Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Задача Коши для волнового уравнения в двумерном пространстве. Метод спуска. Решение задачи Коши для волнового уравнения в случае двух измерений 4 4. Задача Кои~и не зависит от а. Подставляя в (10) (=И, г)=гр, ч=ту, мы по- лучаем и(х, у; 1) = — ) ) у(х+с, у-+г))ам, „1., йаьп-1 где с, г) — независимые переменные. Этот интеграл можно записать как интеграл по кругу (г+г)г (Гг радиуса Г: и(х, у;1)=,1 Ц .т(,+1,' У+ ') апд).
(17) не* ' ч' ' г Здесь элемент поверхности сферы Р+ йг+".г=тг выражен как Гг дв — „г(1 г(.4 — Щ аьа, )г Гг (г , г (18) удовлетворяющее начальным условиям и(х, у; 0)=0, и,(х, у; 0)=0; (18') оно определяется формулой и(х, у; 1) = — ) г7т ' ' г((а~. 1Р ГГ У(1 ' — в) У У Р"' — ( — 1)' — (у —.)* Вго можно также записать в виде и(.
у..),,),(,) ' ' „.,„„,, („) 1 Г(Г у(е, ч; г) )' (г — )' — ( —:)' — (у — ч)' где К вЂ” область пространства К г), -., определенная неравенствами (х 1)г + (у ,)г , (~ . )г Следовательно, формула (17) дает решение задачи Коши для волнового уравнения в случае двух измерений, если заданы начальные условия и(х, у; 0) =О, и,(х, у; 0)=у(х, у). Существенное различие между двумерным и трехмерным пространствами выясняется при сравнении формул (17) и (!0). В трехмерном пространстве решение в некоторой точке зависит только от начальных значений на поверхности трехмерной сферы радиуса с центром в этой точке; для двумерного же случая область зависимости включает и границу, и внутренность круга радиуса ~.
Позднее мы выясним более глубокий смысл этого факта (см. Э 4, п. 6 и гл. Ч1, 18). Кроме того, метод, изложенный в п. 3, позволяет получить решение неоднородного уравнения ии — и„„ — и = 7"(х, У; 1), УУ 210 !'е. ))!. Ди4ггреренциаеьные уравненггя выегиик нарядное 5, Задача излучения. Проблемы излучения так же важны для физики, как и задача Копгг( в действительности онн могут рассматриваться как предельные случаи задзчи Коши. Формулировка задач излучения, не аавнсящзя от таких предельных переходов, булет дана ниже, в гл. к!1, й 18. В задаче излучения искомая функция и н ее производные по ! равны нулю в нзчзльный момент времени (т.
е. при !=О мы имеем состояние покоя). Однако, в некоторой точке пространства, например, в начале координат к = О, задается особенность решения сс в зависимости от времени. В трехмерном пространстве мы уже знаем решения волнового уравнения с особенностью в фиксированной точке пространства; такими решениями являются функции г" (! — г) 6 (г+ г) г — выходящая и входящая волна (мы пока не учитываем те начальные условия, которые должны выполняться).
Решение задачи нзлучешш получается следующим предельным переходом. Мы рассматриваем неоднородное дифференциальное уравнение ин — Ьи= г'(х, у, з; !), (20) где у' — „плотность внешней силы". Решение соответствующей задачи Коши для !.о 0 с состоянием покоя в качестве начального условия (см. уравнение (1б)) задается формулой "= — '.ПГ"'""" '"'-" "" Пусть задан малый параметр е; мы предположим, что (=0 для рг .-г+ те+ г) ег и введем обозначение ~ ге(,", г), ~; !) а%ага)с(г = 4кК(!).
еже Если мы положим д (!) = 0 для ! ( 0 и перейдем к пределу при е-ьО, то наше решение перейдет в функцию и = —, где г'= х'+ уг+ ег. д(! — ) (21) Следовательно, в этом решении задачи излучения функция 4кд (!) представляет действующую силу, сконцентрированную в начале координат в момент !. Заметим, что в некоторой точке (х, у, з) пространства в момент времени ! решение зависит только от э 4. Задача Каачи 211 отдельного импульса, возникшего в начале координат в момент 1 — г и пришедшего в точку (х, у, г) со скоростью 1. Лля задач излучения в лзумерном стучае положение совсем иное.
Здесь мы имеем лифференциальное уравнение Применяя результат из п. 4 и перехоля к пределу при е-+О, по- лучаем (( «) и(Х, у; Г)= д 1'(à — ч)' — ' 0 ~й для г.(г, (23) лля г)1. В отличие от трехмерного случая решение в точке (х, у) в момент времени 1 зависит не от отдельного импульса, возникшего в предшествующий момент, а от всего течения процесса излучения до момента à — г. г(нтересно также изучить характер особенности нашего решения при г =-0 в случае двух измерениИ. С этой целью мы сначала интегрируем по частям, принимая во внимание, что 1 = — —,>ч )' — -'; утг — Р ~).
г(à — ч)' — гч а затем разлагаем в ряд по г, что приводит к следующему предста- влению решения в окрестности особой точки: и(х, у; 1)= — д(1 — г)1од г+д(0)1од21+ + Г а (т) 1ой 2 (г — т) чгч+ з (г, г), а где а(Г, г)-ьО при г-ьО. Таким образом, в двумерном случае особенность решения задачи из- лучения сложнее, чем в трехмерном. 6. Явления распространения и принцип Гюйгенса. Сейчас мы несколько подробнее рассмотрим природу явлений распространения (олнако изучение основных принципов будет прелпринято только в гл.
