Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В этом параграфе мы покажем, что теория таких квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными эквивалентна теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ср. гл. 11, 3 2). Сначала мы рассмотрим частный случай линейного однородного уравнения ~а аги„, = О. !=! В л-мерном пространстве переменных х,, х,, ..., х„мы определим кривые х! =хг(з), выраженные через параметр з, при помощи системы обыкновенных дифференциальных уравнении — '=а,(х,, хю ..., х„) (1=1, 2, ..., л).
(2) Эти кривые называются характеристическими кривыми. (Мы будем говорить об их общем значении в связи с рассмотрением квазилинеиных дифференциальных уравнений, проведенном в гл. 11, $ 2.) В случае л = 2 эти кривые касаются осей Монжа. упомянутых в 3 4, п. 1 в качестве вырождающихся конусов Монжа. Напомним некоторые факты, касающиеся обыкновенных дифференциальных уравнений. Считая в уравнениях (2) независимым переменным одну нз величин х, вместо з, мы можем представить общее решение полученной в результате этого системы, зависящее от (л — 1) параметров сн з виде с!=у,(хг, х,, ..., х„) (1=1, 2, ..., л — 1). ) З. Линейные и явазияинейные уравнения лереого аорядяа 4! Здесь с, — произвольные постоянные интегрирования, а ь, — независимые первые интегралы системы.
Под первым интегралом у(хн х, ..., х„) здесь подразумевается функция независимых переменных хн которая имеет постоянное значение вдоль каждой кривой х,(з), удовлетворяющей системе (2). уравнение (1') очевидно показывает, что для значениИ и(з)= = и(х,(з), хг(з), ..., хл(з)) решения и дифференциального уравнения с частными производными вдоль интегральноИ кривой системы обыкновенных дифференциальных > равнений справедливо соотношение — = О. системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2) есть решение дифференциального уравнения с частньшп производными (1'); подставляя в этот интеграл вместо х, любое решение х,(з) системы (2) и дифференцируя э по з, можно проверить, что (1') выполняется на любой интегральной кривой х,.(з).
Через любую точку соответствующим образом ограшшенной области пространства х проходит интегральная кривая; следовательно, у удовлетворяет уравнению (1') тождественно по хн х,„..., х„в этой области. Для любого множества и интегралов 9,(хг х,, ..., хл) (1= 1, 2 ... и) системы дифференциальных уравнений (2) справедливо соотношение вида ы(~н у,, ..., ы„) = О. (4) так как уравнения У а д '- — — О ((= 1, 2, ....
и), где некоторые коэффициенты а, отличны от нуля, могут удовлетворяться, только если определитель д(9~ 7ь .. тл) д(хн х„..., хл) (б) Таким образом, на камсдой интегральной кривой системы (2) обыкновенных дифференциальных уравнений любое решение дифференциального уривнения с частными производпыми (1') имеегн постоянное значение, т. е. значение, не зависящее от з. Любое решение этого дифференциального уравнения с частными производными есть интеграл системы обыкновенных дифференциальных уравнений. С другой стороны, любой интегрют ~р(хн х,, ..., хл) 42 Гл.
д Вводнны эаленаннл обращается в нуль. Но это есть достаточное условие того, чтобы выполнялось соотношение вида (4). С другой стороны, согласи~ элементарным теоремам существования в теории обыкновенных дифференциальных уравнекий, существует (и — 1) независимых интегралов эп э,...,, у„ , системы (2), так что каждый интеграл э должен иметь вид ь(хо хы ..., х„) =та(рн эы ..., тн,). (6) Обратно, так как каждая функция са(эп ээ, .... э„,) постоянна на любой интегральной кривой системы (2) и. слеловательно, является интегралом системы (2), то все решения дифференциального уравнения с частными производными (1') записываются в виде (6), гле ю — произвольная функция и — 1 аргументов.
Наоборот, система обыкновенных дифференциальных уравнений (2) может быть решена с помощью п — 1 независимых решений 91 9» 9н-1 дифференциального уравнения с частными производными; уравнения (2) можно, например, разрешить, если из уравнений э,= с„определить п — 1 величин х,, х,, ..., х„ , как функции независимой переменной х„ и параметров сп с,„ ..., с, 2, Квазилинейные дифференциальные уравнения. Общий случай, когда дифференциальное уравнение (1) квазилинейно и может иметь отличную от нуля правую часть а(х,, х, ..., х„, а), не является по существу более трудным; он может быть сведен к случаю линейного однородного лифференциального уравнения с одной дополнительной независимой переменной х„., и полностью исследован. (Способ, которым выполняется это сведение, будет использован н далее в этой книге.) Мы введем а = х, , в качестве новой независимой переменной; если мы будем допускать представление искомого решения уравнения (1) в неявном аиде э(хп хм ..., х„„,)=О, или в более общем виде, включающем константу с: у(хп хю ..., х„,,)=с, (7) то задача сведется к определению у.
