Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Пусть — '(а1л1наз ь+" "а"и "') (2) ') Однако в и. 3 мы ке будем разделять формальную конструкцию н проверку. 214 Гл. Пй Дифференциальные уравнения высших порядков или, короче, и=е«ьое-'ы — решение уравнения (1). Мы предположим.
что уравнение (!) — гиперболическое, т. е. для любой системы действительных чисел ан аг, ..., а„(или для любого век» тора а) существует ровно Ь различных действительных значений (см. э 3, п. 4) Ь=Ь (а,, аг, ..., ав) (<'=1, 2, ..., и), которые являютсв алгебраическими функциями параметров а; и для которых функция (2) является решением уравнения (1). Если )г'<, В'г, ..., В'ь обозначают <г произвольных функций от аы ..., а„, то мы можем формально построить выражение и= У ~ ° ~'ц' (а)е'" )е «ь|(в! "! "и) ба (3) — суперпозицию плоских волн; здесь ба обозначает ба<«аг ... аа„.
Ясно, что это формальное вырзжение также является решением уравнения (1), если все интегралы сходятся и если можно применять дифференциальный оператор 1.(и) под знаком интеграла. Мы воспользуемся этим замечанием, чтобы построить решение и уравнения (1), удовлетворяющее при 1=0 начальным условиям и(х, О) =срв(х), и,(х, О) =9<(х), (4) дь —, (и (х, О)) = р,, (х) с произвольными функциями сс,, с ( й. Ъ.фференцируя формулу (3) по Г под знаком интеграла, мы получаем, согласно этим начальным условиям, при Г = 0 для функций Ю'<, )!'г, ..., )!'ь систему уравнений СО в ( ~чз„Ж') (а) е! <~! а<а, /.! СО ь ср,= ~ ...
~ ~М,'( — <Ь<)Ф)(а)Е<<вк'<1а / ! СО з е. Решенье задача Коши с помощью интеерала Фурье 215 Согласно теореме об обращении преобразования Фурье, решения этих уравнений определяются формулами й ! ч' ( — 1Ь1) )т'1(а)= — „~ ... ~ ра(1)е '1'.11(1 (2я)" (1=0, 1, ..., Ь вЂ” !); (6) здесь 1 — вектор 1н (з, ..., 1„, са(=с(11111, ... сР,„, а выражения, стоящие в правых частях, известны. Таким образом.
для аз неизвест- НЫХ фУНКЦНИ !и'1. !1та ..., Ж'ь МЫ ПОЛУЧаЕМ СИСТЕМУ 1З ЛИНЕЙНЫХ уравнении; ее определитель 1( — 1Ь|) ! не обращается в нуль, так как, 1 по предположению, все Ь, рззлнчны. Функции (атг определяются однозначно и, следовательно, наша задача Коши формально решена. Обоснование будет дано в и. 3. 2. Пример. В качестве примера мы снова рассмотрим волновое уравнение в трехмерном пространстве иа — оа =0 с начальными условиями и(х, у, е; 0)=0, и,(х, у, е; 0)=р(х, у, е). Здесь для Ь мы получаем два значения Ь= + )Газ+ аз+ аз= + р.
Применяя преобразование Фурье н учитывая начзльное условие и(х, у, е; 0)='О, мы получаем представление и(х, у, г; 1)= / ) ~ !т'(аа, а, а,)е'ае т' мв!пр(1(а. (8) После дифференцирования под знаком интеграла при Г = 0 мы имеем ьа и,(Х, у, г; 0)=у(Х, у, г)= )а ~ / руат(аа. а, аа)Е1'а,еааатаеаа'ааа; согласно теореме об обратном преобразовании, уг' определяется формулой )тт(аа аз аз)= 2 ' )а 1) 1з(с, а), ()е-1'еа'-'"ч "аосаааатадГ. (О) 1 3 з (2)а 216 Гл. Ш.
Дифференчиальные уравнения высших ноояднов Подставляя это значение функции В' в формулу (8) и меняя порядок интегрирования по переменным ао ам аз и по 1, т(, (. в шестикратном интеграле СО СО "= (2 )' У УХ р У 1 ~'(г(е' ()' ()з!" Р )С В((ас(х-Пеас(У-Э(еас(х-П!ось ((~(1Г мы могли бы попытаться получить решение в более простом виде. Однако это изменение порядка интегрирования нельзя произвести сразу, так как тогда не будет сходиться внутренний интеграл.
Эта трудность обходится с помощью простого часто применяемого искусственного приема (см., например, гл. (('1, й 12). Мы будем рассматривать не сам интеграл (8), а интеграл о(х, у, г, й)= — / ~ ~ !гс(а(, а,, а,) в(' ', е(а; (10) дважды продифференцированный по 1, он дает и: Ясли мы в формулу (10) подставим вместо (сс выражение (9), изменим порядок интегрирования') и воспользуемся обычными обозначениями з), то мы получим т(= — ~ (р ~ оД, 'о, ь)а((нъ)и(ч (, ~ )( ~ в'("(х-п( м~о~ е(а, причем теперь внутренний интеграл л сходится.