Ч1). Сначала мы рассмотрим одноролное волновое уравнение и„— и „вЂ” и„„=у'(х, у; 1). (22) Мы предполагаем, что г'=О для ге= х'+ут)~зз, и вводим обо. значение Ц У(ч, тй1 Г)ч1(г(ч) =2пд(1). 212 Гл.!П. Дифференциальные уравнения вьыюиг поряд ов в трехмерном пространстве. Предположим, что при 1=0 начальное состояние отлично от нуля только в некоторой окрестности О одной точки, например, начала координат. Чтобы найти и в точке (х, у, г) в момент времени Г, мы окружаем точку (х, у, е) сферой радиуса 1 и вычисляем некоторые интегралы от начальных функций по этой сфере. Поэтому величина и(х, у, з; 1) отлична от нуля только тогда, когда поверхность этой сферы пересекает начальную область О, т.
е. только в пределах некоторого интервала времени 1, ( Г ( Г„; длина этого интервала есть разность межлу наибольшим и наименьшим расстоянием от точки (х, у, з) ло области О. Этот факт характеризует наше дифференциальное уравнение как уравнение, лля которого явление распространения происходит со скоростъю 1, Начальное состояние в области 0 не влияет на точку (х, у, а) до момента времени (ы равного кратчайшему расстоянию от точки (х, у, з) до области О. После момента Гг, соответствующего наибольшему расстоянию, начальное состояние перестает оказывать какое-либо влияние.
Это явление называется принципом Гюагенса лля волнового уравнения. Этот принцип утверждает, что резко локализованное начальное состояние наблюдается позднее из другой точки как явление, столь же резко ограниченное. В предельном случае, когда окрестность О, в которой начальное состояние отлично от нуля, стягивается в точку, например, если начальное возмущение при г = О сосредоточено в начале координат, его влияние на точку (х, у, х) будет чувствоваться только в определенный момент времени 1, причем Г зависит от расстояния между началом координат н точкой (х, у, з).
В двумерном случае положение лел совершенно иное. Мы снова рассмотрим область О, содержащую начало координат, н предположим. что начальные значения и и и, отличны от нуля только в этой области. В точке Р с координатами х, у, отстоящей от 0 на расстояние (ы без сомнения, выполняется равенство и = О лля Г ( (п Согласно формуле (17) из п.
4, величина и для Г ) 1, уже не равна тождественно нулю. Действительно, если, например, начальная функция о неотрицательна, то решение и в точке Р при 1 ) 1,всегда оствется отличным от нуля, Другими словами, в двумерном случае мы также имеем явление распространения в том смысле, что локализованное начальное возмущение достигает другой точки пространства только через некоторое время.
Однако принцип Гюйгенса уже не имеет места, так как влияние начального возмущения уже не будет строго ограничено во времени. Если возмущение достигло некоторой точки в пространстве, то оно остается в ней неограниченно долго (реверберация). При изучении явлений распространения мы замечаем, что состояние в точке (х, у, а) в момент г зависит от начальных значений и в некоторой области пространства, так называемой области завц- а 5.
Решение задачи Косин с помои(ью интеграла Фурье 213 симослти, соответствующей точке (х, у, г; г). Следовательно, для волнового уравнения в трехмерном пространстве эта область зависимости является поверхностью сферы радиуса г с центром в точке (х, у, г). Возмущение в этой точке в момент г не зависит от начальных данных внутри и вне поверхности этой сферы.
С другой стороны, в двумерном пространстве область зависимости включает и внутренность, и границу круга радиуса Г с центром в точке (х, у). Физически разница становится еще более понятной для решений проблемы излучения из п. 5. Предположим, что из начала координат в трехмерном пространстве распространяется возмущение. Тогда в момент т' в точке Р(х, у, г) мы наблюдаем только то, что вышло из начала координат в момент г — т. В двумерном же пространстве результат наблюдения в точке в момент Г зависит от всего процесса излучения, который происходит до момента г — г. Таким образом, в трехмерном мире, в котором волны распространяются в соответствии с волновым уравнением, резкие сигналы передаются и могут приниматься как резкие. В двумерном мире принятый сигнал будет размытым.
В гл. и'! мы увидим, что такого рода явления свойственны не только волновому уравнению и не только двумерному или трехмерному пространству. Мы увидим, что принцип Гюйгенса справедлив для волнового урзвнения при любом нечетном числе и пространственных измерений, кроме и = 1, и что ои несправедлив при четном числе измерений.
~ д. Решение задачи Коши с помощью интеграла Фурье 1. Метод Коши применения интеграла ' Фурье. Мы сейчас опишем общий метод решения задачи Коши с помощью суперпозиций плоских волн. Чтобы избежать проверки законности перестановки предельных переходов, мы будем пользоваться эвристическими соображениями при получении решений; после этого необходимо непосредственно проверить, что полученные так формулы действительно дают решение рассматриваемой задачи'), Пусть снова Е(и)=0 (1) — линейное однородное дифференциальное уравнение порядка (г с постоянными коэффициентами для функции и(х,, х, , х„; г), или и(х, г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
