Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 53
Текст из файла (страница 53)
3 К(х. 6)бб)бб о дает решение уравнения Пуассона Ьо = — д, непрерывное в О+ Г и равное нулю на границе Г. То. что о удовлетворяет дифференциальному уравнению, следует из интегрального представления и из того, что функция и кусочно- непрерывно дифференцируема (см. в 1, п. 2, стр. 247). Чтобы показать, что о обращается в нуль на границе Г, не достаточно воспользоваться тем, что там равна нулю функция Грина, так как К не стремится к нулю равномерно по О, когда точка Р приближается к границе Г. Чтобы обойти эту трудность, мы воспользуемся следующей леммой, доказательство которой будет дано в п. 2.
Если В еслгь подоб,гость области 0 с диаметром меньше где е(п) зависит только от й, а не от вида области В, и стремится к нулю вместе си. Пусть точка Р из 0 приближается к точке Р на границе Г. Пусть „— подобласть О, лежащая в шаре с диаметром и и с центром в точке Р, а 0' — оставшаяся часть О. Тогда о= ~ ~... ~кбдб+ ~ ~... ~ Кбдб. о Интеграл по области 0', очевидно, стремится к нулю при Р-ь Р. Член о„= ~ ) ...
) Кбс(( допускзет оценку в„ 1оь! ( Ма(й), где М вЂ” максимум )К!. Итак, если точка Р достаточно близка к Р, то ! о) ( Ме(п). Так как й произвольно, наше утверждение до казана. 265 й 2. Интеграл Пйссгслл и его лргтоженил Эта теорема показывает, что решение краевой задачи дается формулами (2) н (3), если известна функция К. Другими словами: решение краевой задачи с произвольными данными ка границе эквивалентно отысканию функции Грина, что соответствует решению краевой задачи со специальными данными на границе, зависящими от точки (2 как от параметра.
2. Функция Грина для круга и шара. Интеграл Пуассона для шара и полупространства. В т. 1, 2 !5, п. 2 мы построили функцию Грина для круга и шара, Использованные там соображения можно без труда применить также и к оператору Лапласа в случае и измерени11. Пусть Т = ф (г) — фундаментальное решение дифференциального уравнения Ли=О в п-мерном пространстве ф (г) = 1 Г2 — л (и — 2) глл (для и ) 2), (5) ф (г) = 2 — 1он— 1 1 (для и = 2). Тогда функция Грина для шара радиуса П сразу получается в виде К(х, !) =ф (г) — у( — г1), (е) где л л л 2 2 2 2 х = ~~~ („г = г,'(х,— (,) =-(х — г), г1.= ~ 1х„— — ';„~; .=1 1 (.
' ) Ь" ь Рл 1 Пл — — ~-С ), или — л. Ясно, что вта функция удовлетворяет всем требованиям, в частности, она обращается в нуль на сфере, так как г=(я/гс)гн если точка (х,, х,, ..., хл) лежит на сфере. Функцию Грина для круга (или шара) можно следующим образом использовать как мазкоранту функции Грина длн произвольной оаракичеинай Области О. Пусть (;2 — некОторая точка области 6, а П вЂ” столь большое число, что круг (или шар) радиуса П с центром в любой из точек 6 целиком содержит область О+Г.
Если через г обозначено расстояние от точки (х,, ха, ..., хл) до („г, то легко видеть, что выражение ф(') — ф(й)= — г !Оа г ! Р 2г. (и = 2), г, есть расстояние от точки х до отражения точки ( относительно сферы, т. е. до точки Гл. 1'е'. 7! орин но!ее!Гае.!а и ел.аж!нее!а!е краенен л 1 ф (г) — ф ()с).= -- (ге-" — )се-е) (и > 2) е представляет собой функцию Грина соответствеиио для круга или шара радиуса )с с центром в точке Я; оиа имеет особенность в точке (~ (т.
е, точка-параметр Я находится в центре круга или шара), Если К(Р, 0) — !)еункция Грина для области 0 с особенностью в точке Я, то разность К вЂ” (ф(г) — ф(ес)) регулярна в 0 и ие положительна иа Г; поэтому вс!оту в 0 6 . К - ф(г) — ф1(Й). и =. — ) ~ — — ре(5 г взятый по пзвсрхиости сферы, и получим решение краевой задачи би= — О, а:=/ па !' деш шара. Пр» по!шш;! простых вычислений мы !шкодим е! р- .= хе, ! -. ! д! 7(! г ---- -=-,' ' (е ) е). ге1 (7) что после подстановки в интегральную формулу дает Й! — ре " Г че (г) и =.
