Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 39
Текст из файла (страница 39)
с постоянными а,. (Иногда мы будем так>не писать (а, х) или а ° х.) Необходимое и достаточное условие для того, чтобы и было решением, состоит в том, чтобы а =(а,, ...) удовлетворяло алгебраическому уравнению степени л се" (п)=Р (л)+Рл т(е)+ ... +-Ре=О; (14) оно определяет алгебраическую поверхность степени )е в пространстве а,, ат, .... Классификация по типам, однако, относится к более простому однородному уравнению Я (а) = Р, (а) = О; это „характеристическое уравнение" зависит только от главной части дпфферещтиалгптого уравнешш; оно определяет нормали к характеристическим элементзм поверхности'), в соответствии с определениями пз 2 2. Например, в случае трех измерений для уравнения Лапласа и,„+ и +и„=Ли=О мы получаем соотношение а",+аз+а.,'=О. Позтому хотя бы один из показателей а, мнимый; соответствующее решение можно записать, например, в виде ~/2 2 е е ха еуат ~т ~т а тат Волновое уравнение имеет решения вида е' ~а." на т2тат -аФ, где а"; + а,'+ а' — ат = О, а для „приведенного" волнового уравнения Ьи+ ~пти = О должно выполняться соотношение ат+ а'.+ а'= — ют, Для уравнения теплопроводностн и, = Ьи получается соотношение н'+ а~+ а' — а = О.
Если уравнение Я(и) =-О не удовлетворяется ни при каких действительных значениях ан ..., и„, то дифференциальное уравнение называется эллиптическим. ') Из того, что козффицненты постоянны, следует такое утверждение; если и(хп х„.,,, х„) есть решение некоторого однородного уравнения, то и(х, — 3н х,—.'„..., х„— $ ) с произвольными параметрами ст и производные дп,'дх, также являются решеннямн. ') Относптельно смысла полного урзвиення см. Гордине (2). Гл, ВЕ Дифференциальные уравнения высших порядков 4.
Плоские волны (продолжение). Бегущие волны. Дисперсия В следующих параграфах мы прежде всего будем заниматься решениями, описывающими явления распространения, в частности, плоскими волнами, возникающими в гиперболическом случае. Вместе с и пространственными переменными х мы будем рассматривать еще одну переменную х = г; мы составим скалярное произведение (ах) = а,х, + ... + а„х„= А с помощью п-мерного вектора а: (а,, ..., а„) и определим фазу В=( ) — И=А — И с помощью постоянной ив = — Ь. Предположим сначала, что дифференциальное уравнение содержит только главную часть, т. е.
члены порядка )г; другими словами, предположим, что Рг — — О для у ()г. Тогда имеет место следующий важный факт: решениями уравнения являются не только описанные выше показательные функции, но и вообще все функции вида и = у'(В), (15) причем форма волны у'(В) — произвольная функция фазы В=А — И, а коэффициенты а,, Ь должны удовлетворять характеристическому уравнению (г( — Ь, а) =О. (Ср, В 2, п. 4.) Если это уравнение имеет действительные решения а,, ..., ав, Ь, то функция у(В) представляет собой бегущую неискажающувюся волну. Под термином бегущая плоская волна для однородного линейного дифференциального уравнения 1.
(и) = О мы понимаем решение вида (15). Плоские волны такого вида имеют постоянное значение на каждой плоскости постоянной фазы из семейства В = (ах) — И = сопз1 в (и+1)-мерном пространстве х, г, Чтобы оправдать термин „бегущая ватна", мы рассмотрим и-мер- ное пространство Ьи„пространственных переменных х,, ..., х„, в котором „поле" и меняется с течением времени Е Решение и вида (15) постоянно на всей плоскости постоянной фазы В, при- надлежзщей семейству параллельных плоскостей.
Плоскость, на кото- рой значение фазы постоянно, передвигается в прострзнстве Ян параллельно самой себе с постоянной скоростью. Если мы положим а,=ра, ~наг =1, г=! / в В=А — И=рЯ ар; — Тг =р((ах) — ТС)=рЕ г-1 й 3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 193 и напишем и = с (В) = —:р (Е), то мы полу шм представление решения, в котором величины ас являются „направляющими косинусами" нормалей к плоским волнам, а ( обозначает скорость распространения волн. Величина Е снова называется фазой волньс, а функция з, или у, называется форлсой еолньс.
Например, обычное волновое уравнение в пространстве п переменных Ьи — ии = О допускает плоские волны вида и = р((ах) — с); здесь коэффициенты а, могут быть компонентами произвольного вектора а, такого, что и'=1, а форма волны з может быть произвольной функцией. )(ругими словами, волновое уравнение Ьи — ин — — О имеет ресиения в виде плоских волн произвольного направления и произвольной формы; есе эти волна распространяются со сио. ростью ( = 1.
Волны у (В) называются неискажающимися, илн волнами оез дисперсии, так как волна или сигнал произвольной форлсы у'(В) без искажения распространяется со скоростью .1 (по направлению нормали а к плоскостям постоянной фазы). Если для произвольного направления а характеристическое уравнение Ц = О имеет й действительных различных корней, т. е.
