Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 32
Текст из файла (страница 32)
подробности в гл. К, 9 9) «условие скачка» [г'[ = — (Т [и], где (Т вЂ” скорость распростраиеиия разрыва, а символ [5[ обозначает скачок иа разрыве функции д. В случае малых разрывов мы имеем [у[ оу (з' = — — ж — — = — а. [и[ ни Так как — а есть скорость, соответствующая иаклоиу характеристической кривой, то мы заключаем, что малые разрывы распространяются почти с характеристической скоростью.
Рассмотрим пример ХЁ з[ и ссх = 2 ит(ха) — -яя- и'(х,). к, (4) Выполняя дифферекцировакие, получаем и,=ии„. Разделив иа и, находим — '=([оди),=ия. (5) Обозначив 1оии через и, мы можем переписать (5) как закон сохранения -~ ~ и с(х = ехр о (ха) — ехр о (х,). (5') к, Условием скачка (3) для закона сохранения (4) является соотношение — = — и, и,+и, 2 (6) Далее, в гл. Ч и Ч[, мы будем изучать „ударные" разрывы для систем законов сохраиеиия в пространстве любого числа измерений. Мы увидим, что качественные свойства разрывных решений одиого закона сохранения такие же, как свойства решений систем, физически более интересных. Предположим, что функция г ие зависит явно от х и 1, и обозначим сокращенно Т'„ через а = а(а).
Пусть и(х, Е) — кусочио-диффереицируемая функция, которая удовлетворяет интегральному уравнению (2). Тогла функция и должна быть решением диффереициальпого уравкеиия 166 Дрнложение г н гд 1) где и, и и — значения и с разных сторон линии разрыва. Для (5') условие скачка имеет внд еш — еш = — У. о~ — ое Из этих условий мы заключаем, что если и есть разрывное решение уравнения (4), то о=)оа'и не является решением уравнения (У). Можно сказать, что условия скачка не инвариантны относительно замены зависимой переменной; два закона сохранения, такие, как (4) и (5), могут соответствовать одному и тому же дифференциальному уравнению для гладких решений, но как законы сохранения для разрывных решений онн не обязательно эквивалентны.
Далее мы покажем на примере. что решения законов сохранения не определяюнгся однозначно своими начальными значениями. Мы снова возьмем закон сохранения (4), Функция 1 для 2х< — 1, и(х, г)= 0 для — г <'2х есть разрывное решение уравнения (4), так как по обе стороны прямой 2х = — г функция и постоянна и, следовательно, является гладким решением уравнения (4), а на линии разрыва 2х=1 выполняется условие скачка (6).
С другой стороны, функция 1 для х< — 1, и'(х, 1) = — — для — Г < х < О, г 0 для 0 <х непрерывна при положительных С и удовлетворяет дифференциальному уравнению всюду, за исключением линий х = 0 и х = — Г. Отсюда с помощью интегрирования легко заключить, что и' есть непрерывное решение уравнения (4). Решения и и и' принимают одинаковые значения прн 1=0.
Можно доказать более общий факт, а именно, что для произвольных начальных значений существует несчетное множество разрывных решений, принимающих эти начальные значения. Среди всех этих разрывных решений существует только одно решение, имеющее физический смысл. Это решение мы будем называть допустимым решением. Нам необходим математический признак, характеризующий допустимые решения. Рассуждение, которое мы применяли раньше для выяснения возникновения разрывов при пересечении характеристик, подсказывает такой прианак. Разрыв является допустимым, если он лишает характеристики возможности пересекаться.
Таким образом, мы получаем следующий критерий. Разрывное решение доиусшимо, 15Т Теория законов еокраненая если любая линия разрыва пересекается с каждой стороны характеристиками, идущими вперед. Аналитически это условие означает, что для допустимого разрыва выполняется соотношение — и (ие) )~ («)~ — и (ил), где и и ил — значения и соответственно слева и справа от линии разрыва, а У вЂ” скорость распространения разрыва.
Жермен и Бадер [1[ показали, что два допустимых разрывных решения, принимающих при С = 0 одинаковые значения, совпадают тождественно. Более общее определение допустимого решения и более общая теорема единственности даны Олейник [2,3]. Можно сформулировать аналогичное условие допустимости для разрывов решений систем законов сохранения.
