Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 6
Текст из файла (страница 6)
2) Для уравнения и , = 0 можно сразу получить общее решение вида и = ю (х) + о (у). Рис. 1. 3) Аналогично, решением неоднородного дифференциального урав- нения и т= у(х, у) являетсч х у у) = 1 1у'6, )) с((с),+чв(х)+ (у) ж и (х, у) = Оу' (.", т) А с1т, + ы (х) + о(у), и У ,с ~ /'(х, т)сгт1+ю'(х), и =- ~ 1(";, у)с)1+о'(у). ч 1ч) а (а1 (2) с произвольными функциями чп н о н фиксированными х н у, а е Можно заменить этот интеграл оолее общим двойным ннтегра лом, если взять в качестве облзстн интегрирования „треугольник" Е), такой, как на рпс, 1, криволинейная часть границы которого — дуга С: у=у(х) (или х=-И(у)) пересекается прямыми и=сонэ( илн у=сопз1 не оолее чем в одной точке, Тогда Гя, 1 Вводные яаяеианвя Частное решение дифференциального уравнения, соответствующее ш(х)=0, о(у)=0, удовлетворяет условиям сс=их=и =0 для всех точек (х, у) дуги С.
4) Дифференциальное уравнение в частных производных их иу можно преобразовать в уравнение 2св =0 ч с помощью замены переменных х+у=;, х — ус=у), и(х, у)=вс(с, у)). ,Общее решение" этого уравнения есть чу=те(с); следовательно, и=та(х+ у). Аналогично, если а и р — постоянные, то общее решение дифференциального уравнения ассх+ 'ри = 0 есть и=те(рх — ау).
5) Согласно элементарным теоремам анализа, дифференциальное уравнение ихд — игах = О, где д (х, у) — любая заданная функция х, у, означает, что якобиан д(и, я) д(х, у) — обращается в нуль. Это значит, что функции и и д зависимы, т. е. и = ш [в(х, у)!, (3) где тв — произвольная функция л'. Наоборот, так как любая функция вида (3) удовлетворяет дифференциальному уравнению и,сх — и д, = О, то мы получили всю х у у х совокупность решений этого уравнения с помощью произвольной функции тв. Следует отметить, что тот же результат имеет место для более общего — квазилинейного — дифференциального уравнения и с( (х, у, сс) — и их(х, у, и) =О, где теперь д явно зависит не только от х, у, но также и от неизвестной функции и(х, у). Действительно, легко видеть, что якобиан любого решения и(х, у) и функции ((х, у)=д(х, у, и(х, у)) обращается в нуль, так как их"( — и '(х = и и — и ух+ и ивиу — и ивсе„= О.
!9 э" 1, Общие сведения о совокупности решений Таким образом, н в этом случае рептение дается соотношением сс(х, у) =В']д(х, у, и)], (4) которое неявным образом определяет функцию и через произволт,- ную функцию ]с'. Например, решение и(х, у) дифференциального уравнения а(и) и — р(тт) и = 0 неявно задается соотношением а Ф']а(и)у+В(и)х! (б) (или пт(а) = а(и) у+]т(и) х), так что и зависит от произвольной функции ]с' довольно сложным образом. (Одно приложение будет дано в 9 7, и. 1) Частным случаем дифференциального уравнения а(а) и — р(и) и = 0 является уравнение и+ии 0; его решение неявно задается формулой и = Ж' ( — х+ иу), где %' — произвольная функция.
Если истолковать и = и(х(у), у) как скорость частицы в точке х= х(у), а у — как время, то дифференциальное уравнение утверждает, что ускорение всех частиц равно нулю. 6) Дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка ст„— и =0 ХХ можно преобразовать в уравнение 4ет:ч = 0 с помощью замены переменных х+у:=Е х — у= — и, а(х, у,'==~о(1, .и).
Поэтому в соответствии с примером 2) его решение есть и (х, у) = со (х + у) + о (х — у). 7) Аналогично, общее решение дифференциального уравнения 1 и — — и,=О кя Се для любого значения параметра с есть и= то(х+!у)+о(х — !у). Гл, С, Вводные валечаная 20 В частности, функции и = (х + су)" и =(х — су)' являются решеннячи, т. е. С ссг» иуу обращается в нуль для всех х, у н для всех действительных 1. 8) Согласно элементарной алгебре, если многочлен по С обращается в пуль для всех действительных значений С, то он обращается в нуль такске и для всех комплексных значений С. Таким обрззом, если мы подставим С = С = 1à — 1, то дифференциальное уравнение примера 7 перейдет в уравнение Лапласа Ли=в и„,+сс „=0; для этого уравнения мы получим решения вида (х+су)" = Р,(х, у)+)сна(х.
