Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Кривая в пространстве х, у, и, несущая эту полосу, есть характеристическая кривая. Но этн полосы образуют трехпараметрическое (или (2п — 1)-параметрическое) семейство; то же самое, вообще говоря, справедливо относительно соответствующих характеристических кривых. а 4. Полный интеграл ф 4. Полный интеграл В гл. !. й 4 полный интеграл и дифференциального уравнения р —.— О, зависящий от двух параметров а и Ь, и=у(х, у, а, Ь), использовался для построения решения, содержащего произвольную функцию ю(а). Построение состояло в том, что рассматривалась огибающая; мы полагали Ь = ю(а) и исключали а из двух уравнений и=и(х, у, а, ю(а)), О =о,+ речи'(а).
Для фиксированного значения а зги уравнения дают линию касания интегральной поверхности и=у(х, у, а, ю(а)) с огибающей. Так как функцию я(а) можно выбрать так, чтобы для некоторого а она принимала произвольное значение Ь, а ее производная ти'(а) имела произвольное значение с, то два уравнения и = р(х, у, а, Ь), О = т,+сть (1) (1') 'аак+ ~9Ьк = ук Мчу+~!геу)' Эта величина пе может обращаться в нуль, так как по определению аакчуь — у ууьк Ф О.
Дифференцируя дифференциальное уравнение ') Конечно, все эти утверждения относятся и достаточно малым областям изменения параметров. дают семейство кривых (зависящих от трех параметров а, Ь, с), которые являются линиями касания при образовании огибающих '). Теперь мы покажем, что кривые, заданные ураенения.ии (1), (1'), являются харантерисгличесиижи приемли нашего дифференииального уравнения. Соответствующие полосы, получаемые с помощью формул р = р (х, у, а, Ь), д = ру (х, у, а, Ь), тогда автоматически будут характеристическими.
Доказательство интуитивно ясно из того, что вдоль наших кривых две различные интегральные поверхности касаются друг друга, а это, квк мы видели в й 3, возможно только вдоль характеристической полосы. гЧы легко можсм проверить это утвержпение прямыми вычислениями. рассмотрим х вместо е в качестве независимой переменной иа нашей кривой; из уравнения (1') с помощью дифференцирования по х получим 94 Г ь 11. Общая теория уравнений аереага порядка Р = О с и =гР(х, у, а, Ь) сначала по а, а потом по Ь, мы получим уравнения Рада + РРРак+ Реуаг = О' (3) Риеь + РрРьк+ РеРьг Умножая второе уравнение на с, складывая с первым и учитывая(1') и (2), мы получаем Рру„— Р =О. Согласно Э 3, п.
1, (3), если Р чь О, то это выражает тот факт, что наши кривые являются р характеристическими. Для наших выводов очень существенным является предположение, что Р~~+Р~~+ О в рассматриваемой области. Отсюда следует, что всякий полный интеграл дифференциального уравнения с частными производными дает трехпараметрнческое семейство характеристических кривых и полос. (Выбор х в качестве независимого переменного вместо симметричного представления через параметр е не приводит ни к каким существенным трудностям.) Таким образом, мы обратили рассуждения из Э 3, т. е.
мы получили решения характеристических дифференциальных уравнений из полного интеграла дифференциального уравнения с частными производными. Тот же путь будет снова использован ниже в э 7. Таким образом мы, вообще говоря, получаем все характеристики н соответственно решения дифференциального уравнения с частными производными. Это становится очевидным, если мы предположим, что в каждой точке любой интегральной поверхности, на которой Рр+ Ре эь О, мы можем задать решение из семейства и = э(х, у, а, Ь), касающееся нашей поверхности в этой точке. Пелесообразно сделать последнее замечание, касающееся роли особого решения. Согласно гл.
1, э 4, п. 3, это решение получается как огибающая двухпараметрнческого семейства и= — р(х, у, а, Ь), или, если не обращаться к полному интегралу, с помощью исключения р и д из уравнений Р= О, Р =О, Р =О. Для особого решения не справедливы никакие рассуждения этого параграфа, так как мы все время предполагалн, что на наших интегральных поверхностях выполняется условие Рр+Р чь О. 2 г Исключительная природа особого решения становится ясной также из того, что характеристическое начальное условие Рруг Р хг О е а Б.
Фокальнь~е ьривьье и уравнение Л!оижа 95 выполняется тождественно, независимо от того, как выбрана началь- ная кривая. Любая полоса нз особом решении является в этом смысле характеристической, ф 5. гранильные кривые и уравнение Монжа В 9 3, п, ! фокальные кривые задавались системой дифференциальных уравнениИ (3), где величины р и д подчинялись дополнительному условию г".(х, у, и, р, д) =О.
