Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Если аи =0 и о.= (, то мы получаем интегральн»ю теорем» Га»сс а (27) г Другими словами, если гармоническая функция рег»лнрни в ограниченной области О и непрерывно дифференинруема в О+Г, то интеграл по поверхности Г от ее нормальной производной равен нулю. Как следствие равенства (27), мы получаем следующую теорему о потенциалах двойного слоя с постоянной плотностью Если задан кусок поверхности Р, ограниченный кривой С, и точка Р, не принад,гежагцая Г, то в с;гучав постоянной плотности в= 1 потенциал двойного' слоя поверхности р в точке Р по абсолнэтноа величине равен телесному»глу, под которым кривая С видна из точка Р, В частности, потенциал двойного слон для поверхности, ограничиааюи(ей некопгоруно область 6, имеет для точек О постоянное значение — 4к, а для точек эне 6 равен н»лю. Чтобы доказать зту теорему, мы построим конус й, образованный прямыми, соединяющими точку Р с точками границы С куска поверхности 7 ч).
Для простоты мы предположим, что область, ограниченная поверхностью Р и частью поверхности конуса, лежащей между точкой Р и контуром С, односвяана. Мы отрежем вершину конуса с помощью достаточно малой сферы К, радиуса а и обозначим через 6, область, ') Знак этого телесного угла однозначно определяется, если па поверхности указаны положительная и отрицательная сторона. Кусок поверхности гн и конус Я, определенный точкой Р и кривой С, ограничивают замкнутую область; сначала мы предположиль что она односвязна. Зиан телесного угла отрицательный, если положительная нормаль к р выводит пз этой области, и положительный в противном случае. В общем случае мы предполжаем, что кусок р составлен нз конечного числа частей, для каждая из которых выполняется вышеуказанное предположение. Тогда мы видим, что пгнеициал двойного слоя равен сумме соответствующих телесных углов, причем на кдый из них берется со своим знаком.
б д Основные поннтнп 255 ограниченную поверхностями р, ы, К,; функция и = 1;с в этоя области регулярна. Из фзрмулы (27) мы заключаем, что и, так как д(1/г)/дч обращается в нуль на ь) и принимает на К постоянное значение — (1/ег), паше утверждение доказано (см. рис, 9) Для гг == 2 мы имеем аналогичную теорему. Потенциал двойного слоя дуги С с постоянной плотностью в =-1 в точке Р, не лежащей на С, равен углу, под которым эта дуга видна из точки Р, В частности, и = — 2п внутри любой за.икнутой гсривой С и и =-0 вне этой кривой. Если мы положим о== и в первой из формул (26), то мы получим тождество О [гг) = ~ ~ )Г (и'„+ и'„+ и,) дд = ~ и — д5, (28) г справедливое для любой гармонической функцвц регулярной в ограниченной области О, с пер- Р вымя производными, непрерывными в О+ Г. Эта рис.
9. формула остается верной, если область 6 содержит окрестность бесконечно удаленной точки, при условии, что гармоническая функция регулярна в этой окрестности, т. е. что функция 1 (х у г) — и ( —, г (сг ' г'' г') регулярна в начале координат. Интеграл О[и), который называется интегралом Дирихле, играет особенно важную роль в теории потенциала. Как мы уже видели в т. 1, гл. 1'ч', 2 3, и. 4, этот интеграл устанавливает связь между теорией потенциала н вариационным исчислением. В связи с этим он будет иметь важное значение при доказательстве теорем существования (см. т. Ш). Сейчас мы уже можем сделать следующий вывод пз тождества (28): Лусть и — регулярная гармоническая функция в области 6, непрерывная и непрерывно дифференцируемия в 6+Г.
Гогда а) если функция и обращается в нуль на Г, то она обращается в нуль тождественно в 6; б) если нормальная производная ди~дч обрил(ается в нуль ни границе, то функция и постоянни в О. Г.г. ?(г, Теория потенциаЛа и эллиптические уравнения — ~ иб5 =,- ') ') иг?5. г, г (29) устремив ?(р к нулю, получим формулу средних значений и(Р) = —, ~ / ид5. г (30) Другими словами, значение гармонической функции в точке Р равно среднему значению этой функции на .гюбой сфере с центром в Р, если зта функция регулярна внутри сферы и непрерывна в замкнутой области, ограниченной этой сферой '). Из этой теоремы о среднем значении можно вывести важные следствия.
