Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(1О) Таким образом, функция и весьма сложным образом зависит от двух произвольных функций. Первые производные их, и сразу определяются из (9): их=а, и =та(а), откуда и =ж(и ). (11) Чтобы исключить пропввольную функцию тв, мы еще раз дифференцируем: и получаем и и,— и =О г хк уу ху (12) — искомое дифференциальное уравнение для всех развертывающихся поверхностей, за исключением цилиндров с осью, перпендикулярной плоскости х, у. Во всех этих примерах легко можно показать, что обратное тоже верно, т. е.
что все решения соответствующих дифференциальных уравнений принадлежат заданным семействам функций. 24 Гл, 1. Вводные валемамия 5) Все однородные функции и(х,, хт, ..., х„) степени а от переменных х,, х,, ..., х„характеризуются соотношением и (Ех,, Ех,, ..., Ех„) = Е"и(хн хм ..., х„), (! 3) которое выполняется тождественно по Е. Если мы положим Е = 11хм, то 1х~ хе х и(хь хт, ..., х„)= х„*и! —, —, ...,, 1); е — в (х„ следовательно, и дается формулой Ех, х, х„ (14) с некоторой функцией в.
Поскольку обратно, любая функция и, так построенная с помощью произвольной функции те, зависящей от(л — 1) аргументов, удовлетворяет сформулированному выше условию однородности, то выражение (14) дает все однородные функции степени а. Чтобы получить дифференциальное уравнение с частными производными для етого семейства функций, мы возьмем производные уравнения (14) по переменным хн х, ..., х„и исключим функцию тв.
Это дает формулу Эйлера длл однородных функций: х,и +хи„+ ... +хи =аи. (15) и Заметим, что мы могли получить соотношение (15) непосредственно из уравнения (13), продифференцировав его по Е и положив 1=1. Наоборот, из соотношения (15) для функции и(хн ха...,, х„) следует равенство — ( — „и(Ех,, Ехт, ..., Ех„))= д г! д1 ! — т„Ех,и„!Ехн Ехт, ..., Ех„) — аи(Ех„сх, ..., Ех„) 1 =0, так что выражение и(Ех,, Ехе, ..., Ех„)11' есть функция, не зависящая от Е; следовательно, она совпадает со своим вначением при Е = 1, которос равно и(х, хм ..., х„).
Но, согласно (13), это значит, что функция и однородная. ф 2. Системз! дифференциальных уравнений 1. Вопрос об зквивалентности системы дифференциальных уравнений и одного дифференциального уравнения. Лля обыкновенных дифференциальных уравнений теория одного диффеоенциального уравнения эквивалентна теории систем; для дифференциальных уравнений с частными производными дело обстоит иначе.
4 2. Системы дафференцаальньа уравненсса Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка т".(х, у, у', уе) =О (1) заменой у'=г может быть сведено к системе двух уравнензй первого порядка с двумя неизвестными функциямн у(х), г(х): Р(х, у, г, г') = О, у' — г=О. (2) Любое решение дифференциального уравнения (1) дает решение системы (2), и наоборот. Вообще, система двух обыкновенных уравнениИ первого порядка у'(х, у, г, у', г') = О, р (х, у, г, у', г') = О (3) для двух функций у(х) н г(х) может быть сведена к одному дифференциальному уравнению второго порядка для одной функции у(х), если только в рассматриваемой области ~,де — (, ре + О. В таком случае можно разрешить уравнения (3) относительно г и г'. г'=и(х.
>ч у'), я=ф(х, у, у'). (За) Дифференцируя второе уравнение и исключая г', сразу получаем Чт(х' У У ) Фх Фуу Фу'У (Зб) — дифференциальное уравнение второго порядка для одной функции у(х). Если мы подставим решение дифференциального уравнения (Зб) в уравнение г =(т(х, у, у'), то мы получим соответствующую функцию г, которая вместе с у дает решение исходной системы (3) или (За). Поэтому, если мы предполагаем, что /,й', — у', д.е ~ О, то система (3) эквивалентна одному дифференциальному уравнению. Теперь мы рассмотрим дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка Р(х, у, и, и„, и, и, и„, и )=О (4) с неизвестной функцией и(х, у).
Подстановка и =р, и =д приводит к системе трех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с тремя нензвестными функциями и. р, и: Р(х. у, и, р, д, р., р,, д,) =О, и — р= О, и — р = О. у В любом решении и, р, д такой системы и является решением диф- ференциального уравнения (4) и, наоборот, любое решение и уравне- ния (4) дает решение и, и, и„системы (З). Г.г. Д Вводные замечания 7'аким образом, дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка зквивалентно системе трех дифференциальных уравнений ггервого порядка (но эта система имеет очень специальный вид). Обратное, однако, соверигенно неверно. Не всякая система двух дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка — не говоря уже о системах трех дифференциальных уравнений первого порядка — эквивалентна одному дифференциальному уравнению второго порядка ').
Вообще говоря, невозможно с помощью дифференцирования и исключения функций получить из системы двух йиффсренциальных уравнений в частных производных Г" (х, у, и, о, и,, о, сс„, г ) = О, (6) с двуми неизвестными функциями и (х, у), о(х, у) эквивалентное ей дифференциальное уравнение второго порядка с одной только функцией и. Дифференцирование по х и у дает четыре дополнительных уравнения. Чтобы заменить систему (6) одним эквивалентным ей уравнением второго порядка с неизвестной функцией и, надо было бы исключить шесть величин и, о„, от, пх„, о „, о „из шести уравнений. Однако, исключение шести ве.гичин нз шести урзвненнй, вообще говоря, невозможно, как можно показать с помощью примеровг). Производя дальнейшие дифференцирования и сравнивая число уравнений с числом величин, подлежащих исключению, мьг видим, что нет оснований рассчитывать, что мы получим одно уравнение, заменяющее систему (6), даже если не ограничивать его порядок.
