Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Если матрица а!, особая в (хе, ув), то линия х= хе называется характерисиаической в точке (хе, уе); в противном случае она называется нехарактерпстической, цли свободной. В более общем случае мы можем рассматривать а~!алитическую кривую С, заданную в виде;(х, у) =-0 и входящую в семейство с(х, у) =- сопз1. Нам часто приходится решать задачу Коши с начальными данными для и', и', ..., и", заданными на С.
Эту задачу можно просто свести к случаю, когда начальное многообразие является координатноИ линией, если ввести новые независимые перемеш|ые '; и т) вместо х и у, где т) — любая подходящая вторая переменная. Запишем систему для переменных '; и т: У ~[(аг7'„+Ь!|', ) — Е-+(аЫ,Ы-+ бит)Г) — в+ Сии,~[= С!! (33) г=! (1=1, 2, ..., и), Кривая С называется характеристической в точке (х, уе), если прямая с = с„ — характеристическая для преобразованной системы в соответствующей точке (ср, т)э). Но (33) есть система линеИных уравнений относительно производных ди/дг на С; она имеет одно и только одно решение, если матрица ат! + Ь;л[ неособая в рассматриваемой точке Р, т.
е. если определитель г,! ='~а! [, + Ь!„", )[ отличен от нуля в Р. Если это так, то кривая С называется нехарактеристической, или свободной, в Р; в противном случае она называется критической, или характеристической, в Р. В гл. 1В мы основательно исследуем этот вопрос. Здесь мы только упомянем, что для начальных кривых, которые не являются характеристическими ни в олной точке, теорема Коши — Ковалевской и ее доказательство остаются без изменений. Приведенные определения и формулировки легко обобшаются на любое число переменных, на квааилинейные и другие нелинейные системы и на системы высших порялков. Слелует добавить краткое замечание, относящееся к характернстическил! задачам Коши.
Теорема Коши — Ковалевской для линейных уравнений обоб!цена иа случаи, когда начальное многообразие является характеристическим в каждой точке '). В этом случае начальные данные не могут быть заданы произвольным образом; они должны удовлетворять некоторым условиям, которые диктуются дифференциальным уравиеш!ем (см. гл. !г1, й 3). Соответственно решение определяется пе единственным образом, если только не наложены некоторые допол') См.
Адамар [2К стр. 77, Дафф [1) н Людвиг [1К бб Плллол<ение 1 к еж ! нительные условия вдоль многообразия, не касательного к начатьнол<у многообразию; эта ситуация аналогична той, которая вознт<ает в случае системы линейных алгебраических уравнений с определителем, равным нулю. Лере )1) рассмотрел случай, когда начальное многообразие является характеристическим вдоль некоторых кривых. Вообще говоря, решение многозначно в окрестности начальной поверхности; степень ветвления решения определяется геометрической природой соответствующих характеристических поверхностей, ПРИЛОЖЕНИЕ 7 К ГЛАВЕ ДИФФЕРВНЦИАЛЪНОВ УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА ДЛИ ОПОРНОЙ ФУНКЦИИ МИНИМАЛЪНОИ ПОВЕРХНОСТИ Нелинейное дифференциальное уравнение минимальной поверхности и(х, у) в й б, п. 3 было преобразовано в линейное уравнение с помощью преобразования Лежандра.
Несколько другая однородная форма преобразования Лежандра переводит уравнение минимальных поверхностей в уравнение Лапласа для некоторой (так называемой опорной) функции трех переменных. А именно, сначала мы напишем уравнение л<инимальной поверхности М (ср. т. 1, стр, 170): 1 1 ! 2+ 2 ду ~Г1+ 2 2 в виде а+В =О, ' У где а, 'р и Т = '! ! — аа — !22 — направляющие косинусы нормали к М.
Мы ограничимся рассмотрением такой части поверхности М, в которой две нормали в различных точках не могут иметь одинаковых направляющих косинусов и, 'р. Приняв а, р за независимые переменные и считая х, у, и функциями от них, мы можем переписать уравнение в эквивалентной форме х„+У,=О. (1) Теперь вместо направляющих косинусов рассмотрим любой набор трех „однородных" переменных а, Р, Т на поверхности, пропорциональных направляющим косинусам нормали. Тогда касательная плоскость, ортогональная к вектору с компонентами а, 'р, т, задается уравнением Ха+у~~+ иТ =.Е(а, !2.
Т), где „опорная функция" <<2(а, Р, Т) — однородная функция степени 1 относительно и, 'Р, Т, которая при а2+'Р2+72= 1 определяет рас- б7 Сисгены диффврвнциальнин уравнений стояние от плоскости до начала координат. Поверхность надо рассматривать как огибающую ее касательных плоскостей, заданных уравнением (2). Координаты точки касания, соответствующей нормальному направлению с компонентами, пропорциональными а.
