Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Вариация постоянных. (Теория канонических возмущений.) Другим приложением теории канонических преобразований является теория канонических аоз.нугпений', применяемая в физике п астрономии. Предположим, что функция с имеет вид суммы 7.=7., ~оо а,, г)+Р. (оо а,, з) (7) и что уже проинтегрированы канонические дифференциальные уравнения с функцией 7ч, т, е. мы уже имеем полный интеграл 1(и,, а„, з) дифференциального уравнения с частными производными .7, + сч ( д, а,, з) = О.

Тогда мы преобразуем канонические дифференциальные уравнения, соответствующие функции 7., взяв /(ио а,, а) в качестве функции %', порождающей каноническое преобразование. Другими словами, мы вводим канонически сопряженные переменные с помощью формул о, =/о, о),= — у и новую функцию Лежандра Л=7. +/,=7.— /, =Ц Если бы не было „возмущающего члена" Ц, т. е. если бы он равнялся нулю, то, согласно п.

2, новые канонически сопряженные переменные для каждой траектории системы дифференциальных уравнений были бы постоянными. Из-за возмучцающего члена Ц они 138 Приложение ! к гл. П переходят з новые переменные, удовлетворяющие каноническим „уравнениям возмущений" д1, дЕ, де., В некоторых случаях удается существенно упростить задачу путем такого разложения задачи интегрирования. ПРИ,Г!ОЖЕНИЕ ! К ГЛАВЕ И 9 !. Дальнейшее изучение характеристических многообразий В этом параграфе будет применен несколько другов подход; характеристики будут введены таким способом, который можно обобщить па дифференциальные уравнения высших порядков.

1. Замечании о дифференцировании в пространстве и измерений. В некоторой области изменения независимых переменных х,, х, ..., х„ рассмотрим функцию и(хг, хю ..., х„) с непрерывными производными. В точке Р с координатами х,, х,, ..., х„ числа аы а, ..., а„, составляющие вектор а, можно задать гак, что аз+ а,'+... + ае вл О. Через точку Р проведем прямую, точки которой выражаются через параметр з следующим образом: х,+ а1з, х,+ азз...,, х„+ а,л.

Тогда П да та — — г,а,и, дз называется производной функции и по л или производной и „в направлении", заданном вектором а. Следовательно, в каждои точке символ л Г 1 обозначает дифференцирование в направлении вектора а'), ') Если величины и; являются непрерывно дифференцнруемымн функциями положения и~(хь х,, ..., х„), то направления, заданные функциями и~ в каждой точке пространства, образуют иоле нанравлеиись траектории которого однозначно определяются систе- 139 б !. Характеристические миогообразил Рассмотрим в и-мерно!! пространстве (и — 1)-мерную поверхностьВ: !р(х2, х,, ..., х„)=0 и функцию и(х,, х2, ..., х„), производные которой непрерывны в некоторой окрестности поверхности В.

Далее, пусть Р есть точка поверхности В, в которой а Х~! +О, 2=! н пусть а Ф 0 — произвольный вектор. Мы будем рассматривать производную и на В в направлении, заданном вектором а: ди — = лч~) ати~р (1) 2-! Если выподняются равенства а! =)лук (Г= 1, 2, ..., п), то выражение (1) называется производной „по направлению пора мали', в частности, если У аз=1, так что = ~/~„; то мы будем говорить о „иорлгальнои'" произеодной функции и в точке Р. Если вектор а касается В в точке Р и, следовательно, перпендикулярен нормали в Р, т. е. если ~ а2!р ! 1 мой обыкновенных дифференциальных уравнений дх! — ' = а, (!'= 1, 2, ..., п).

де Таким образом, д(де обозначает дифференцирование по этому параметру з, Здесь з ие обязательно должно быть длиной дуги траектории; однако, если и длину луги обозначить через а, то т связано с з уравнением (да/дз)2 — ~ аз. ! 1 Производная функции и вдоль кривой по длине дуги ч в соответствии с этим определяется формулой и ди 1 ~~ ди ~/'5. 2 ! 1 ! ! Приложение 1 х гл. П л то ди)дз = ~~ аги называется „тангенциальной" производной, г-! или „внутренней" производной на поверхности В; при этом говорят, что она „лежит на поверхности В"; с другой стороны, если л ~ ар + О, то ди)дз называется „выводящей" производной, вы!=! водящей из поверхности В.

Например, выражения д д 9х — — !гх л! дхь ль "дх (2) л л ~~ а,и„=и ч~з а! су + ~,'„иг ~' а,(1 )„ ь=т ! ! при условии, что ~ а!!ул =О, известно, если заданы значения ! и(0,,'т, ..., $„) функции и на В. Очевидно, что из и — 1 взаимно независимых внутренних производных функции и, лежащих на В (например, !ул,дигдх„— !ул дигдх, если !ул ги О, 1=1, 2, ..., и — 1), и одной выводящей производной (например, и ), образуя их линейные комбинации, мы можем получить все производные функции и, Таким образом, все производные ил известны, если на В заданы функция и и одна ее выводящая производная. В частности, если и = 2 и х, = х, х, = у, то  — кривая на плоскости х, у, которую можно задать с помощью двух функций х(т), у(т) параметра т В этом случае условие внутреннего вифференциро- для любой пары индексов 1 чь и представляют собой внутренние производные на поверхности; мы можем считать, что формула (2) дает производную в направлении, полученном при пересечении поверхности !а= 0 двумерной плоскостью, проходящей через го в направлении осей х; и хь.

