Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Прежде всего мы напомним, что задача Коши для уравнения Лапласа, согласно предыдущему пункту, некорректно поставлена. Однако она имеет физический смысл. Например, Тэйлор показал, что один важный вопрос об устойчивости сводится к такой некорректно поставленнной задаче. Рассмотрим систему двух несжимаемых жидкостей, отделенных друг от друга поверхностью раздела, которая двигается по направлению к более легкой жидкости. Это явление можно описать с помощью потенциала скоростей. Оказывается, что этот потенциал является решением некорректно поставленной задачи Коши для уравнения Лапласа. Переопределенные задачи составляют другой класс имеющих смысл „некорректных" задач.
Например, мы можем искать функцию, гармоническую внутри единичного круга, принимающую заданные значения на концентрической окружности радиуса '/и Некорректно поставленные аадачи, которые могут иметь большое значение в приближенных вычислениях, до сих пор еще не попали в основной поток активных математических исследований. Так, задачи Коши, в которых начальные данные известны из наблюдений только приближенно, решаются приближенными методами, например методом конечных разностей.
Возникает вопрос: как можно использовать дальнейшие наблюдения для уточнения и продолжения вычисленного решенияу Продвижение в этих задачах было бы чрезвычайно ценным, наприлгер, для математического предсказания погоды '). 4. Общие замечания о линейных задачах. Аналогия между задачами для линейных дифференциальных уравнений и системами конечного числа алгебраических уравнений была уже указана раньше ') Относительно некорректно поставленных задач см. Джон [2) и Пуччи [2); см. также гл. Н1, 817, [Кроме того, см. Лаврентьев М. М„ О задаче Коши для уравнения Лапласа, ИА74 СССР, сер. матем., 20 (1956), 819 — 842; Ланд и с Е.
М„Некоторые вопросы качественной теории эллиптических и параболических уравнений, УМ77, 14, 1 (1959), 21 — 85. Тихо. н о в А. Н., О регуляризацнн некорректно поставленных задач, ДАН СССР, 153, 1 (1963), 49 — 52; О решении некорректно поставтениых задач и методе регуляризации, ДАН СССР, 15К 3 (1963), 501 — 504. — Прим, Рад.) 234 Приложение 1 в гл. 111 (т. 1, гл. Аг, 9 1). Например, диффзреицча.льиые уравнения можно заменить разиостиычл. )(алыче, в т, 111, эта идея будет развита подробно ') (коиечио.
при этом необходим предельный переход). Напомним следующ>ю альтернативу для системы л1 линейных уравиеилй с АГ неизвестными. Либо соответствующая однородная задача имеет нетрчвиальное решение, либо общая неоднородная задача имеет единственное решение ири произвольных данных задачи, Неоднозначность решения общей неоднородной задачи влечет за собой существоваияе нетривиального решения однородной задачи. Кроме того, эту альтернативу можно сформулировать также следующим образом: для Х линейных уравнений с И неизвестными существзяаиие и единственность решения общей иеодпородиой задачи эквивалентны.
Можно ожидать, что корректно поставленные линейные задачи математической ф 1зики будут вести себя так же, как системы М линейных алгебраических уравнений с АГ неизвестными. Таким образом, мы приходим к следующему эвристическому принципу: если имеется корректно поставленная задача лля линейного дифференциального уравнения и соответствующая однородная задача имеет только „тривиальное' нулевое решение, то существует единственное решение общей иеодиородиой задачи. Если же однородная зада~а имеет нетривиальное решение, то для разрешимости неоднородной задачи требуется выполнение некоторых дополнительных условий з).
В первом томе мы убедились, что этот принцип подтверждается; мы дадим его более глубокое обоснование в последующих главах. ПРИЛОАКЕНИЕ 1 К ГЛАВЕ 111 ф 1. Лемма Соболева Раньше мы несколько раз пользовались тем важным фактом, что ограниченность положительно определенных квадратичных интегралов, содержащих производные некоторой функции, иногда влечет за собой ограниченность этой функции. Общим утверждением такого типа является лемлга Соболева '). Эта лемма дает оценку функ- ') См., например, Курант, Фридрихе, Г.
Леви (1). ') Существует широкий класс задач, которые ие облалают этими свойствами, так называемые задачи с иеиулевыи индексом. См., например, И. Н. В е к у а (1), (2), а также Вол ь пер г А. И.. Об индексе и нормальной ргзрешичосги граничных задач аля эллиптических систем дифференциальных уран ~еиий иа плоскости, Тр. Моек. матея. общества, 1О (1981), стр. 41 — 87. — Прим ргд ') В нашей вшерлгуре угверждеиия такого типа называются теоремами вложении С. Л. Соболева, См. Соболев С Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., 1950. — Прим, ред.
235 а /. Лемма Соболева ции через „нормы в /.," ее производных (т. е. через интегралы от квадратов производных). (1) Если функция и(х) определена в ограниченной и-мерной области О, пго для лкбого у из О ил~еелс !и(у)!т(С~Ь /СЮ "~ !/)»и(х)!адх если») —,", (1) о где /т — расстояние от у до границы области О, С вЂ” настоян ная, зависящая только от» и и. Здесь В/и обозначает производную у-~ о порядка, а суммирование распространяется на все произволиые указанного порядка. Ниже в утверждении (1') мы сформулируем аналогичный результат для точек у, принадлежащих замыканию области О, при некоторых предположениях относительно глалкости границы О.
