Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Преобразование Лежандра, очевидно, невозможно для поверхностей удовлетворяющих дифференциальному уравнению и и — и2 =О, хх Ь'у ь'у или. в матричных обозначениях, Если мы введем сокращенные обозначения 1 и2 р ку ш., Оь ьв асч и и ХХ УУ то мы получим !!к, = а ХУ и,= ршц. т. е. длл развеутываюпспхсл поверхностей.
Этот результат можно сделать геометрически наглядным. Развертываюьцаяся поверхность по определеншо обладает однопараметрнческпм семейством касательных плоскостей, каждая нз которых касается поверхности по прямой, а не только в точке; таким образом, невозможно установить взаимно однознзчное соответствие между точкамн и касательными плоскостями к поверхности. Наконец, чтобы применить преобразование Лежандра к дифферен- циальным уравнениям второго порядка, мы найдем, как преобра- зуются вторые производные функций и(х, у) н шгЕ л). Для этого мы будем считать, что переменные х и у в уравнениях 1=их, У) = и выРажены чеРез, н и пРи помощи сОотношений х = сььы У у=ш„. Дифференцируя уравнения:.= и„тс= и по с и тс, мы найдем 1=а ш;;+!с.
ш-, — ХХ и .СУ О= а„уши+ и„оет, О=и соь,+и„еь,, Ху чч' 1=и„ш;,+и ш Гл, !. Вводные замечания 2. Преобразование Лежандра для функций м переменных. Для полноты мы упомянем также преобразование, Лежандра для функций и независимых переменных. Оно задается следующей системой формул: !с(хн хг, ..., хв)+ ы(41 1в ' ' '' (в) Х!"1+хг~г+ ...
+хн и, (О) и„=,о — е ~о. = хь ы. = хг, ..., ы = х„. Чтобы дать формулы преобразования для вторых производных, мы обозначим алгебраические дополнения элементов и ,~вг в матрицах ре через У,е и Яы, а определители этих матриц — через У и 2. Тогда формулы преобразования имеют вид а и — аг !е м г е и;ге (! (6) и (7П=П Применимость преобразования Лежандра, как легко проверить, зависит от выполнения неравенства У ть 0 (илн 2 сь 0). 3. Применение преобразования Лежандра к дифференциальным уравнениям в частных производных. Рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных не более чем второго порядка (7) Р(х, у, и, и„и,„и,„, и, и ) =О. С помощью преобразования Лежандра мы ставим в соответствие интегральной поверхности и(х, у) этого уравнения функцию ы(е, л), Тогда уравнение Р = 0 переходит в диффере~циалыюе уравнение для функции ы тоже не более чем второго порядка, а именно, в уравнение О = Г (ыо ыл алые + йы — ы % о) Ры, — Рыы, Ркц) = О (8) где г е пыл; — ~ел Однако это дифференциальное уравнение, как правило, дает только не развертывающиеся интегральные поверхности исходного уравнения, так как преобразования Легкацдра неприменимо к развертывающимся поверхностям.
д д 77реабразаеащ»е Пежандра 47 (9) и и,=х, которое после преобразования Лежандра переходит в уравнение 1;=ю;: (10) его решение сразу дается формулой 1, 9~ 1+ Из формул преобразования следует, что х = (т), у = —,(т+ '()) и = э»~+ тш'(4) — ш (э~), (11) Если мы исключим "; и э; из этих трех уравнений, то получим искомое решение заданного дифференциального уравнения'), С другой стороны, дифференциальное уравнение и.и =1 У переводится преобразованием Лежандра в уравнение йт) = 1. (12) Это уравнение уже не является дифференциальным, и преобразование здесь ничего не дает; все решения уравнения и и, = 1 представляют ') Однако здесь потеряны решения, для которых выражение и а у — и, 2 обращается в нуль.
Лифференцируя уравнение и и =-х по х н у, мы получим их»их+и» и, = 1, их и +и,,и„=б, т. е. неоднородную систему уравнений, определи~ель которой и .и — и 2 обращзется в нуль, только если и = и, = О. Отсюдз следует, что йотерян- иые решения должны иметь вид 1 и = ау+ —, х'+Ь, 2а где а и Ь вЂ” произвольные постоянные. Лействительно, эго выражение является полным интегралом уравнения (9). и из него можно получить систему (11) методом, изложенным в э 4, п.
2, с помощью введения соответствующих пара метров. В частности, в случае дифференциального уравнения первого порядка преобразование Лежандра может быть полезным, если переменные х, у и и входят в уравнение простым образом, а производные и„, и — более сложным образом. В качестве примера мы рассмотрим уравнение 4В Гл. Э Вещ>име за.чечилия собой развертывающиеся поверхности. Зто сразу подтверждается дифференцированием уравнения по х и по у: ики +или =О, (15) !е гулу .г иууик — О Так как возможность и = и = О исключена в силу того, что к у ики = 1, для каждой интегральной поверхности и (х, у) лолжно вьэполияться условие и и — ат =О').
кк уу ку Точно так же преобразование Леукапдра не проходит ии для какого уравнения вида (14) (15) В=и и, — иг =О, кг уу к или х= — Ур у= — Уд Но вторая возможность дает именно ту исключительную поверхность, которая получается с помощью преобразования Лежандра ') Между прочим, уравнение (12) заменой х = ИГУ МОжет Оы~ь сведено к зилу (9) и таким образом решено; это можно слелагь также с помощью полного интеграла ! и=як+ — > +Ь. а Е(а„, и )=0. Третий пример даст уравнение Клеуо и=хи„+>и„+У(ик, и ), (15) уже рассмотренное в 9 4, п.