Вну!пренние производные функции и на поверхности зависят только от значений и на самой поверхносгпи; следовательно, они известны, если известны значения и на поверхности В. В самом деле, если в некоторой окрестности В мы введем вместо хо х, ..., х„новые независимые переменные с!, е, такие, что ';,, ', ...,:,„являются и — 1 независимыми параметрами на В, а 1! = т, то и, =и эл +.... где точки заменяют выражет л! ния, содержащие только производные и по внутренним параметрам (т, 'чт, ..., с„. Поэтому выражение 141 д Д Характеристические мкагаабрааал вания по В имеет простой вид и1ду)ик — агдх/ит=О, или, если выбрать соответствующий параметр г вместо с, их а,= —, де ' иу иг сМ ' у(хы х,, ..., х )=О; (3) ранее (сьн й 7) такое многообразие определялось и координатами х, как функциями и — 1 независимых параметров 1ы бм ..., 1„н Задавая значения функции и=и(Г,, 1г, ..., ~„,) в точках этого многообразия В, мы расширим В до многообразия С в пространстве х, и.

Точно так же, добавляя еще и функций рн р, ..., р„переменных Гн Гг...,, 1„н УдовлетвоРЯющих на В Условию полосы ди = .~,'г рг дхр ! =.1 (3') или, в параметрическом представлении, ди Ъ~ дх; дг„лй ~ дг, ' 1=1 мы можем расширить В до мнагаабралил палас С,. Опять, не решая фактически задачу Коши, мы поставим следующий вопрос. Рассмотрим начальное многообразие В с заданными значениями и или соответственно и и р, Предположим, что функция п(хн х, ..., х,) с заданными начальными значениями в некоторой произвольно малой окрестности многообразия В удовлетворяет уравнению Р(хн и, и, ) = О, Что следует из дифференциального уравпения лля функции и и ее производных на начальном многообразии В? Сначала мы рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравне- ние ~я~~ и,и, =и.

! ~ -"1 (4) Б точке многообразия В, тле задана начальная функция и, соотношениями дх,/де=а; определяется некоторое особое направление дифл ференцирования д)да = лл а, д)дх, в и-мерном пространстве х. Такое е.1 нффереинировапне и направление дифференцирования в этой гочка 2. Задача Коши. Характеристические многообразии. Теперь мы изменим данную выше (см. й 7) формулировку задачи Коши, отнеся все наша утверждения к и-мерному пространству х. Пусть в этом пространстве основное (и — 1)-мерное многообразие В задано соотношением Приложение / к гл.

П т. е. оно определяет величину характеристической производной функции и на В, так как правая часть известна на В. Имеет место следующая альтернатива. В рассматриваемой точке В выполняется либо соотношение Т вЂ” — 1~ а,'т на О, 1 =. 1 (6) либо соотношение 7=1 агР (7) Если выполняется соотношение (6), то характерисжшеское направление в этой точке выводит из многообразия В. Уравнение (5), а следовательно, и дифференциальное уравнение (4), дает выводящую производную и; таким образом, все первые производные функции и на В или в рассматриваемой точке В определены значением и на одном только многообразии В и дифференциальным уравнением.

Если мы применим этот результат к дифференциальному уравнению, предварительно проднфференцировав его по независимым переменнылн например, по х», то мы увидим. что старшие производные и на В также однозначно определены. Если выполняется уравнение (7), называемое харакгггеристическим соотношением, то ди/дз есть внутренняя производная на В и, следовательно, уже известна, так как на В задана функция и.

Таким образом, соотношение (5) является ограничением на способ задания функции и на В; это условие должно выполняться. если мы хотим, чтобы решение и нашего дифференциально~о уравнения существовало в окрестности В и принимало заданные начальные значения на В. Если оба соотношения (б) и (7) удовлетворяются в каждой точке Р многообразия В, то В вместе с заданной функцией и называется характеристическим многообразием '), Дру~ими словами, а точке Р заданного многообразия 7=0, ни котором произвольным образом заданы значения и. дифференциальное уравнение либо однозначным образом определяет ') Легко видеть, что величина т совпадает с опредслнтелеч, рассмотренным в $ 7, с точностью до множителя, отличного от нуля; следовательно, данное только что определение характеристического многообразия »квнвалентно прежнему определению.

называются характеристическим дифференцирование,н и характеригтически,н каяраллеиием. Теперь дифференциальное урзвнсние принимает вид ии йл (5) а Д Характеростическ!ге многообразия лроизводные и, либо налагает ограничения иа заданные начальные значения и '). Аналогичные рассуждения справедливы для общего дифференциального уравнения (1) из й 7: Тг(х!, хз, ..., х„, и, Рп Рз, ..., Р„)=0. Дифференцируя по независимым переменным и применяя соотношение др,гдх, = др,.(дх,, мы заменяем это уравнение системой (квааилинейных) дифференциальных уравнений, линейных ') относительно производных др„гдх,: у Рр — !+В„р,+Р,,=О (г=.1, 2, ..., л).

(8) В качестве начального многообразия мы снова берем многообразие В: о=О. Мы предполагаем, что функции и(хп х, ..., х„), р, (х,, х,, ..., хо), ..., р„(х,, х,, ..., х„), заданные на В, удовлетворяют соотношению Р = 0 и соотношению полосы (3') Ни = ~а р„агхс =1 г! ° =! Соотношения (8) на многообразии В переходят в равенства др — ' = — Є— Ргро. дз (10) В некоторой точке В они приводят к следующей альтернативе выполняется либо соотношение Т = Х Т,. Р чь 0 (11) либо соотношение ~Т, Р =О.

Характеристики

Список файлов книги