Если такое условие применить к уравнениям течения сжимаемой жидкости, то оно окаекется аналитически зквнвалентным утверждению, что прн переходе через разрыв зжгропия потока возрастает. Теперь мы докаже$ явную формулу для допустимых решений закона сохранения с произвольными начальными условиями. Эта формула выведена Хопфом [3[, Олейник [1[ и Лаксом [3[. Мы предположим, что и (и) — монотонная функция и; отсюда следует, что функция / (и) выпукла нли вогнута.
Пусть л (е) — сопряженная функция для выпуклой (вогнутой) функции г'(и), заданная формулой д'(е) = шах(ш1п) [из+ «'(и)[; а мы обозначим через Ь(е) производную д по е. Г!усть р(х) — задан- ные начальные значения и(х, 0) =у(л). Пусть Ф(у) есть интеграл от в, т. е. иФ д =~(у) а« Рассмотрим функцию Ф(у)+~а( — ", «[; прн фиксированных х и 1 это непрерывная функция у. Легко показать, что при фиксированном С и за исключением счетного множества значений л зта функция имеет единственный максимум (или минимум) по у; положение итого максимума мы обозначим через уо(х, 1).
Положим и (л, 1) = Ь ~ — — '); 158 Приложение 2 к гл. П Л(ы утверждаем, что функция и, определенная формулой' (7), есть допустимое решение уривнения (1), соответствующее начальному значению ~у. Доказательство этого утверждения и дальнейшие свойства решений, заданных этой формулой, см., например, в работе Лакса [2) '). Теорема существования для законов сохранения с меньшими ограничениями на функцию у' была доказана Калашниковым [1)а). ') См. также Олейник [1, 4).
— Прим. ред. ') Возможен другой подход к определению допустимых решений, связанный с рассмотрением „напои вязкости'. Так, например, допустимое решение уравнения (1) может быть определено как предел при ь — ьО решений параболического ураваении и, = и(и) и„+ли л, где ь > О (см. Олейник [4) и Гельфанд [1) ). — Прим, ред. Глава ггг' ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Вопросы, связанные с дифференциальными уравнениями в частных производных порядка выше перво~о, настолько разнообразны, что построение единой общей теории [как в гл. В) не представляется возможным. Существенное различие имеется между несколькими типами дифференциальных уравнений, называемых „эллиптическими", „гиперболическими" и,,параболическими"; уравнения каждого из названных типов обладают совершенно разными чертами в вопросах, касающихся построения решений и их свойств' ).
В этой главе мы введем классификацию уравнений, руководствуясь примерамн, представляющими физический интерес. Кроме того, мы предварительно обсудим методы решения важнейших задач. Следующие главы будут в основном посвящены систематической теории эллиптических и гиперболических задач д). Некоторые классические уравнения второго порядка для функции и [х, у, г) могут служить представителями различных типов: уравнение Лапласа [эллиптический тип): и„+ и „+ и„= О, волновое уравнение [гиперболический тип): и „+ и „ — и„ = О, уравнение теплопроводности [параболический тип): и, = и, + и 9 1.
Канонический вид линейных и квазилинейных дифференциальных операторов второго порядка с двумя независимыми переменными Для линейных, а также квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка (нли для соответствующих систем двух уравнений первого порядка) с двумя незавнсимымп переменными классификацию можно произвести с помощью явных элементарных ') Более общий н абстрактный подход см. в работах Хермандера [4], Мальгранжа [1] н Зренпрейса [1]. Обзор современных проблем см.
в статье Петровского [2]. [См. книгу Ногшапбег 1, Б!пеаг рагна1 о!!!егеп!!а! орега!ога, Брг!пиег — дгег!ад, Вегнп, 1988. Готовится русский перевод. Си. также книгу; Г ел ь фа нд И. М.. Ш илов Г. Е., Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений, фтчатгнз, М., 1958, — Приди рад.] ') См, также изложение Хельвига [1]. !60 Гд П! Лиффврвнчиалвныв уравнения высших норяднсв операций, не обращаясь к общей теории. Такая классификация возникает из попытки найти простые канонические формы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