— — — ) ) — — г'с(5. 7Р г (8) Если мы предположим, что 7 — заданная функция координат ";,, ..., ";„иа единичной сфере и подставим вместо ф(г) функцию (5), то получим интегралену!о 4(1орлеу!л)! Пуассона и(х)= — - ~ — —, . (9) ере 2 (ер ра) С у ер!е -) (р'+ )Ре — 2Рр сое а)е'а Е этом выра!копии интеграл герется по поверхности п-мерной единичной сферь! ра= х',+ х,+ ... + х'„= — х', а 6 — угол между вектором р и радиусом, паправлепиым в переменную точку интегрирования Е Эта формула была уже выведена для н = — 2 и п = 3 иа стр.
34 и и т. 1, гл. !Р!1, 3' 5, п, 4, стр, 433. Отсюда легко получить оценку функции Грива для подобластей В области 0 с диаметром, меп! шим чем ее, испол зоваипую и п. 1. С помощью формулы (6) мы теперь найдем величину дК дч, входящую в интеграл З 2.
Интггоа ! Пдпггона н гго лрн,!оженил 267 Из сделанных выше замечаний следует, что формула (9) дает решение краевой задачи для шара в случае, когда граничные значения у(Г) являются значениям!! на Г некоторой непрерывной функции Г" (х), имеющей в 0 непрерывные первые н вторые н кусочионепрерывные третьи производные. Например, все этн предположения выполняются, если г'=-= 1.
В этом случае пз интегральной формулы Пуассона и из теоремы единственности 9 1 следует, что интеграл от положительного всюду внутри шара радиуса гс ядра Д! — ь! Н(Р, (ч) = Имиг" г! = — (,х — ".)г, ьа =- хт (10) по сфере радиуса й с элементом поверхности ба=)с" д!ь равен 1: 1(роме того, для фиксированной точки г,"г=;- зто ядро как функция !очки Р = х удовлетворяет уравнению Лапласа внутри шара, что легко видеть, если мы запишем ялро в виде и гс!ь„Н = —- 1, 2 у. д 1 =1 где га = Х (х —: )2 —. гх;)2 =! На самой сфере функция Н обращается в нуль всюду, кроме точки Р = (,!, где она стремится к бесконечности, когда Р стремится к (,! изнутри.
Теперь мы легко можем освободиться от сильных требований. наложенных на граничные значения у'. Мь! покажем, что интегральная форму.га Пуассона дает реи!ение краевой задачи для саара, даже если лги требует от граничных значений только ненре- 7!нанести на поверхности сферы. денс!ви!ел!,но, при этом предположении мы можем дифференцировать формулу (9) сколько угодно раз под знаком интеграла в любой внутренней точке Р шара. Следовательно, функция и в этом случае также удовлетворяет уравнещно Лапласа, и нам надо только покааать, что при приближении к границе и стремится к заданным граничным значениям. 2б8 Гл.
Лт. Теория потенциала и эллиптические ураенения Г!усть Р, — произвольная точка границы, а Р— близко к ней лежащая внутренняя точка (см. рис. 11). Мы предположим, что Ро†точка поверхности сферы, лежащая на том же радиусе, что и Р. Так как справедливо неравенство / и (Р) — т' (Р,) ( ~< ( и (Р) — у' (Ра) ~+ ~ У (Ро) — У (Рт) ' и так как граничная фу.нкцня непрерывна, достаточно показать, что функция и стремится к заданным граничным значениям. если Р приближается к границе по радиусу, т. е. показать, что величина где с15 — элемент поверхности, становится сколь угодно малой, когда точка Р приближается к Р, по радиусу, проходящему через Ро.
Для доказательства мы разделим поверхность сферы на две части йт и !2 с помощью сферы произвольно малого Рис. 11. радиуса о с центром в точке Р . Мы пред- положим, что точка Р уже находится внутри этой малой сферы и, следовательно, расстояние й между Р и Р, меньше, чем о. Далее, если ( Г~.(М на сфере и ) у(Я)— — Т(Р ) ) (а(Ь) на !эт, причем функция а(а) стремится к нулю вместе с о, то формула (12) дает оценку 1и(Р) т'(Ро)1~~2М ~ ) Нт(ЬО+а(Ь) ~ ~ Нс(5О( (2М ~ ~ НсЮо+а(о)! последнее неравенство следует здесь из равенства (!1). Но в йа ядро Н не превышает величины 1 ЯЯ вЂ” пт И нп(З(2)п ' нп(З(2)п Таким образом получается, что ! и(Р) — 1(Ро) ) < — (з)2)„И+ а (й).