Р, Т, даются формулами ~"'а' У = РР это „обратное преобразование Лежандра" по отношению к а=.у.. 1=.7г, 7=У. где 7'(х, у, и) = 0 — уравнение поверхности. Применяя записанные выше соотношения и условие однородности, легко проверить, что уравнение минимальной поверхности х„ + уа ~ О преобразуется в уравнение Лапласа Р..+Раз+Ты=О для опорной функции этой минимальной поверхности. (Другое изложение см. в гл. Ч, й 2.) ПРОЛО,ЖЕ110Е 2 К ГЛАВЕ 1 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ П Эвристические соображения. В 5 2 и 7 мы показали, что решение одного дифференциального уравнения высшего порядка может быть сведено к решению системы уравнений первого порядка, если на решения наложить дополнительные начальные условия. Поэтому целесообразно обратить особое внимание на теорию систем первого порядка.
Однако, вообще говоря, мы не можем рассчитывать, что существует полная эквивалентность между одним дифференциальным уравнением и системой. Из сказанного в 2 2 видно, что система дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными в общем случае не может быть сведена к одному дифференциальному уравнению высшего порядка для одной Функции с помощью дифференцирования и исключения переменных. Рассуждения из й 2 можно применить и к уравнениям с н незави.
спмымн переменными. Конечно, эти соображения не дают окончательного доказательства невозможности исключения в общем случае. Действительно, система, полученная пз данной системы с помощью дифференцирования, имеет очень специальный внд, так что, может быть, исключение н возможно в некоторых случаях. Поэтому в следующем пункте мы уста- Ссрссложеиие г к гл. с' новим (по крайней мере, для одного частного случая) необходимые и достаточные условия, при которых система может быть сведена к одному дифференциальному уравнению высшего порядка (см.
также $ 2). 2. Условия эквивалентности системы двух уравнений в частных производных первого порядка :с дифференциального уравнения второго порядка. Пример системы Коши — Рпизна >си=о, л сс, = — и„ >' показывает, что в частных случаях система дифференциальных уравнений может быть эквивалентна дифференциальному уравнению второго порядка для одной функции. Любое решение и системы (1) удовлетворяет уравнению Лапласа Ьа = 0; для любой гармонической функции и можно найти сопряженную функцию и, такую, что и и и удовлетворяют системе (1).
Поставим далее общий вопрос: при каких условиях система Ф(х,у,и,о,и,а,ил о) О, >Р(х, У, и, и, ил, и„, и,, о )=0 эквивалентна дифференциальному уравнению второго порядка и (и) = 0 для одной тол~ко функции и в том смысле, что любое решение и системы (2) удовлетворяет уравнению с. (и) = 0 и, наоборот, для любого решения и уравнения (. (сс) =О лсожно найти .,сопряженную" функцию и, такую, что а и о удовлетворяют с игт ем е (2).
Сначала мы рассмотрим линейные дифференциальные уравнения, записанные в виде и =а(х, у)о+А(х, у, и, и„, и ), о„==-, (х, у) о+ В(х, у, и, или и ) Здесь А и  — линейные функции от сс, и>и и, коэффициенты которых, так же как и функции а(х, у), д(х, у), аналитичны по своим аргументам в окрестности начала координат. Кроме того, мы предположим, что коэффициент при сс, в В отличен от нуля. Из й 7 слелует, что если заданы аналитические начальные данные и(0, у) и о(0, у), то система (3) имеет единственное аналитическое решение и(х, у), о(х, у) в окрестности начала координат. С другой стороны, мы могли бы произвольным образом задать и(0, у) = 2(у) и и,(0, у) = ф(у) вместо и(0, у) и о(О, у); однако эти иа сальные условия ие оссределяют решение гигтемы и, 0 единственным образом. Действительно.
второе уравнение системы Снсгемь> ди44еренниальных уравнений (3) дает обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка для функции о(0, у): ю (О, у) =Ь(0, у)о(0, у)+В(0, у, е(у), ф(у), >ш(у)), т. е. дает однопараметрическое семейство начальных значений т>(0, у), а следовательно, однопараметрическое семейство решений о(х, у) системы (3). Имея зто в вплу, мы докажем следующую теорему. Система (3) эквиваленогна дифференциальному уравнению второго порядки длл одной функции и тогди и только тогда, когда выполнено условие') а Ь„. У Чтобы доказать зту теорему., мы продифференцируем уравнения (3) по х и у и получим (а — Ь )о=В]и], (4) где Е]и]= — ]а — ЬА+А — В ] — дифференциальный оператор второго порядка относительно одной функции и. (Здесь символы А , В означают полные производные от А и В по у и х.) Сначала предположим, что а — Ь„ = 0; тогда Е ]и] = О, т.
е. и удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка Е ! и! == а  — ЬА + А — Вн = О. Чтобы найти функцию о(х, у), сопряженную к и, мы подставим решение и уравнения Е]и]=0 в А и В в системе (3). Эта система имеет решение ю, если выполнено условие совместности дон дог ду дх Производя необходимые дифференцирования и применяя условие а„ = Ь, мы получим неоднородное линейное уравнение первого порядка для о(х, у), которое можно решить, если а(х, у) и Ь(х, у) не обращаются в нуль одновременно (см. й 5, п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