Прежде всего мы сформулируем Пгинцип максимума. Пусть функция и регулярна и гирмонична в связной области О и непрерывна вплоть до границы области Г. Тогда она принимает свое максимальное и минимальное значение на границе; максимум и минимум достигаются внутри области тогда и только тогда, когда и постоянна. Чтобы доказать эту теорему, мы рассмотрим такое подмножество Р замкнутой области О+Г, на котором и принимает свое наибольшее в О+Г значение М. Так как функция и непрерывна в О+Г, Р есть замкнутое множество. Если бы множество Р содержало внутреннюю точку Рв области О, то существовало бы семейство сфер с центром в Ргп целиком лежащих в О, и среднее значение функции и на каждой из этих сфер равнялось бы и(Рв)=М.
Но так как и ( М, это возможно только в том случае, когда и = М на всякой сфере с центром в Р,, целиком содержащейся в О. Таким образом, множество Р содержит по крайней мере все точки, лажа- ') Очевидно, что для того, чтобы эта теорема была справедлива, функция не обязана быть непрерывно дифференцируеиой в замкнутой области, ограниченной сферой, хотя это требование необходимо для того, чтобы были применимы формулы (26) и (2?), которые используются при доказательстве.
В обоих случаях из формулы (28) следует, что с) (и( = О, и, следовательно, и = сопя(. В первом случае константа должна совпадать с граничным значением нуль. Пусть 6 — шар радиуса ?(г с центром в Р и с границей Г. Пусть О, — концентрический шар радиуса ?кгв < ?7 с границей Гв. Положим ю=),гг (где г — расстояние до центра шара) и применим вторую формулу (26) к области, лежащей между Г и Гс. Тогда, с учетом равенства (27), мы получим для гармонической функции и равенство 257 В !. Основные понятия щие внутри наибольщей сферы с центром в Р, содержащейся в 6+Г.
То же самое рассуждение можно провести для любой другой внутренней точки Р;, поэтому множество Е должно совпадать с 6+Г. Но это и значит, что и константа (а именно константа, равная М). Следовательно, для любой функции и, отличной от константы, множество Е может состоять только из граничных точек. Аналогичное рассуждение показывает, что минимум и принимается на границе, и только для постоянной и минимальное значение т прию мается внутри области 6. Следующее утверждение является непосредственным следствием принципа максимума: Если регулярная гармоническая функция, непрерывная в 6+Г, постоянна на границе, то она постоянна и во всей области, В частности, из этого следует Тип~имя единственности.
Две гармонические в 6 а непрерывные в 6+Г функции, совпадающие на границе, тождественно равны в 6. Это утверждение верно в силу того, что разность двух таких функций сама является регулярной гармонической функцией, непрерывной в 6+Г; она обращается в нуль на границе и, следовательно, тождественно равна нулю в 6.
Формулы Грина (26) существенно изменяются, если мы подставляем вместо и функцию, обладающую характеристической для уравнения Лапласа особенностью в точке Р, Пусть Р— некоторая точка области 6 с координатами (х, у, г). Положим где г'=(х — 1)'+(у — т))г+(г — г.)г, в ю — произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция в О, непрерывная и непрерывно дифференцируемая в О+Г. Мы применим формулу Грина (26) к подобласти Π— К„полученной из О исключением малой сферы К,. радиуса е с центром в Р. Применяя формуяу Грина к этой подобласти и производя простой предельный пераход при в ьО, мы получаем ~ ~ ~(ивюз+и„юч+исюс)йА+~ ~ ~'иб.дй = о о = ри+~ ~ - — д8, (31) г / / (идт — ойтт)дд =ри+ / ) '(и .д — — о д )й5; (31') 258 Лг.
Теорию п»сенца»ла и эл,и»пи ческве Вривнснию здесь дд — элемент обьема в пространстве:, т, ". и 4к для Р в 6, 1 и= — — ,'нч р= 2п для Р на Г, г О для Р вне 0; / / (игог+ ичо,)бу 4-~ ~ иЬтоФд =- ри+ ~ и — дз, о о г ~ (гг ггш — о би) бр = ргг + / (,и — — и — ) дз, (32) (32') где бь — элемент плоигати, о=)од1/г+ш и 2к для Р в 6, р =~ и дзя Р на 1', О для Р вне 6. В частности, если в формуле (31') мы положим ш =- О, то получим для функции и в области 6 следующее представление: и= — — ~ ~ ) — Игг+ — ~ ~ -- -„— й5 — — ~ ~ и — (-.) д5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