Доказательство леммы (1). Пусть й(/) — функция класса') С, зависящая от одной переменной /)~ О, тождественно равная 1 для 0 С/ ...'/т и равная нулю прп /)~1. Будем считать, что у — начало координат, положим ! х( = г и определим' ) функцию Заметим, что (2) где Сл — постоянная, зависящая только от функции /г(/), Так как /»(0) =1 и Уг(1)=0, мы имеем я и(0) = — ~ — (г.и) б . д 0 Обозначив через бю элемент единичной сферы с центром в точке у = О, а через ы — поверхность (п — 1)-мерной единичной сферы, мы получим с помощью интегрирования по ю соотношение ыи (0) = — ~ з! — ((и) аг дм.
г д дг Интегрируя (» — 1) раз по частям по переменной г, получаем Полагая г'"' = г" "г" ', получаем, согласно неравенству Шварца, !и(0)!е. сопя!»)// )г ~ дг, ((и)! Л'1/ ~ ~ ган-юд)г, ') Класс С содержит функции, обладающие производными до порядка/»г, класс С вЂ” функции, имеющие производные всех порядков.
-» -м ') Мы можем положить Л(С) =е 'е " " (1 — е " /' ) лля '/,~(/~1, Псиложет1е ! к ел. П! где д('= г"-1дг бы — элемент объема; константа зависит только от ж Так как 2ч ) и, последний интеграл схолится и мы имеем ~г )и(0)/2.-'сопя( П ) ~ ~ д, (чи) ~ д11. Вместе с оценкой (2) неравенство ! —. д1 2 —. и ~ с1~чэ, 1с)!и12, дгг где С зависит только от !' и от а, дает формулу (1). Определение. Говорят, что область О удовлетворяет „условию конуса", если каждая точка у из О (замыкания О) является вершиной некоторого ограниченного конуса С (т. е.
пересечения конуса со сферой радиуса П, описанной вокруг его вершины), лежащего в О, причем объем этого конуса превышает некоторую константу К (1') Если область О удовлетворяет „условию конуса", оьо 1и(у)~г.(сопз1 ° ~ ~ 10!и(х)12 их (ч ) —;), (1') !к.о гдв константа зависит только от ж и и значений !с и К Доказательство более тонкой леммы (1') совпадает с доказательством леммы (1), за исключением того, что интегрирование по дю распространяется только на внутренний телесный угол конуса С, У' исходящего нз точки у. Такие интегральные неравенства, как (1), играют важную роль при построении решений вариационными методами '), ф 2.
Сопряженные операторы 1. Матричные операторы. В теории линейных операторов большое значение имеет понятие оператора Е', сопряженного к оператору Л. Для конечномерных пространств это понятие возникает в формальной линейной алгебре. Рассмотрим линейный оператор 1 тв = ~~ а1 и (1= 1, ..., к), (1) 1=1 ш=Е(и) или, в матричных обозначениях, те= Аи; ') См. т. П1, а также Ниреиберг 12), лекция Гь (См.
тзкже книгу С. Л. Соболева, указанную в примечании из стр. 234.— Прим, ред.) 4 2. Сопряженные операторы 237 этот оператор переводит вектор и с 1 компонентами и'... л! в И-мерный вектор ') м с компонентами ю!, ..., то~; еслн 1 чь И, то матрица этого преобразования не является квадратной. Вместе с оператором 1, мы рассмотрим билинейную форму (нли скалярное произведение) и ! (о, ш)= ~, о'ы'=(о, Аи)=-(о, 1[и])= ~ ~~~!а! и о!, (2) !.— ! 1=1 т=! образованную с помощью И-мерного вектора о. Тогда сопряженный оператор 1,* переводят И-мерный вектор о в 1-мерный вектор з и определяет преобразование, соответствующее транспонированной матрице А': ау=~' а,тпо (,/=1, ..., 1), илн л = А'о, или г = 1,']о].
Сопряженный оператор свяаан с билинейной формой (2); (о, ю) =(о, 1. (и]) =(1.*]о], и). Независимо от того, равны лн И и 1, соотношение между операторами 1. и 1.* выражается равенством о7.(и] — и1,*]о] = О, (4) илн равенством (о, Аи) — (и, Аеп) =О. Нз формулы (4) мы сразу находнм, что (А")*=А; далее, для произведения двух матриц АВ имеем (АВ)* = В*А"; это можно увидеть, если заменить в (4) А на АВ н написать (о, АВи) =(А*о, Ви) =(В*А'о, и). Если матрица А снмметрнчная, то соответствующий оператор называется салосопрлженнылт; это означает, что он совпадает со своим сопряженным оператором. Попутно мы напомннм основную теорему линейной алгебры. Если И С1, то система 1 линейных уравнений Ь" (и] =л для компонент вектора о прн заданных значениях компонент л является переопределенной.
Она раарешима тогда н только тогда, когда выполняется несколько, скажем г, линейных однорпдных условий совместности вида Ю = О. Сопряженная матрица 8 = й' дает преобразование и=ЯИ вектора И с г компонентами в вектор и с И компонентами; ') Векторь! можно рассматривать как векторы-строяк или векторыщозбцы; на зто указывают соответствующие матричные обозначения. Приложение 1 к гл !П оно выражает все решения недоопределенной системы уравнений С[и]=0 через г независимых произвольных величин Л, ... йо 2. Сопряженные дифференциальные операторы. Мы теперь будем рассматривать дифференциальные оперзторы с произвольного порядка. Снова число 1г компонент вектора и и число 1 компонент вектора и не обязательно должны быть одинаковыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