Простые вычисления дают СО СО ОС о Так как г+ . г — г з!п рг з!пру = з1пз — р — з1пз — р, 2 2 ') Этз перемена производится без доказательства, тая нан мы имеем дело с эвристическим методом получения решения, ноторый будет обоснован в гл. Ч1, 9 !3. е) То есть го=аз(+аз+а~~, Р с(Р((а=((а, у Б. Решение эада!и Коши с аоиои1ыо интеграла Фурье 217 то мы сразу получаем з1прГЗ1пр! Гг+г ! à — г пр =~ —— 2 2 о для г (1, для г)» Е, (12) т. е. о= — 4 ~ ~ ~ 'та(с(')ь)г — 4 ~ ~ ~ — ь((аь')с(г.. (13) т<! Соответственно интеграл ,=Л~'й(1.
и ) «. г~! взятый по внешности сферы, имеет производную — "„',*= — ~~'У(1, 4, С) И. Поэтому из формулы (!3) мы получаем гм! а следовательно . =-ЬШ-'," "" е:! Дальнейшее дифференцирование дает „= — „., ~~~ ((2, а (14) (15) Дифференцируя по 1 интеграл вида '=ГО~« ' ":-"" т<! взятый по шару радиуса й с центром в точке (х, у. в), мы получаем интеграл по поверхности 12 этого шара: ~~ =Х,).у« ~ ~)~~ 218 Гл. ПД Дифферевмиальныв уравнения вьышик иорянвшв или, с применением введенного ранее обозначения М,(т), и = ои = гМ, 19), что согласуется с результатом 9 4, п. 2'). (17) (см. % 3). где 1'(У1 Ут " Уо) = 2'.
Р7(У1 Уз " " Уо) (18) т-..в — полипом порядка й с постоянными коэффициентами, представленный в виде суммы однородных полиномов Р степени у (й'р Задача Коши для уравнения (17) с плоскостью х„=О в качестве начальной поверхности состоит в отыскании решения уравнения (17), удовлетворяющего начальным условиям дуи 7 = ту(х~ хз ° ° ° хв) дкО при хо — — 0 и /=О, 1,..., й — 1, (19) причем функции ~71 заданы. Эта задача называется корректно поставленной, если з) существует такое число И, что для функций о., 7' принадлежащих классу 4) Ся„уравнение (17) и условия (19) выполняются только для одной функции и (которая непрерывно зависит от функций 1~7 и их производных порядкв, не превосходящего Ж). Очевидно, что условие р= Р„(0, О, ..., О, 1) ~ О, (20) ') По поводу обобщения этой формулы на пространство л измерений см.
гл. Ч1, б 12. ') в(ы здесь пишеи у в качестве индекса, что несколько отличается от осе.нзчеиий б 3. ') Критерии корректности постановки задачи рассматриваются в й б, и. 2. Слово .корректно" употребляется здесь именно в вгои смысле. ') С вЂ” класс функций, для которых существуют и непрерывны все Ф частные производные порядка, не превосходяще~о дг.
3. Обосновании метода Коши. Вместо того чтобы применять метод Коши как чисто формальную конструкцию, нуждающуюся в дальнейшем обосновании, можно получить решение вместе с полным доказательством и анализом границ его применимости. Сейчас будет вкратце проведен этот анализ с некоторыми изменениями з прежних рагсуокдениях. Наиболее общее линейное дифференциальное уравнение порядка й с постоянными коэффлцяентами может быть записано в зиле у д.
Решепие задачи Коши с помощью интегра«а Фурье 219 является необхолимым, так как в противном случае уравнение (17) при х,=О дает соотношение между начальными функциями гу! н их производными, которое не выполняется тождественно. (Условие (20) утверждает, что начальное многообразие х =0 не является характеристическим; см. 9 2, п. 4.) Менее очевидно другое необходимое условие: уравнение Р» (ул ут ° ° ° у т)) — 0 (21) должно иметь только действительные корни ч) лля любых действительных значений у,, уя, ..., у,.
Мы докажем здесь необходимость этого условия для случая дифференциального уравнения (17') содержащего только производные порядка а. Предположим, что для некотоРых действительных значений Уы УФ ..., У„УРавнение (21) имеет комплексный корень т). Так как коэффициенты алгебраического уравнения [21) действительны, то компчексно сопряжегн<ое к и число также должно быть корнем, н мы можем без ограничения общности считать, что 1ш л) = — г < О, Тогда мы для люпого положительного Л имеем решение дифференциального уравнения (17') и Л гч» гл(«з,+ ... +«У «л) (22) соответствующее начальным условиям у =1~ ~'Л~ ' е'л(' ~~+ "' ""пгп) для 7'=О, 1, ..., )г — 1, "7= При Л-+ + со функции рг и их производные порядка. не превосходящего Аг, равномерно по х,, ..., х„стремятся к нулю, в то время как )и(0, О, ... О, ха)(=Л м»е*«' стремится к бесконечности.
Это несовместимо с непрерывной зависимостью решения и от функций о) и их производных порядка, не превосхолящего И. Аналогичные рассуждения применимы к более общему уравнению (17); они показывают, что задача Коши лшжет быть поставлена корректно только тогла, когда все корни уравнения (21) действительны для действительных у,.. . у„, в частности, если уравнение (17) гиперболическое в смысле 9 2. п. 3 '). ') См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