существует й различных возможных скоростей распространения неискзжаюшихся волн в любом направлении, причем эти скорости, вообще говоря, зависят от направления а, то дифференциальное уравнение (13) называется гипероо.гичесним, (Позже мы обобщим это определение, допустив в некоторых случаях кратные корни.) Это определение гиперболичности, связанное с характеристическим уравнением Ц = О, сохраняется также тогда, когда дифференциальное уравнение содержит младшие члены. Для дифференциального уравнения (13), содержащего младшие члены, для которого не все полиномы Р) при у'к., й равны нулю, дело обстоит иначе, чем в случае неискажаюшихся волн.
Если это бегущие волны, то они уже не могут иметь произвольную форму, а нх скорость уже не определяется направлением нормали. В этом случае форма волны может описываться только показательной функцией; она зависит от заданного направления и от заданной скорости. Рассмотрим сначала пример дифференциального уравнения аи — пи+си = О, (16) где с ='О. Если и=с(В) — плоская волна для уравнения (16), причем В = (ах) — И, !94 !л. с)!. Дссфференссипльньсе уравнения вьссшит ппрядкпв то мы сразу получаем для заданных а и д уравнение ?в(В) (ас — дз)+ ф (В> с = О. (1 7) Это значит, что функция Г(В) должна удовлетворять линейному обыкновенному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, а это ограничивает возможность выбора Г(В) классом показательных функций.
Ясно, что лля скорости т = 1, т. е лля аз=д', уже не существует бегущей волны. Однако лля любой другой скорости и лля произвольного направления возможные формы волны определяются из уравнения (17) и являются показательными функциямн. Г!оэтому наиривление и скоротиь волны, соответствую!ней дифференциильному уравнению (!6), могут дать заранее произвольно заданы (за исключением скороспси, равной 1); но при этом возможна только специальные формы дегусцссх волн.
Конечно, вид показательной функции Г(В) зависит от знаков коэффициентов обыкновенного лифференциального уравнения (1?). Из физических соображений мы исключаем решения, которые не являются равномерно ограниченными функциями в пространстве; друю>ми словами, мы рассматриваем только волны вила се(В) есеы" >-тс> гле р — „частота". Тогда в нашем случае, если с) О, такие волны существуют Лля проиэвальнОГО напРавления а') д', т. е. лля любой скорости Т, не превышающей предельной скорости Т = 1. !(ля скоростей, превышающих предельную, решения Г(В) уже не будут допустимыми волнами, так как они не ограничены в пространстве.
Во всяком случае, уравнение (17) описывает явление дисперсии в слелующем смысле: если решение и является суперпозицией воли, распространяющихся в одном и том же направлении, причем все эти волны имеют форму, удовлетворяющую уравнению (17), то разные компоненты распространяются с различными скоростями; таким образом, форма составной волны будет изменяться со временем. В случае общего дифференциального уравнения (13) форма распространяющейся волны !'(В) и = Г (В) = 7 ( ~с ( а х) — д! снова лолжиа удовлетворять обыкновенному дифференциальному урав- нению 7~(В) Ри( — д, а)+/~ (В) Р„,( — д, а)+...
+ У(В) Рь — — О. (18) б 3. Линейные йраенения с постоянными коэффициентами 195 Коэффициенты этого уравнения постоянны для любого набора параметров ао= — Ь, ап ..., ате Как и раньше, мы ограничим допустимые волны требованием В=1Р(и,х,+ ... +и„хн — ТЬ), где а„ = Ри, и ае.= — Ь = — РТ, так что Р ЯвлЯетсЯ частотой, а — направлением нормали, а Т вЂ” скоростью распространения волны; р п и действительны, а Т = р + гд может быть и комплексным.
Для произвольных р и а уравнение (18) определяет скорости т как непрерывные функции и и частоты р, за исключением особых случаев, например, когда все коэффициенты уравнения (18) обращаются в нуль, кроме, может быть, Ро!). Если для заданных р и и скорость т имеет мнимую часть д, то волну можно записать в виде Е!2 1МЮ вЂ” РП . е — Ре! Тогда мы говорим о затухающих волнах, амплитуда которых в фиксированной точке пространства экспоненциально убывает со временем. (Решение с множителем еы' для д ) О обычно отбрасывается, так как оно неограничено при возрастании ~.) Снова мы встречаемся с явлением искажения, или туисперсии. Начальная гармоническая компонента е'!' ! распространяется со скоростью, зависящей от частоты; таким образом, начальная форма волны и, заданная суперпозицией членов е"!" 1, искажается с тече- !и!ем времене (независимо от уменьшения амплитуды, или затухания), так как различные компоненты распространяются с различной скоростью пли „рассеиваются" в соответствии с их различными частотами.
Итак, наличие дисперсии или бегущих неискажающихся волн связано с тем, входят ли члены младшего порядка в дифференциальное уравнение. В первом случае бегущие плоские волны имеют экспоненцнальную форму, а скорость может непрерывно изменяться ') Например, уравнение (16) не имеет решения в виде бегущей волны, если зщ!анная скорость равна 1, а направление произвольно. В другом примере дисперсии, заданной уравнением ли — ни + ~чР~ ия, — и, = О, ! исключительные значения дея скорости и направления получаются из условий П е Уа,— б =О, ч'а! — э=О; ю=! !- ! если ьтн условна выполняются, то существуют бегущие волны произвольной форин.
Г)нн распространяются со скоростью, равной 1, а их направления ортюллежат конусу ~ о;ое = О. т~:е 196 Гл. Пй 1(ифференяиалвние уравнения высшие верленов в зависимости от частоты. Во втором случае форма волны произвольная, а скорость может иметь только дискретные значения, равные корням характеристического уравнения'). б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
