Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 56
Текст из файла (страница 56)
282 Гл. ГР Теория потенциала и эллиптические уравнения 3 2»ч-г 3 1— 2» 'г ()г=!, 2, ...) на прямой у = 1 и точки с абсциссами 1 1 7 2»-ь ' 3 7 2» 3 1 —— 7 2 (Уг =О, 1, 2...,) 1 1 1 —— 2» -1 на прямой у = О; этн точки симметричны относительно я = ~гг. Общая теорема о средних значениях дтя неоднородного уравнения Пуассона также имеет обратную.
Пусть и — непрерывная, а р — кусочно-непрерывно дифференцируелая фуннция в области О. Пусть для любого шара К, лежащего в б, эти функции удовлетворяют уравнению (4) "о= 4кН~ 1Г"" +.~ ~ 3 (. гг~й 3' с соответствующим Ь(х) ) О н которая тем нс менее не является линейной. Эта функция непрерывна и кусочно-лннейна в интервале О < х < 1 и колеблется между прямыми у = О и у = 1. Ясно, что она не является непрерывной на концах отрезка у = О и у = !. Пусть у~поные точки, лежащие на верхней прямой, илчеют абсциссы а,, а точки, лежащие на нижней прямой — абсциссы Ь„.
Б окрестности каждой точки интервала, не совпадающей ни с одной из точек а,, Ь,, функция и(х) линейна и, следовательно, для некоторого определенного Ь(к) обладает свойством средних значений (14) (в действьжельности она обладает этим свойством для бесконечно многих Ь). Если мы теперь выберем последовательность а, так, чтобы для каждого а, существовали две точки а, < а„ и а, '> а,, такие, что а, = '/г (а„ + аа), то и(х) удовлетворяет соотношению (14) также и в верхних угловых точках и Л(а„) = а — а, = а„ вЂ” а,. Если, кроме того, мы выберем Ь, таким же образом, но так, чтобы Ь, не совпадали с а при люоых ч и р и чтобы в каждом интервале между двумя соседнимн точками и, находилась ровно одна точка Ьи, то мы получим функцию и(х), которая непрерывна при О < х < 1, удовлетворяет соотношению (14) н тем не менее не линейна, как показано на рис.
13. Построить две последовательности а„ и Ь„ указанного типа можно многими способами. Например, как на рис. 13, мы можем выбрать точки с абсциссами 283 д 3. Теорема о среднем значении (1б) Си„= ) ~ ) и)'(й) с(у+ ) ~ ~ р.р()ч) до, (19) к к а С = 4г. ~ Кгр (гс)йгт о а гт! 1! Р(г! — 4- — — — гсгУ гг) аИ— р) ч а С 4я )' )(гу(Т4) л)о 4 ~' г> г()-,) бо где или эквивалентному проинтегрированному уравнению (5).
Тогда функция и в области О удовлетворяет уравнению Пуассона Ли = — 4яр. Заметим сначала, что даже в случае, когда функция р только непрерывна в О, тройной интеграл в формуле (4), деленный на Йг, при )(чяО стремится к значению я (15) о следовательно, предел б г ! г оиа= — „'~ (!' ~о,—.,) ! ' яя также существует всюду в О и мы имеем ~ (ио) = — 4кро.
(1Т) Если функция и имеет непрерывные вторые производные, то, как мы отмечали на стр, 278. от (и) = Ьи. (18) Таким образом, наша теорема будет доказана, если мы сумеем показать, что функция и имеет непрерывные вторые производные. Мы докажем даже более общее утверждение. Ес.ги функция и непрерывна в О, а гс — кусочно-непрерывно дифференцируема в О, и если д,гя любого шара К, лежащего в О, функция и удовлетворяет соотношению средних значений (4) или (5), то функция и имеет непрерывные вторые производные в О. Если функция и удовлетворяет соотношению (4), то мы действуем так же, как в частном случае р=О.
