Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Прея<де всего мы замечаем, что иа С известна внутренняя про- изводная и са — и ср . Как следствие этого, мы получаем иа С соотношение между и„ и и вида и= — ти+..., где т= — са /с1 '), а точки здесь и ниже заменяют известные иа С У величины. Подставляя и в диффереициальиое уравнение, получаем па С Ь)[и]=(сас) — тдс~]и«'+ ... =0 (у'=1, ..., и), т. е. систему линейных уравнений отиосительио й производных ссс. «' Отсюда получается необходимое и достаточное условие для того, чтобы можно было однозначно определить все первые производные иа С: с',с=]]а с — то~с)~~=]А — «В] -р 0; (2) се называется характеристическим определителем системы (1).
Если с',) ~ 0 иа кривых су=сопз1, то эти кривые называются свободными. Любую такую кривую можно дополиить до „полосы", ') Без ограшшеиия обьчиости иы можем считать, что 1« ~-. 0 иа рассиасризаемой части С. 176 Гл, П1. Дифференииояьные уравнении вьееших порядков удовлетворяющей системе (1). Начальные данные выбираются произвольно. Если т(х, у) — действительное решение алгебраического уравнения Я О степени и относительно т, то кривые С, определенные обыкновенным дифференциальным уравнением ах 1 бх; ду=к или 11)х, у, — 1=0, ду)— (й) называются характеристическими кривыми. Как мы сейчас увидим, для характеристических кривых, вообще говоря, невозможно продолжить начальные данные так, чтобы получилась интегральная полоса. Если уравнение Я=О не имеет действительных корней т, то все кривые — свободные; продолжение начальных данных до полосы всегда возможно, причем единственным способом.
Система тогда называется эллиптической. В случае, когда уравнение Я=О имеет )г действительных корней, причем все эти корни различны, система называется вполне гиперболической. Такие системы будут подробно изучены в гл, Ч. Если; — действительный корень уравнения (2) (может быть, единственный), то мы можем на С решить следующую систему линейных однородных уравнений относительно вектора 1 с компонентами 1', ..., 1Я: 1 (а" — на~1) = О, или 1(А — чВ) = О. Тогда „характеристическая" линейная комбинация 111.1[и[ = 11.[и) дифференциальных уравнений системы (1) может быть записана в характеристическом каноническом виде 111. [и] =11Ь1(и,+ти,))+ ...
=О, или 11.[и) =1В(и„+ни )+ ... =О, где все неизвестные функции дифференцируются по одному и тому же направлению, а именно, по направлению характеристической кривой. соответствующей корню т. Таким образом, в гиперболическом случае, т. е. когда существует и таких семейств характеристических кривых, мы можем заменить систему (1) эквивалентной, системой, в которой каждое уравнение содержит дифференцирование только по одному характеристическому направлению.
Мы можем воспользоваться этим свойством гиперболических систем для несколько более оби(его определения гиперболичности (которое не исключает кратных корней т). В главе ч' мы будем пользоваться этими определениями как основой для полного решения задач гиперболичешгого типа в случае двух независимых переменных, й 2 Общая классисрикоиия и характеристики 171 „Характеристическая комбинация" дифференциальных операторов /./ дает внутреннее дифференцирование по С.
Отсюда следует, что между компонентами и на характеристике С существует некоторое соотношение, а именно, они удовлетворяют некоторому дифференциальному уравнению. Поэтому ясно, что нельзя задавать произвольные начальные значения для и на характеристике С.
Это оправдывает различие, которое мы делаем между характеристиками и „свободными" кривыми. 3. Системы первого порядка с и независимыми переменными '). В случае систем с произвольным числом и независимых переменных х можно действовать аналогично, как мы сейчас покажем; подробное изложение имеется в гл. И. Такую систему можно записать в виде //[и1=а ' ик,+Ь =О [/=!, ..., /с), [4) где а ' зависят от х, а Ь вЂ” от х и, может быть, также от и. //, ч / Индекс т меняется от ! до и. Применяя матричные обозначения и сокращение ик =и„, мы можем записать систему (4) в виде /.
[и]= А'и„+ Ь = О, [4а) где А' — матрицы и)сй с элементами а'/'', а оператор и свободный член Ь вЂ” векторы. Снова рассмотрим поверхность С: о [х) = О, где кгас[7 чь О; пусть, например, о„--Л О. На С мы рассмотрим характсристлческую матрицу А = А'ч„ и характеристический определитель, или характеристическую форму, Я[~ 7.) = ~[А]]. [ба) Пусть на С заданы начальные значения для вектора и.
