Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 25
Текст из файла (страница 25)
1, гл, !Ч, 9 9 и 9 9 этой главы) мы часто приходим к дифференциальным уравнениям вила (10). Система обыкновенных дифференциальных уравнений (10) связанная с функцией Н (х,, х,, ..., х„, х, р,, ра , р„) 2л + 1 переменных, называется наноначесной системой дифференциальных уравнений. Из результатов этого пункта следует, что интегрирование дифференциального уравнения с частными производными (9) можно свести к интегрированию канонической системы с той же функцией Н.
а 8 Полный ннгегрол и теория Гомильтоно — Якоои 115 ~ кк;ак ( (12) отличен от нуля, то выражение зависящее от п+! параметров, называется полным интегралом. Основное содержание рассматриваемой здесь теории заключается в следующей теореме, аналогичной результатам, доказанным в п. 1. Если дли дифференциального уравнения (9) и„+Н(хп х„..., х„, х, и,, и,, ..., и„)=0 полный интеграл и=<р(хы хг, ..., х„, х, ап а,, ..., ан)+а известен, то из уравнений <р =ди як,=р, (1=1, 2, ..., п) (13) 3. Теория Гамильтона — Якоби.
Гамильтон и Якоби получили более сильный результат, показав, что это соответствие можно обратить. Конечно, интегрирование дифференциального уравнения в частных производных обычно считается более трудной задачей, чем интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений, Однако в математической физике мы часто приходим к системам обыкновенных дифференциальных уравнений в канонической форме.
Может оказаться, что эти системы трудно интегрировать элементарными методами, в то время как к соответствующему дифференциальному уравнению с частными произволными можно найти подход; в частности, иногда можно легко найти полный интеграл, например, с помощью разделения переменных (см. гл. 1, э" 3). Зная полный интеграл, можно решить соответствующую характеристическую систему обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью дифференцирования и исключения.
Этот факт, который уже содержится в ранее приведенных результатах в 9 4 и 9 8, п. 1, формулируется особенно просто для случая канонических дифференциальных уравнений и проверяется аналитически, независимо от приведенных выше наводящих соображений, с помощью построения огибающих, Прежде всего мы заново сформулируем понятие „полного интеграла" для дифференциального уравнения (9). Заметим, что для любого решения и этого дифференциального уравнения функция.и+а (с произвольной постоянной а) также является решением. Если и=Я(хц хг, ..., х„.
х, аы аг ..., а„) — решение, зависящее от и параметров а,, такое, что определитель 11б Гж Н. Общая теория уравнений первого порядка с 2л ароизвольнылеи параметрами а, и д, получается (неявно) 2п-параметрическое семейство решений канонической системы дифференциальных уравнений (10) йх. ар, Предположим, что нз первых и уравнений (13) величины х, выражены как функции от х н 2а параметров аи д! (это возможно, так как по предположению !еь ! чь 0), и будем считать, кроме того, леля ! что этн значения х! подставлены во вторую серию уравнений (13); таким образом, мы получим функции хе(х) и р,(х), тоже зависящие от 2л параметров. Мы увидим, что этн функции дают общее решение системы канонических дифференциальных уравнений.
Тем самым решение этой системы сводится к задаче отыскания полного интеграла соответствующего дифференциального уравнения в частных производных. Самым коротким доказательством этого утверждения является простая проверка, аналогичная той, которая проведена в п. 1 '). Чтобы показать, что так определенные функции хг(х) и р,(х) удовлетворяют уравнениям (10), мы продифференцнруем уравнения ол, = Ь, по х н уравнение "! +Н(хе, х, о )=0 по а,; мы получим 2н уравнений дет С! деэ дхь +С ' . О дх да; ллл дхь да! дх ь=! л ь=! нз которых слелует первая серия уравнений (10), так как определитель ~!1,, ) не обращается в нуль.
Чтобы проверить вторую серию 'ь'! соотношений (10), мы продифференцируем уравнения р =р„по х и уравнение слл+Н(хг, х, !лл,)=-0 по х! н получим уравнения л йр! дет ~~ дьт дхь их дхдх; ми дх;дхь дх ' ь=! (14) л дет Ъ дьт дхдх! + л В !'ь дхь дх; + ь=! ') Разница мевелу этн» доказательством и доказательством из и 1 со. гтонт в го», ч!о злее! оставлены несимметричные обозначен!гя. Э 8.
Пряный интеграл и теория Галшяьтона — Якоби !17 тгхг = У тгуг = Уу, 3 т,«,=У,, г«з= и,, 2 (15) тгх. = (/к, г' тгуг = Ут г гле мы полагаем У— .гт,ог, р (х, — хг)'+(у, — у,)г+ («, --«,)г Легко видеть, что такое движение всегла будет происходить в некоторой плоскости; поэтому мы можем выбрать плоскость, в которой происходит движение, эа плоскость х, у нашей координатной системы и считать, что точка Ре расположена в начале координат. Тогда для положения (х, у) частицы Р, мы получаем уравнения дг .Н"=(У„, т,у'=(У, (7= 1' хе+ уз где и'=х'т т . Если мы авелем функцию Гамильтона (16) г г lг' и = — (рэ+ г72) — --, уг1— (17) 2 )глхг+ уг т< то система (16) окончательно перейдет з гганоничесггуго систему дггффереийггильиых уравнений х=Н.
е' (18) Я= — Н У у=Н, для величин х, у, р = х, г7 = у; интегрирование эквивалентно задаче нахождении полного ннтеграла ного уравнения с частными производными ') д, 2к" г~ 1'х'+" этих уравнений дифференциаль- (19) Если мы введем полярные коорлинаты г, 6, то мы почучим из (19) уравнение (20) ) Сч, тьоие го 1, й и, п ! ооииер 4 Так как мы уже локазали, что г(х,гь(х=Нр,, отсюда сразу получается вторая серия соотношений (10). 4. Пример. Задача двух тел.