Мы снова выбираем функцию г" (Р), тождественно равную нулю для Й ) а и имеющую производные достаточно высоких порядков, умножаем уравнение (4), справедливое для фиксированной точки Р в подобласти О,, на 4к)сгУ(й) и интегрируем в пределах от О до а. Это приводит к равенству 284 Тл. I'е'. Теория потенциала и эллиптические уравнения Если мы теперь положим 7.(х, у, г)=)(р), где р= )е хо+уз+го, и а 77(х, у, г) = — ~ йг/(й)с(й+4к ~ й~(й)с)й, Р о е то при соответствующем выборе )'(й) функции Е и Н будут всюду иметь непрерывные производные до порядка И.
Если центр шара К находится в точке (х, у, г), то мы получаем представление Си(х, у, г) = ~ ~ ) А(х — .', у — и), г — () и(с, т), С)вес аеп) Л— — ~ )т' (х — К, у — т), г — () р. (1, т), Т) дс дп д(, — + о +С~~~ " д(д~д~, (20) так как функция г'(г) и, следовательно, Р(г) тождественно обращаются в нуль для г > а. Первые два интеграла в правой части имеют производные до порядка Лг. Третий интеграл есть потенциал пространственного распределения с плотностью р и, согласно результатам 8 1, п, 2, дважды непрерывно дифференцируем в О. Следовательно, сама функция и дважды непрерывно днфференцируема в О, и поэтому удовлетворяет в О дифференциальному уравнению Ьи = — 4вр. Так как а можно выбрать сколь угодно малым, результат остается справедливым всюду внутри О.
Соответствующие теоремы справедливы в и-мерном пространстве и непосредственно вытекают из следующей теоремы, доказательство которой аналогично только что проведенному доказательству. Если функция и непрерывна в О, а р кусочно-непрерывно дифференцируема в О, и если для любого шара К, лежащего в О, функция и удовлетворяет соотношению (6') ила (7') (соолгветственно (б) или (7) для я=2), то функция и дважды непрерывно дифференцируема в О. 3. Уравнение Пуассона для потенциалов пространственных распределений. В $ 1, п.
2 мы доказали, что для числа измерении и = 3 потенциал и распределения масс в области О с плотностью р удовлетворяет уравнению Пуассона С1и = — 4кр. Теперь будет дано другое доказательство, в котором применяется обратная теорема о среднем значении, сформулированная и доказанная на стр. 282, 283 предыдущего пункта. 285 Э д Теорема о среднем значении Сначала мы предположим, что функция р(х, у, г) кусочно-непрерывна в 6, и рассмотрим потенциал л(х, у, х)= ~ ~ ~ 'ж дк о (21) получим ~ ~ / п(х у х)дх«удх= / / ~ рб.
т~ Т)Р6»1 ~; Ро)Ф к о гле Р(1, т), ч; Р,)= ~ Г еГхду да — потенциал шара К с равное К мерным распределением единичной массы, взятый в точке (1, т), ч). Поэтому 4а ззз 3 г (г> й), Р(с 1 " Ро)= з (22) 2 (У ") (г(Р); г обозначает здесь расстояние от точки ($, ч), ч) до Р. Подстановка в интеграл функции Р из формулы (22) дает ХУХ "( '")" =Ф'ХГИ" +'УИ'-$ " К а" К (23) где 0' — подобласть б, пе лежащая в шаре К.
Так как ЛИ' =" -ШФ" оч К то мы получаем уравнение '3 )~аа — = Г11'~" — 2" Г3.1 (Р' — '3 — 3 — г') р'~ "о=- 4.йз 3 Г 3 "'~+ 2лз 1 3 ~ г К К т. е, мы получили как раз уравнение средних значений (5). с плотностью (н, где с(3'=е((ч4ч)ач. Временно мы предположим, что плотность р продолжена на внешность области 6 н там (и = (). Кроме того, пусть Р, — произвольная точка пространства, а К— произвольный шар радиуса )с с центром в Ро. Так как функция и(х, у, х) всюду непрерывна, мы можем проинтегрировать по этому шару обе части равенства (21); в правой' части при этом можно переменить порядок интегрирования.