269 Э 2. Интеграл Лраееана и ега лри.!оженил Если мы возьмем а настолько малым, что а(5) < е(2, и выберем а таким, что 4МРл 1 ((зг2)л л то получим ( и(Р) — у(Ра) ) ( е. Это завершает доказательство. Соответствующее интегральное представление и аналогичные реаультаты можно получить, если 0 представляет собой не шар, а полупространство. Если граница Г есть плоскость х, у, а 0 — пояупрострапство з > О, то интеграл Пуассона длн но.гупрост- ранстаа и(х,у,з)= — 1 (- 2в ! У ((х — 1)т+(у — ч)а+яг)"л (9') и(хы ха ..., хл)=и(х)= ОЭ =-'"' Г 1 ~(х! — 1!)'+ ...
+ (хл, — ..-л,)в+ х'„|л" 3. Следствия формулы Пуассона. Теорема о среднем значении, а также принцип максимума являются непосредственными следствиями представления Пуассона, Кроме того, из принципа максимума, примененного к разности двух решений (см, 9 1, п. 3), следует единственность решения краевой задачи. Таким образом, две гармонические функции, принимающие одинаковые значения иа границе, тождественно совпадают во всей области. формула Пуассона позволяет доказать следующее важное неравенство: для р(Р ядро Н (см. (10)) всегда положительно н огра ничено снизу и сверху величинами л-а о ! ! ,л-а р + Ф л (Я+а) И+в Яа„~~ в~ й л ' дает решение краевой задачи для области 0 с произвольными граничными значениями у (х, у); при этом предполагается, что соответствующая задача для ограниченной области 0', полученной из 0 с помощью инверсии относительно некоторого круга, лежащего вне 0 (см.
9 1, стр. 245), оказывается краевой задачей с непрерывными граничными значениями, заданными на границе 1" ограниченной области 0'. При соответствующих предположениях для и-мерной области 0: хл > О с границей Г:хл.= О мы получаем интегральную формулу 270 Гл. I)г. Теория ппгечциа ге и эл щлгичесяпе Прпяпения Пусть и — неотрицательная регулярная гармоническая функция в области О (см.
рис. 12); пусть й — сфера с центром Р радиусз К, целиком лежащая в О, а сг — ее произвольная внутренняя точка. Тогда из интеграла Пуассона и из теоремы о среднем значении следует неравенство Ха рника ') ~ — — — -), и(Р) с п((г) с, ~---.- .] е п (Р), Если и регулярна в любой ограниченной области пространства, а Р и г,) — лгобые лве точки, то мы всегда можем выбрать достаточно большую сферу с центром в Р, содержащую О. Рассматривая неравенство Харнака и устремляя радиус сферы Й к бесконечности, мы сразу получаем игР)=иЯ). Следовательно, га)!монс!чеонг! гг функция, регу.гярная и полозсптельная в лэ бой ограниченной обласгни простоанство..
)2 Р о посгггоянна. )сругим важным следствием формулы Пуассона является аналппгичность гарлгонических функций. Лгебуго функцио и, гар.ионическую и регу.гярнуго в обнос!пи О, я!олино разлоРис. 12, жить в спгепенной ряд в окрестности гсаэкдой внутренней точки Р об.гости О;,это значит, что функция и аналитическая. Для доказательства мы представим функцгпо и с помощ!,ю шпе- гральноИ формулы Пуассона для сферы настолько ма,гого радиуса гс, чтобы зта сфера целиком лежала в О. Взяв точку Р в качестве начала координат, мы разложим ядро Г1уассона в степенной ряд по хн хг, ..., х„; ";,, ег, ...,:,, и почлеиным интегрированием затем получим степенная ряд для и(х,, хп)=и(х).
Мы определим функцию со(х, с) формулой — 2гп соз О яэ где я 'г я рг= ~~ хе=ха, хг= ~ Гг =,"г и яр сов я == эг х,с.= х,-; г г г=! г=! г=! мы не требуелг, чтобы точка с лежала на сфере я= — Р. Кроме того, мы определим К(тп) как К (гп) = 1 (1+ гп)"П ') Неравенство Хзрнака было обобщена на общие линейные эллиптические уравнения второго порядка; си.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