4, Преобразование Лежандра пере- водит (15) в простое уравнение и = — / (", 7)). Отсюда мы заключаем, что единственная не развертывающаяся инте- гральная поверхность дифференциального уравнения Клеро задается уравнением (16), илн, в точечных координатах, уравнениями х = — уг(с, '4), >' = — Уч(ч э) (1Т) и = э' — (уе — у)г',. Зто заключение полтверждается следующими вычислениями. Мы диф- ференцируем уравнение (15) и подучаем формулы (х+ Э ) и~к+(у+ У ) и „= О, (х+ Ур) игу+ (у + Уч) и»у = О (здесь Р = и, д = и„); отсюда следует, что для интегральной по- верхности пмеем или 6. Преобразование Леагандра 49 В качестве следующего примера мы рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка — уравнение минималаных поверхностей (см.
также т. !): (1+ ит) и — 2и и и у+ (1+ иа) а = О, (18) нелинейное относительно производных функции а(х, у). Эту кажущуюся трудность можно обойти, приводя уравнение (18) с помощью преобразования Лежандра к виду (1+ та) ю„+ 2сз)юе +(! + аз) взп = О, (19) т. е. к линейному дифференциальному уравнению. Ниже (см. приложение 1 к этой главе, гл. !11, 9 1, и. 4 и т. 1П) мы рассмотрим другие способы линеаризации уравнения (18), которые дают простой полхол к теории минимальных поверхностей. е>налогичное важное применение преобразования Лежандра встречается в гидродинамике') Двумерное стационарное течение сжимаемой жидкости описывается двумя компонентами скорости и, и, заданнымп как функции декартовых координат х, у.
Пусть скорость звука с есть заданная функция от аа + о'-. Движение подчиняется системе уравнений первого порядка и — и =О, 1 (са — и') и — ип(и — пе)+(с' — па) пу = О. В соответствии с этим существует потенциал скоростей р(х, у), такой, что и =у» (' — у')р — 21 р +(с' — 'р')р Решающий шаг в рассмотрении этого нелинейного дифференциаль- ного уравнения заключается в применении преобразования Лежандра Ф+ ю = ах + оу, з>е = и, ~р = и, Ф„=- х, Ф„= у. Для Ф(и, и) получается линейное дифференциальное уравнение вто- рого порядка (са иа) Ф + 2ипФа +(сз — пз) Ф„„=О, которое применяется при решении многих задач гидроднпамикна).
') См. также гл. >г и Курант и Фридрихс [1), стр. 239 — 243. ') Это преобразование может быть непосредственно получено обращением системы функций и(х, >), о(х, >) т. е. введением к, у как функций независимых переменных и, о, Этог метод часто называют мезодом „годографа", так как плоскость вектора скорости и, о, называемая „плоскостью годографа", становятся основной плоскостью (см. гл.
Ч, $ 2), 50 Гл. А Вводные зиме«анна ~ 7. Теорема существования Коши — Ковалевской 1. Введение и примеры. Мы закончим эту главу фундамептзльной теоремой, которая обеспечивает существование дифференциальных уравнений в частных производных и одновременно выяспяег, каким именно образом произвольные функции входят в „общее* решение, Эта теорема принадлежит Коши, который положил начало современной теории дифференциальных уравнений в частных производных.
Софья Ковалевская в своей диссертации, написанной под влиянием Вейерштрасса, провела доказательство в весьма общем виде '). Теорема относится к задаче с начальными значениями, которую мы часто булем называть „задачей Коши". В теореме предполагается, что дифференциальное уравнение и начальные условия, так же как и решение, аналитичны; она относится к системе и дифференциальных уравнений в частных производных, каждое порядка )е, с т неизвестными функциями и', из, ..., и (иногда их записывают кзк и,, ию, и ) от и+ 1 независимых переменных х, у, ...
у„. Предползгается, что эта система имеет „нормальную форму", где переменная х выделена; д" ди~ дйи~~~ « — и'=Т, х, уп ..., у,,—,...,— ~ дхл ~ ' дх дУ« а функции Т, инилитичиы по х, уп ую..., д"и )ду~ в некоторой области многомерного пространства этих переменных. (Это значит, что они могут быть рззложены в степенные ряды по всем этим переменным, сходящиеся в достаточно малой области, относительно которой можно предположить, что она содержит начало координат х=О, У,=О, иг=О.) В „плоскости начальных значений" х=О мы задаем йиг произвольных аналитических функций чп (уп ..., У„) (1 = 1, ..., т; у' = О, ..., Й вЂ” 1) переменных у,, ..., У„в достаточно малой окрестности начала координат уг = О. Задача Коши состоят в том, чтобы построить решение системы (1), которое при х= О принимает начальные значения иг(О, уп ..,, уп)= ", (у,, у„), ..., да 'иг (О Уг ° Ун) = 9ь ь-г (Уг ° Ун) Надо всегда помнить, что эта задача поставлена только в малом, т. е.
для достаточно малой окрестности точки х = О, у, = О, ') См. Адамар (2), сноска на стр. 11. Адамар ссылается на Коши, Ковалевскую, Дарбу и Гурсз. (См, также диссертацию С. В. Ковалевской: Лш Тйеопе «1ег рагнейеп Емйегепй«1й!емйппйеп, Х гегпе ппдеюдл)аИ., 80 (1875), и книгу; Ковалевская С. В., Научные работы, М., 1948.— Прим, ред.) з 7. Теорема сугйесгеоеанил Коши — Ковалевской 51 Основная теорема утверждает, что задача гготи имеет одно и только одно аналитическое решение и'...,, и Достаточно предположить, что й = 1, т. е. рассматривать системы уравнений первого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