Лвижение двух притягивающих друг друга частиц Р, и Ра согласно закону тяготения Ньютона, описывается дифференциальными уравнениями 118 Гя. 1!. Общая теория уравнений первого нарядно ясно, что зто уравнение имеет семейство решений 2лг рт о = — а1 — р0 — ~ ~/ 2а+ — — —, е(р, (21) Р Р тц зависящее от параметров а и р. Согласно основной теореме из п. 3, мы получаем тогда общее решение системы (18) в виде — 0о да о' дд или в явной форме дР то ~ Г 2лг да 1 т, ~/ 2а+ — —— Р Р (22) дР 8 — 8о=р ~ — / 2аг т. Р'1тг 2а+ — ' — —, Р Р Второе уравнение дает нам траенпторив (или путь частицы), первое определяет движение по этому пути как функцию времени Г.
Если'ввести переменную интегрирования р'=1Гр, то траектория вычисляется в явном виде и дается формулой 02 — — — 1 а т' 8 — 0о= — шс зш Г, Рот' или, если мы положим дт Г 2аат р= — "= 1+ —" ле 1 формулой 0 — бо —— — агс а!п р/т — 1 т т.
е р 1 — е В!п( — а,) ' Траектория является эллипсом, параболой или гиперболой, если а е. 1, а = 1 или е ) 1 соответственно '). 6. Пример. Геодезические на эллипсоиде. Дифференциальные уравнения геодезических и= и(а), о=о(в) на поверхности х=х(и, о), у=у(и, о), а=а(и, о), ') Общее рассмотрение уравнений (22) см. в книге Курант [11, 119 8 8 77ояный интеероя и теория Гамильтоне — 77ноби согласно изложенному в т. 1, гл.
И, 9 9, могут быль записаны в следующей канонической форме ре = — Н„, ~у, = — Н„, и,=Ня, о,=Н, (23) где мы полагаем р = Еи, + Ро„ )=ри,+Ооя Н = —, —; (Орз — 2Ррд-)-Ег)'), причем Е = х, + у', + х'е Е = х„х„+ у„уо+ г„г, О = х-"„+ у + г', Следуя п. 3, мы рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных ~ + 2 ЕО Ет(Оф„— 2Рф„Ро+ Еф= О, (24) 1 1 соответствующее системе (23); наша пель состоит в том, чтобы найти полный интеграл этого уравнения. Если положить 1 ф= — —,г+ф(и, о), 2 то функция ф будет удовлетворять уравнению' ) Оф'„— 2Рфи ф, + Еф'„= ЕΠ— Ра. (25) — = С. дф ди (26) В частном случае зллилсоида ут — + — + — =1 (а, д, с>О), а Ь е ') См, также 5 9, и, 3. Нас интересуют интегральные кривые системы, а не специальное параметрическое представление этих кривых; следовательно, достаточно найти однопараметрическое семейство решений ф(и, о, а) уравнения (25), из которого, согласно основной теореме (п.
3), можно получить двухпараметрическое семейство геодезических в виде 120 Гп. 11, Общая теория уравнений первого порядка как легко проверить, имеет место следующее параметрическое представление (см. т. 1, стр. 200): х= 1 =,/ а (и — а) (в — а) (Ь вЂ” а) (с — а) Ь(а — Ь) (а-- Ь) У (с — Ь) (а — Ь) с (и — с) (а — с) (а — с) (Ь вЂ” с) (27) Отсюда следует, что й .= (гс — о) А (и), Р=О, (28) (1 == (о — и) А (о), где использовано сокращенное обозначение 1 и 4 (а — и) (Ь вЂ” и) (с — и) Таким образом, для функции ф(и, о) мы получаем дифференциальное уравнение с частными проиаводными А(о) фг — А(и) гьг =(и — о) А(и) А(о), (29) и, полагая ф (и, о) = Г (и) + д (о), мы сразу находим семейство решений и Р ф(и, о, а)= ~ Ь А(и')(и'+ а)с(и' + ~ 1 А(о')(ту+а)до', (30) А (тг) (81) ~ У.
Теории Гамильтона — )скоби и вариационное исчисление Теория Гамильтона — Якоби дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка тесно связана с классическим вар иационным исчислением '). Нахождение решений уравнений ') См. обширный труд Каратеолори [1Р зависящее от параметра а. По формуле (26) мы находим уравнение геодезичестссгх на вллипсоиде: б 9, ! еороя Гамильтона — Якоби и еориацчок«ое исчисление 121 с частными производными первого порядка, в которые явно не входит неизвестная функция, эквивалентно отысканию таких функций и,(з), что вариация интеграла ! е'= =)! Р(и,, и,, ия, и,, иа, ..., ич, з)атз (1) т !.
Дифференциальное уравнение Эйлера в каноническом виде. Экстремал«вариан«анной задачи (1) (см. т, 1, гл. 1'ьт) задаются системой и дттфференцттальных уравнений Эйлера. Это уравнения !порога порядка для функций и,(е); — — Рй — Р =О (ч= 1, 2, ..., и). Н (2) Теперь мы можем (см, т, 1, гл, 1т?, 2 9) заменить вариационную ,.адачу эквивалентной канонической вариационной задачей, которая приводит к системе 2п канонических дифференциальных уравнений первого порядка для экстремалей. С этой цечью мы вводим „моменты" Е ° — о (ч — 1,2,...,п) (3) с помощью преобразования с?елсандра. ?т(ы предполагаем, что величины и, можно опрелелить из уравнений (3) в некоторой области изменения переменных иь, ис, а как функц«и переменных о,, и,, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