Тогда мы утверждаем следующее. Если О =Ь О на С, то дифференциальное уравнение [4) однозначно определяет на С все производные и, через произвольно заданные начальные данные; в этом случае поверхность С называется свободной, Если Я = О на С, то С называется характеристичес/сой поверхностью. Тогда существует характеристическая линейная комбинация //.[и] = !~С/[и] = Л [и1 ~б) дифференциальных операторов //, такая, что Л дает внутреннее лифференцирование вектора и на С; равенство Л[и]=О усгасаьла- ') Попробности см. в гл. Ъ'!, Е 3. 178 Гл.
111. Дифференциальные уравнен»»я высших ссарссдкаа вает некоторое соотношение лсежду начальными данными, и поэтому их нельзя выбирать произвольно. Чтобы доказать эти утверждения, мы сначала заметим, что и,сь„— и„ср, есть внутренняя производная вектора и на С. Поэтому величины и, известны на С, если заданы начальные значения и и известна только одна (выводящая) производная и, (предполагалось, что ср„4: 0). Умножая уравнения (4) на с7„, находим срсс). ]и] = А"ср,и, + »7 = Аин+;/ = О, (4б) где»»1 — впутрешшй дифференциальный оператор относительно и на С.
Следовательно, в предположении, что ]]А]] = — Я;. О, из системы лщсейных уравнений (4б) относительно вектора и„можно однозначно определить этот вектор. Если же (е = ]]А]] = О, то существует собственный вектор 1, такой, что 1А= О. Умножение системы (4б) на 1 дает уравнение Щ. ] и] = 1»7 = О (4з) для внутреннего дифференциального оператора относительно вектора и на С; этот оператор 1~» не содержит и„. Тогда дифференциальное соотношение 1»1 =0 является ограничением на начяльпьсе значения и на С. Характеристическое уравнение 1;) = 0 есть дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка относительно функции »7(х). Если оно удовлетворяется тождественно по х, а не только при условии са = О, то все семейство поверхностей р = сопз1 состоит из характеристических поверхностей.
В случае п ) 2 многообразие характеристик значительно шире, чем й семейств кривых в случае п = — 2. Поэтому естественно, что теория систем для п > 2 значительно сложнее, чем при п = 2. Введем классификацию. Если однородное алгебраическое уравнение Я .= 0 относительно величин сус...,, он не имеет никаких действительнсях решений (кроме су, = 0), то характеристик пет, и система называется вллиппгической. Если, в противоположность эллиптическому случаю, уравнение (г = 0 имеет й действительньсх различных корней са„ прсс произвольных значениях срс, ..., сь„ с (или если такое утверждение справедливо после некоторого преобразования координат), то система называется вполне гиперболической. Мы будем изучать понятие гнперболичности и его смысл в 8 6 и более полно в гл.
У). Главной целью этого изучения будет получение слелующей теоремы: для гиперболических систем задача Коши всегда разрешима. 4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Гиперболичность. Лля одного уравнения высшего порядка и для систем таких уравнений имеет место аналогичная ситуация.
й 2. Оби1ая классификация и характеристики 179 Подробное изложение имеется в гл. ЛГ1, $3; мы ограничимся здесь краткими замечаниями, относящимися к одному дифференциальному уравнению порядка и. Применяя обозначение О, для оператора дифференцирования д1дх„мы можем записать дифференциальное уравнение в следующем символическом виде: С (и) = Н (Во ...,,О„) и+ К (В,, ..., ))„) и+ ф (х) = О, (?) где Н вЂ” однородный многочлен степени т относительно Е), а К— мяогочлен степени меньшей, чем лг; все коэффициенты — непрерывные функции х. Ванные Коши, т. е. заданные начальные значения, включают значения функции и и ее первых т — 1 производных на поверхности С: о(хн ..., ха) = О, причем мы снова предполагаем, что ~с„+ О.
Как и раньше, основной вопрос состоит в следующем: при каких условиях произвольные начальныс данные па С однозначно определяют производные порядка лс от и на С? Ответ таков: необходимо н достаточно, чтобы характерисягическая форма не обращалась в нуль на С. Есяи поверхность С характеристическая, т. е. удовлетворяет уравнению Я=-О, то Ни+Ки есть внутренний дифференциальный оператор порядка ш на С. Это значит, что он содержит производные порядка и только таким образом, что онп выражаются через внутренние первые производные от операторов порядка ш — 1 и, следовательно, могут быть определены на С через начальные данные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
