение нуль, как того требует исходное дифференциальное уравнениег). Любое ') Термин ,интеграл' здесь не надо путать с .интегралом' в смысле решения. Поа интегралом В(хь х,, ..., х ) мы понимаем функцию независимых переменных хи которая принимает постоянное значение вдоль кзмгдой кривой х,(е), удовлетворяющей системе ихг — =аг(х„хг..., ха) (1= 1, 2, ..., а).
йе ') Без этого ограничения иы вынуждены были бы оаковреиенно рассматривать целое семейство дифференциальных уравнений Р сопзг. 88 Рл. . Общая теория уравнений первого порядьа решение характеристической системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее также уравнению р=-О, мы будем называть „характеристической полосой"; пространственная кривая х(з),у(з), и(з), несущан зту полосу, называется характеристической кривой. Как и для квазилинелных уравнений, из самого аз>вода характеристическая системы уравнений можно получить следующие теоремы. На любой интегральной поверхности существует одноггараметрическое семейство харак>пер>готических кривых и соответствующих характеристических полос.
Кроме того, если характеристическая полоса имеет общий элемент (гн. е. значения х, у, и, р, гг) с интегральной поверхностью, то зта полоса целиком принадлежит интегральной поверхности' ). 2. Решение задачи Коши. Самым важным фактом теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка является эквивалентность задзч интегрирования дифференциального уравнения с частными производными (1) и характеристическои системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4). Другими словами, интегрирование дифференциального уравнения с частными произвол- ными первого порядка можно снести к интегрированию соответствующей характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Чтобы доказать эту эквивалснтность, мы построим интегральные поверхности с помощью характеристических полос (аналогичныи метод применялся в $ 1 и 2). Мы снова поставим задачу Коши для данного дифференциального уравнения с частными пронзводнымн.
Для нашси цели удобно поставить эту задачу в следующеи форме. Пусть начальная полоса С, задана функциями х(г), у(г), и(й), р(~), д(й) параметра Г, причем проекция С, кривой С: х(Г), у(г), и(г) не имеет двойных точек. Кроме того, предположим, что 1) ооотношение полосы йи йх иу г =Р— +ч— дг йг йг И 2) соотношение Р О выполняются тождественно по 1. Такая полоса С, называется интегральной полосой. Задача Коши состоит в том, чтобы в окрестности С найти функцию и(х, у), удовлетворяющую там рассматриваемому дифференциальному уравнению и принимающую вместе с функциями р=и ') Снова подчеркнем, что не всякая фокальиая кривая является харакстической и что множество фокальных кривых существенно шире, чем местно характеристик. См.
8 3, и. 3. й 3 Общие дифференциальные уравнения с баул~я переменными Вй и и = и заданные начальные значения на Св, т. е. содержащую начальную полосу С,'). Чтобы решить поставленную залачу Коши, мы через каждый элемент заданной начальной полосы проводим характеристическую полосу (заданную с помощью параметра в). Эта полоса получается как решение характеристических дифференциальных уравнений (4), которое при в=О обращается в заданные элементы полосы х(г), у(г), и(б), р(У), с)(Г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