Мы 286 1 л. П'. Творил ногенцноло и эллиптические уравнения Потенциал кусочно-непрерывного распределвния,касс для любого шара удовлетворяет соотношению средних значений(5), а следовптвльно, и эквивалентному соотношению (4). Принимая во внимание результат, полученный иа стр.
282, 283, мы можем сделать следующий вывод: Если функция р непрерывна в б, то для потенциала (21) всюду в 0 сугцвствувпг предел ь <о = ~ — ( — „-,— ( ( . а ь, — .,( 6 ( 1 п-+о и' ~ ~ен вя (т (и) = — 4и(ь. (24) Если функция (ь кусочно-непрерывно диффервнцирувма в О, то чз(и)=пи и, следовательно, йи= — 4ир, — —.; ~ ( ибьья — — ио+.— ) ) ~ ~ — — — )йийй; (25) зто тождество справедливо для непрерывных функций и, обладающих непрерывными первыми и кусочно-непрерывнымн вторыми производными.
Вместо этого тождества мы легко можем получить другое, более общее, приводящее к разложению среднего значения МЯ) = —, ( / иаь)п в ряд Тейлора, причем л4 Я) рассматривается как функция Р, а центр Ро считается фиксированным. Мы начнем с того, что рассмотрим формулу Грина Сио=ГХ3 (ггйю-о.и)с к (26) где К вЂ” произвольный шар радиуса й с центром в Р, имеет вид ( )= —, +м( )' С а функция о (26') функция и (г) дважды непрерывно днфференцируема а на поверхности Ьгя шара имеем дс при г (Д, (26н) 4.
Теоремы о среднем значении для других вллиптическнх уравнений. Теоремы о среднем значении для уравнений Лапласа и Пуассона могут сразу быть получены нз тождества 4 3. Теореега о среднем значении 287 С Ь" ию = )г )г )г ( Д" и До — о Ь' ' ' и) с(К. К (27) Пол Д" и мы подразумеваем ч-ю степень оператора Лапласа; например, д'и =-дл, д'и = д дгг н т. д. Кроме того, пусть он о.„... — последовательность функций типа (26'), удовлетворяющих дифференциальным уравнениям До,=.=о" !+=о'с!=о (ч=1, 2, ... ) (28) н граничным условиям (26н), с начальной функцией 1 !'1 1' ! /с — г 4я (,г 7(~ 4е Т! (29) Легко проверить, что решениями втой рекуррентной системы являются функции о,= — — — — (ч=О, 1, ...); 1 (17 — г)ы ' ! 4н (2ч+ 1) ! 77г (30) 77г; все они имеют вид !26') с С„= (2ч+ 1)! ' Заменяя в формуле (27) о на ее получаем С„д'ию — — ~ (Т )г г(о„гД'и — о Дч' и) с(д; К (31! если мы просуммируем эти уравнения для ч = 1, 2, ..., лг, то будем нлгеть С д'и„= ~ ~ ) г!оюдл — о„,д" 'и)г!е'.
Учитывая (26) и (30), мы легко получаем, что . ( ~„,() с' ял ,.ю г р рж-)"" , сне! 4в (2нг -Г- 1)! „1,),) 17Г д и Ф Кл В качестве и мы можем взять любую функцию с непрерывными вторыми производными. Если мы предположим, что в К+ йл функция и имеет непрерывные производные до порядка 2т+2, то для всех ч (т будет справедливо тождество 288 Гл. Я. Теория потенциала и эллиптические уравнения 1 рг чИ(гчч) = —, ~ ~ и~Ил — — ~а, Ь'ип.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