Если мы предположим, что Р Ф О, и введем х вместо з в качестве независимой переменноИ вдоль кривых, то будут иметь место следующие три уравнения иу г ти ррр+ ура Исключая р и д из этих уравнений, приходим к одному обыкновенному дифференциальному уравнению М(х, у, и, — „, — „)=О (2) (2') где функция М олнородна относительно последних трех аргументов. Обратно, если лана уравнение Монжа М (х, у, и, у', и') = О, то мы можем построить соответствующее дифференциальное уравнение в частных производных, исключив величины у' и и' из уравнения М = О и из двух урзвнений, определяющих касательную плоскость, содержащую линейный элемент г(х, а~у, г(и: Л! у'Л1 . -)-и'Л(ь, В результате мы получаем уравнение Р(х, у, и, р, д) =О (переход к представлению конуса Монжа через касательные плоскости).
Таким образом, уравнение Монжа (т. е. обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с двумя неизвестными функциями) и дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка для функции двух независимых переменных описывают одну и ту же с двумя неизвестными функциями у и и. Это уравнение называется дифференциальным уравнением Монлса. Это простой пример недоопределснной системы обыкновенных дифференциальных уравнений; это уравнение представляет собой условие на направление образующих конуса Монжа, в то время как исходное дифференциальное уравнение в частных производных Р=О является соотношением, которому удовлетворяют касательные плоскости конуса Монжа.
В терминах параметра з (а не х) уравнение этого конуса имеет вид Гл. П. ОбнЬал георнп уравнений первемо порядка геометрическую конфигурацию, а именно конус с вершиной в точке (х, у, и). Уравнения гч = О н Л( = О двойственны друг другу в смысле проективной геометрии. Решения уравнения Монжа — фокальныс кривые — это кривые, которые в каждой точке касаются некоторой характеристической кривой. Из рассмотрений, проведенных в 9 3, и. 3, мы можем вывести, что эти фокальные кривые (за исключением самих характеристических кривых) получаются как огибающие характеристических кривых на интегральной поверхности дифференциального уравнения то = О (если такие огибающие существуют).
Это приводит к замечательной теории решения произвольных уравнений Монжа. На первый взгляд нахождение функций и и у пз уравнения Монжа требует наложения некоторого произвольного условия Ю'(х, у, и)=О и последующего интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения, полученного исключением и или у; отсюда следовало бы, что таких процессов интегрирования существует бесконечно много.
С помощью такого метода не получается никакого общего представления для всех решений уравнения Монжа (2) через произвольную функцию. Однако с помощью полного интеграла можно дать явное решение уравнения Монжа, зависящее от произвольной функции и не требующее дальнейшего интегрирования. Мы получим это „явное" решение, предполагая, что известен полный интеграл и =- й (х, у, а, б) дифференциального уравнения с частными производными. эквивалентного уравнению Монжа. К двум уравнениям и=сь(х, у, а, ев(а)), О =~р (х, у, а, то(а))+р (х, у, а, и(а))и'(а), (3) определяющим семейство характеристических кривых, зависящлх от параметра и на интегральной поверхности (ср. стр, 93), мы должны добавить третье уравнение 'топ+ 2рвьтв~ (а) + тььтвз (а) + сььа и (а) = О, (4) полученное дифференцированием по а.
Эти три уравнения задают пространственную кривую, зависящую от параметра а, а именно, огибающую характеристических кривых. Они дадут искомое решение уравнения Монжа, если и и у выразить как функции х с помощью процесса исключения. Чтобы представить все решения данного недоопределенного „диофантова" обыкновенного дифференциального уравнения (2) в виде (3), (4), надо сначала заменить его эквивалентным дифференциальным уравнением с частными производными Р = О, а затем найти полный интеграл. 4 6.
Примеры 97 1. Дифференциальное уравнение световых лучей (афтаб и)' = 1, Рассмотрим дифференциальные уравнения и'+гр= ! в у для функции и(х, у) и и'+ и'+ из =- 1 х у (2) для функции и(х, у, г). Эти уравнения встречаются, например, в геометрической оптике. Поверхности и=сопя! представляют собой фронт волны, а характер|ктикн — световые лучи; более общее дифференциальное уравнение и', + и' + и', = п (х, у, г) (3) описывает фронт волны прн распространении света в неоднородной среде с переменным коэффициентом преломления а (х, у, з). Мы сначала рассмотрим случай двух независимых переменных, для которого мы получили (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