Так как эл +!!, и„= О, нн-! ! функция у лолжна уловлетворять дифференциальному уравнению нш ~аэ =О, 1 где мы положим а(х,, хз, ..., х„, а)=а,эп Это уравнение как раз имеет вид линейного одноролного уравнения для функции и+1 переменных э(хп хы ..., хл„,). Однако здесь есть некоторое затруднение, касающееся самого понятия лиф- Г б.
Г)реобраювание Лелглндра 43 ференциального уравнения: уравнение (8) не должно выполняться тождественно по хп хм ..., х,.г так как оно введено только для тех множеств значений н,, на которых выполняются соотношения у — — О или у с. Таким образом, с этой точки зрения (8) еще не является линейным однородным дифференциальным уравнением, Но если вместо того, чтобы рассматривать одно решение исходного дифференциального уравнения, мы рассматриваем однопараметрическое семейство.
зависяпгее от параметра с и заданное уравнением э = с, то уравнение (8) должно выполняться для всех значений л ы х,, ... х„,, т. с. оно действительно является линейным дифференциальным уравнением рассматриваемо~о типа. Если мы произвольно выберем Х! Х2' ' ' '' Хьэг аи - — = и. лз 0хг — =- а, дз й 6. Преобразование Лежандра 1. Преобразование Лежандра для функций двух переменных. Интегрированна некоторых классов дифференциальных уравнений можно существенно упростить, применив „преобразование Лежандра". Это преобразование подсказывается геометрической интерпретацией дифференциального уравнения, если представлять интегральную поверхность не через координаты гочки, а через координаты ее касательной плоскости ').
Для описания некоторой поверхности в пространствах, у, и имеются две двойственные возможности. Можно или задавать поверхность как множество точек, определенное функцией и(л, у), или рассматривать эту поверхность как огибающую семейства ее касательных плоскостей, т. е, написать уравнение, которому должна удовлетво. ) См. т. 1, стр, АКОГ йО8. н возьмем значение с, такое, что у(хн х,, ..., х„,,)=с, то, так как уравнение (8) должно выполняться для этого значения с, оно выполняется тождественно по хн х,, ..., л, Обратно, если мы найдем решение у уравнения (8) и положим э=с, то мы получим однопарзметрическое семейство решений уравнения (1).
Таким образом, мы доказали. что существует взаимно однозначное соответствие между решениями уравнения (8) и олнопараиетрическими семействами решений исходного уравнения (1). Это показывает, что интегрирование общего кзззилинейного дифференциального уравнения (1) эквивалентно интегрированию системы обыкновеш<ых дифференциальных уравнений 44 Гд Д Гэводпвсе эааепапил рать плоскость, чтобы быть касательной плоскостью к этой поверхности. Если х, у, и — текущее координаты на плоскости, уравнение которой имеет впд и — сх — т)у+вс = О, то мы будем называть Е тс, вс координатами этой плоскости. Так как уравнение плоскости, касающейся поверхности и(х, у) в точке (х, у, и), имеет вид а — и — (х — х)и — (у — у)и =О, то ее координаты равны — = ха, + усс, — сс Рассматриваемая поверхность будет определена такске, если вс задана как функция .", н п), чем уже задается двухпараметрическое семейство касательных плоскостей.
Мы москам найти зависимость вс(с, .л) от и(х, у), определяя х и у как функции $ и л из уравнений (=сс, ъ)=и х' у и подставляя их в уравнение вс=хи +уи — и=хс+ув — и. Обратно, чтобы определить координаты точки по координатам касательной плоскости, мы найдем частные производные функции вс(Е "в). Так как с = и и л = сс, мы имеем У' . дх ду дх ду всь — х + —. + т,. —. — и — — и —.
= х +' д( + ' д$ -" д$ У д.с и, аналогично, вс Таким образом, мы получаем систему формул вс(с, тс)+ и(х, у)= х."„+утв тс= и, У' у вО х = всы которая указывает на двойственный характер соотношения между координатами точки и координатами касательной плоскости. Такое преобразование поверхности от-координат точки к координатам плоскости называется преобразованием Лежандра для функций двух переменных. Оно существенно отличается по своему характеру от простого преобразования координат, ибо оно ставит в соответствие не точке точку., а элементу поверхности (х, у, и, и, и ) У элемент поверхности (Е т, чс, м;, чс). З б. Преобразование Лежандра Преобразование Лежандра всегда возможно, если уравнения и = Е и = 21 могут быть разрешены относительно х и у; это так, если У якобиан (2) не обращается в нуль в точках рассматриваемой поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