у), (х — су)" =Р„(х, у) — сс~„(х, у), где Р„н ߄— лсссогочлсны с действительными коэффициентами, которые сами тоже должны удовлетворять уравнению Лапласа' ). Заставляя и пробегать значения О, 1, 2 ..., мы находим бесконечно много решений уравнения Лапласа, но, в отличие от предыдущих примеров, это только счетное множество решений. В полярных координатах г, 0, определенных формулами х = =г сов 0, у=ге)п0, имеем Р„(х, у)=г" сози0, с~„(х, у)=г" а\пп0. (6) Лля любого действительного а функции с),(х, у) = — г" щпа0 Р,(х.
ус =г" соза0, также удовлетворюот уравнению Лапласа в любой области плоскости х, у, не содержащей начала координат х=у=О. Это сразу проверяется, если записать Ьи в полярных координатах (см. т. 1. стр. 200): 1 Ьи = и„+ — '+ —, ию ') Этн решения служат примерами, поясняющими тот общий факт, что действательная и мнимая часпс аналитической функции комплексного переменного х + Су удовлетворяют уравнению Лапласа, т. е. являются .гармоническими" функциями.
а д Общие сведенил о совокупности решений 21 Если мы возьмем такие две функции ш(а) и о(а), что первые и вто- рые производные интегралов ш(а) г" созибда и ~ о(и) г*з1п об с(и могут быть получены с помощью дифференцирования под знаком интеграла, то мы сможем построить семейство решений, зависящее от двух произвольных функциИ то и о, в виде ь г" (то (а) сов ай+ о (а) з1 и сс8) с(а. а 9) В качестве примера дифференциального уравнения более высокого порядка рассмотрим уравнение и найдем, что и(х, у) =то(у)+ хит,(у)+о(х)+ уо, (х) есть его общее решение.
10) Если число независимых переменных больше двух, то в общее решение входят произвольные функции двух или большего числа аргументов. Например, дифференциальное уравнение для функции и (х, у, «) имеет общее решение и=то(х, у). 2. Дифференциальные уравнения заданных семейств функций. В и. 1 мы упомянули, что можно строить обыкновенные дифференциальные уравнения, решениями которых являются заданнь1е семейства функций, зависящие от нескольких произвольных параметров. Теперь мы ставим вопрос: можно лн построить дифференциальное уравнение в частных производных с и независимыми переменными, решением которого является заданное семейство функций, зависящее от произвольной функции (л — 1) переменных? Рассмотрим, например, множество функций вида и= г'(х, у, (л(х, у))), где Г' — заданная функция х, у, то, а д — заданная функция х, у, например, д = ху.
Чтобы получить дифференциальное уравнение 22 Гд й Введнь>е замечания этого семейства функций, ~родифференцнруем уравнение (7) по х и по у: и, = ~'л+ /' М'У, и = 7, + 7 м'>7 . Исключение тв' дает искомое дифференциальное уравнение (им — У,.)у„— (и, — У„) да= О, (8) где произвольная функция ю, входящая в /л и /, должна быль выражена через х, у, и из уравнения (7). Полученное таким образом дифференциальное уравнение с частными производными является уравнением специального вида, а именно квазилинейным, так как оно линейно относительно производных.
Следовательно, семейство функций (7) не является достаточно общим для того, чтобы привести к произвольному уравнению первого порядка. Однако, если мы будем исходить из двухпарзл>етрического семейства функций и= 7(х, у; а, 1>), то мы получим три уравнения, из которых мы, вообще говоря, можем исключить а и р (конечно, если гм„7>а — г,,>7т,-'О).
Мы получим дифференциальное уравнение с частными производными г".(х, у, и, л„, и )=О, которое уже не обязательно линейно У пои ии, Тот парадоксальный факт, что более ограниченный класс семейств решений приводит к уравнению более общего типа, будет объяснен в й' 4. Примеры.
1) Для семейства функций и=я(ху) н =хм>', диф- мы получаем, исключая пк из уравнений ил=уча', ференциальиое уравнение хи„— уа =О. Если интерпретировать х, у, и как прямоугольные координаты точки, то каждая функция этого семейства представляет собой поверхность. пересекающуюся с горизонтальными плоскостями по равносторонним гиперболам. а не из семейства, зависящего от произвольной функции, и составим производные г>л=/л(~ у' а ~) и =7 (х, у; а, р), 4' д Общие сведения а говокивногкв решений 2) Совокупность всех поверхностей враи1ения, полученных вращением плоской кривой вокруг оси и, задается формулой и = тв (х'+ уз). Соответствующее дифференцизльное уравнение есть уи — хи =О. у 3) Аналогично, хил+ усс = О есть дифференциальное уравнение линейчатых поверхностей, образованных горизонтальными прямыми, проходящими через ось и, т.
е. поверхностей, заданных уравнением и=та( — ~. 4) Дифференциальное уравнение развертывающихся поверхностей выводится нз определения такой поверхности как огибающей однопаралетричеспого селейства плоскогтей. За искшочением цилиндров с осью, перпендикулярной к плоскости х, у, все такие поверхности задаются уравнением и =- ах+ тв (а) у+ о (а), где а неявно определяется как функция х и у уравнением О = х+тв'(а) у+ о'(а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