Напрггмер, продифференцировав каждое из шести уравнений, мы получим двенадцать соотношений; чтобы найти дифференциальное уравнение, содержащее только и, мы должны были бы исключить как исключение десяти величин из двенадцати уравнений приводит, ') Однако, как мы увидим в 6 7, такогй эквнввлснтиоспг час~о можно лобгпься, добавляя к системе дифференциальных уравнений неко~орые .начальные условия", ко~орые ограничивают множесгво решений. ОтиосиФельно проблемы эквивалентности см. далее приложение 2. ') Примером системы уравнений, для которой дифференцирование и нсклю гение не приводит к одному уравнению второго порядка, может служить система и + о„= — уи, я + о = уы Здесь мы получаем два уравнения третьего порядка для од гоп функции и (переопределеиная система): д г ~- (лги+ и — игь)+ и, + хи: — О, У г — (у'и+ и — их,) + и — у (уги+ и — ил ) = О.
х 4 2. глгсге.чы дифференциальных уравнении 27 вообще говоря, к двум независимым соотношениям, следует ожидать, что в результате этого исключения получатся два различных уравненения 3-го порядка для и, кроме специальных случаев'). 2. Исключение неизвестных из линейной системы с постоянными коэффициентами. Стоит заметить, что в отличие от общего случая, для важного частного случая справедлива следующая теорема: Любую систе.чуя) п,гинейных дггфференггиа.гьных уравнений с постоянными коэффициентами д.гя и неизвестных функций .ггожно свести к одному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами для любой из неизввгтных функций, Пусть и, о, иг, ...
— неизвестные функции независиьгых персменных х, у, з, ..., а Ро г',гг, ... — формальные полиномы от символов дифференцирования д/дх, дгду, д,'дз, ..., например, с постояннымя коэффициентами а'; тогда мы формально запишем "т "' систему в виде с известными правыми частями й ы й'г, .... Формальное алгебраическое исключение (по правилу Крамера) дает дифференциальные уравнения для отдельных функций Ои=0', сзо=Ог, где  — определитель пз символов Ро (си ..., а 6~ — соответствующая символическая линейная комбинация функций й',.
Ясно, что с) — линейный дифференциальный оператор; его порядок равен степени символического полинома 0(а степень 0 зависит от степеней Рг, Яг, ...). Символы О) также обозначают дифференциальные операторы, соответствующие минорам определителя О. Если, в частности, исходная система состоит нз п уравнений первого порядка, т. е. если полипомы Рг ф, ... — линейные, то соответствующие уравнения. вообще говоря, имеют порядок а. Предположим, что и есть решение одного из уравнений, полученных в результате исключения; тогда, подставив и в данную ') См.
предыдущую сноску. ') Точные определения см. в и. 3. Гл. !. Вводные заме >инил систему, мы можем опустить одно нз первоначалы>ых уравнений, так как система теперь зависима. Таким образом, получается система меньшего числа уравнений для о, то, ... С этой системой можно поступить так же, как с исходной, и с помошью исключения прийти к уравнению О*о = 6'", где О* — минор определителя О, Продолжзя этот процесс, исходную систему можно заменить последовательностью независимых уравнений убывающего порядка Ои = б>, О*о= ба*, ..., соответствуюшей исходной системе. 3.
Определенные, переопределенные, недоопределенные системы. Рассмотрим общий внд системы дифференциальных у'равнений в частных производных с двумя незачисимымн переменными: Г. гх, у, ан', иа>...., иое>, иш, и<н, ..., и>ы>, иое>, ин>, ...) = О (7) (1=1, 2...,, й), т. е. систему /г уравнений с т функциями ин>, иа>, ..., иою независимых переменных х и у. Предположим, что эти й уравнений независимы, т.
е. что ни одно , из них ие может быть получено из других с помощью дифференци«рования и исключения неизвестных. Если й = и>, мы говорим, что система определенная; если й > т, система называется переопределенной, если и ( т, — недо- определенной, Система Коши — Римана двух уравнений с двумя неизвестными функциями и (х, у), о(х, у) и,— о =О. и +о„=О является примером опрелеленной системы. Из этой системы с помощью дифференцирования и искл>очения легко получить, что и и о в отдельности удовлетворяют дифференциальным уравнениям Ли=О, до=-О (см. п.
1), т. с. что и и о „гармонические". Простейшим примером переопределенной системы для функции и(х, у) является система и, = ! (х, у), и = а (х, у), которая, как хорошо известно, разрешима тогда и только тогда, когда !', =~.. Более интересный пример дает теория аналитических 1бункций у !г>, га) двух комплексных переменных а>= х>+ >у> за = хг+ !уз а 2. Систеасьт днФФеренинольных «раененссл Дифференциальные уравнения Коши — Римана, которые выражают аналитичность функции у(ас, а,) = сс+срш таковы: и», =аж, сс, = — и,, и», = птн (8) С помощью дифференцирования их можно привести к следующей переопределенной системе для одной функции и: и„...+ит„, = — О, и„,„, + и, „, = О, сс„», + ин,н, = О, и,ж, — и»ж, = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
