Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Куранта н Д. Гнльберта „Методы математической физики' хорошо известны советским физикам н математикам. Том ! был нзлан на русском языке з 1933 году, том П вЂ” в 1945 голу, и затем оба тома были переизданы у нас з 1951 году'), Эти книги оказали большое влияние на раавитие теории дифференциальных уравнений с частными производными. математической физики, математического анализа. а также на развитие всей математической культуры. „Методы математической физики" написаны Р. Курантом. Однако влияние илей Е. Гильберта на эти книги было столь значительным, что Р. Курант поставил на них также и имя своего учителя.
В 1962 году, т. е. через 25 лет после выхода в свет первого иалания тома П „Методов математической физики", появилось новое излание этого тома. Настоящая книга предстзвляет собой перевод зтого нового издания. Новое издание настолько сильно отличается от старого, что по существу является новой книгой. Как и первое издание, она посвящена теории дифференциальных уравнений с частными производными. В ней в известной мере нашло свое отражение все развитие этой теории за последние 25 лет. Более того, в книге затронуты также такие проблемы, которые начали интенсивно разрабатываться лишь в последние годы и еще весьма калеки от полного их решения Большое внимание автор улеаяет приложениям общих илей и методов к изучению взжных конкретных уравнений, таких, как уравнения гндродинамики, кристаллооптики магнитной гпдродинамикн, уравнения газовой динамики, телеграфные уравнения и другие.
Первая глава книги носит в основном вволный характер и лишь немногим отличается от первой главы старого издания. Вторая глава солержит исчерпывающее изложение теории лнфференипальных уравнений первого порядка. В этой главе имеется новый параграф, гле приведено доказательство важной теоремы Мавра о едшщтвениостн решения задачи Коши.
Второе дополнение к этой ') Всюду в дальнейшем в ссылках на том ! указаны страницы по русскому изданию 1951 гола. Лредпгловпе редактора перевода главе посвящено теории разрывнь1х решений квазилянейных уравнений, записанных в виде законов сохранения. Зтя вопросы изучались в последние годы в раоотах многих советских и зарубежных математиков. Большое влияние на развитие этой теории, которая а настоящее время еще очень далека ог завершения, оказали задачи газовой динамики и, в частности, теория ударных волн. Главз П! посвящена уравнениям высшего порядка и системам уравнений первого порядка. Здесь с большей полнотой, чем это было в первом издании, изложены вопросы классификация таких уравнений и систем, приведение их к каноническому вид!; большое внимание уделено уравнениям с постоянными коэффициентами и методам нх исследования.
В этой же главе вводится и обсуждается такое фундаментальное понятие теории уравнений с частнымн производными, как „корректно поставленная задача", К этой главе написано два новых дополнения. Первое из них содержит доказательство одной из теорем влопкения С. Л. Соболева, которая в зарубежной литературе носит название леммы Соболева, Теоремы зло>кения С. Л. Соболева н их обобщения играют важную роль во многих современных исследованиях по дифференциальным уравнениям с частными производными.
В главе 1Н, посвященной уравнениям эллиптического типа, осталась без больших изменений лишь та часть, которая относится к классической теории потенциала. Большая часть этой глазы является новой. Здесь имеется параграф, посвященный теории рассеяния и условиям Зоммерфельда, изложены основные свойства общих эллиптических уравнений второго порядка, даны приложения априорпь|х оценок П!аудера к решению краевых задач для линейных, а также некоторых клзссов нелинейных эллиптических уравнений. В дополнении к этой главе, написанном Л. Берсом, дано изложение теории обобщенных аналитических функций или, как их еше называют, пссвдоаналитических функций.
Эта теория другны пгтгм построена в известной книге И. Н. Векуа „Огбобшенные аналитические функции". Главы Н и Н! книги посвящены гиперболическим уравнениям и системам и составляют по своему обьему половину всей книги. Хотя эти главы содержат все то, что было в Н н Н! главах старого издания, и, кроме того, в них включено с некоторыми изменениямя дополнение к гл. 1П старого издания, посвященное операционному исчислению Хевисайда, большинство параграфов этих г.шв являются совершенно новыми. Здесь дано пе только исчерпывающее изложение основ теории гиперболических уравнений.
но также имеется много зам<ных результатов, полученных в послед'.ше годы. Значительная часть этих результатов принадлежит Р. Куранту и его школе. С|ода относятся результаты Р. Куранта и Г!. Ланга о решении задачи Коши с разрывными начальными данными и об асимпто- Предисловие реда тора «ертвода тическом разложении решения с осциллирующитш начальнь,ми функциями, результаты Ф.
Джона о ирнменении илоских волн к решению задзчи Коши, резульлаты К. О. Фридрихса для симметрических систем и другие. Здесь нужно отметить, что фучьтзчетттальные результаты И. Г. Петровского для общих пшерболических уран ~сник и систем оказали о ынь сильное вшшние нз развитие всей теории пшерболических уравнения. Вторая часть главы И иосвящсиа глзвиым образом выводу явных формул для решения задачи Коши для гиисрболических уравнений и систем с иостояиными коэффициентами.
Здесь жс доказаны пекоторьш теоремы о лакунах, При нсследовзиии вопроса о расиростраи иии разрынов вдоль характеристических поверхностей г гл. У и далее систематически в главе Ч1 используются обобщенные функции, которые за иослсднае десят»летия, после выхода в свет работ Л.
Шварца и предшествовавших им работ С. Л. Соболева, стали мощным орудием исследования уравнения с частными ироизводными. Изложению основ теории обобщенных функций иосвящено ириложеняе к главе И. Глава И! старого издания, иосвящеиная вариационным методам решения красных задач и задач о собственных значениях, нс вошла в новое издание. Автор иредиолагаег в скором времени издать Ш-И том, где, в частности, будут изложены и эти вопросы.
К сожалению, в книге не расом,привзются иараболичсские уравнения, которые в последние десятилетия были подвергнуты тщательному изученшо и нашли ирименеиия во многих задачах физики. Читатель может найти первоначальные сведения об этих уравнениях в книге И.
Г. Петровского „Лекции об уравнениях с частными ироизводными" и в статье А. д!. Ильина, А. С. Калашникова и О. А. Олейник „Линейные уравнения второго иорядка израболичештого типа' в „Усисхах математических наук" за 1962 год, где ~ моется обзор далытейших результатов и ссылки на соответствующую литературу. Настоящая книга рассчитана из очен~ широкий круг читателей, Отде.тьные се параграфы могут составить тот материал, который обычно вкиочаегся в курс уравнений с частными ироизводными или курс математической физики для студентов университетов, и в этом смысле книга может слу кить учебником для студентов. С другой стороны, различные части этой книгт~ могут быть исиользованьт тсиирантами математиками, механиками и физиками для иодготовки экзаменов, Эта книга знакомит начниатощих научных работ- пикон с современпьци идеями и методами, вооружившись которыми, люжно вести исследования ио актуальным проблемам теории дифференциальных уравнении и математической физики.
Отдельные части книги представляют большов интерес и лля сиециалттстоз. работающих в области теории дифференциальных уравнений и в Предисловие редактора перевода смежных областях, так как они нзписаны на уровне специал~ной монографии, где излагаются многие тонкие результаты. Нужно особо отметить выдающееся педагогическое мастерство Р. Куранта, его умение неформально излагать сложные результаты, предварительно указывая нх основы на ряде простейших примеров. Богатство идей и методов, доступность изложения, разнообразие рассматриваемых задач, связь с современными исследованиями и множество важных приложений к задачам физики сделзют настоящую книгу Р.
Курантз одной из наиболее популярных среди наших читателей, интересующихся теорией уравнений с частными производнымн. Несомненно, что русское издание этой ценной книги будет способствовать дальнейшеьту прогрессу многих разделов математики и физики. о. л. олдймми ПРЕЛИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗЛДНИЮ Я счастлив, что по инициативе моих друзей из Московского университета, в особенности моего глубокоуважаемого коллеги профессора Ольги Олейник, русское издание этоп книги удалось подготовить так скоро после ее выхода в свет.
Надо отдать должное переводчику — доценту Татьяне Вентцель, чьи незаурядные лингвистические способности сочетаются с глубокими познаниями в области математики, в которой она сама успешно работает. Из-зз недостатка времени я не смог в этот короткий срок внести все же.чательные изменения в первоначальный текст. Но я напоюсь, что мне все же удалось. опираясь на конструктивные крити <вские замечания профессора Олейник и других, устранить некоторые недочеты.
Надеюсь также, что в русское издание вкл<очены более полные ссылки, отражающие весьма плодотворную и активную работу советских математинов в области уравнений с частными произволными. Пользуюсь случаем выразить искреннюю баю одарность всем, кто принимал участие в подготовке этого издания моей книги. РИХАРД КУРАНТ Иью-Йорк 3 феврала 1964 г. Посвящается Курту Отто фридриэссу ПРЕДИСЛОВИЕ Настоягций том посвящен теории дифференциальных уравнений с частными пронзводнылщ, в особенности тем разделам этой широкой области науки, которые связаны с физическими и механичесюнш понятиями.
Но даже при таком ограничении на отбор материала д зстичь полноты изложения просто невозможно, поэтому содержание тома в известной степени определяется моими личными вкусами и мо гм опытом. Чтобы сделать этот важный раадел математического анализа оолее доступным для читателя, я постоянно подчеркивал основные понятия и методы, стараясь не превратить книгу в собрание теорем и фактов.
Я всюду стремился вести читателя от элементарных фактов к ключевым вопросам, находящимся на переднем крае современных научных исследований. Почти сорок лет назад я обсуждал план монографии по математической физике с Давидом Гильбертов. Он не смог принять участие в осуществлении задуманного плана, но я надеюсь, что этот труд и, в частности, прсдлагаемыИ вниманию читателя том отражают научное кредо Гильберта, который всегда предпочитал чисто формальной общности глубокое проншсновение в самую суть математической залачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
