Р. Курант - Уравнения с частными производными (1120419), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Только в частном случае двух измерений из этого требования следует, что граничные значения принимаются в каждой точке границы. Но граничные значения принимаются в точном смысле и производные непрерывны вплоть до границы, если граница и граничные значения достаточно гладки (см. замечание о более общих эллиптических уравнениях на стр. 345). 4а. Емкость ') и выполнение граничных условий.
Винер в работе (2) заметил, что вопрос о том, принимаются ли граничные зна- ') Современное изложение этого вопроса можно найти в книге Брело (19 1См. также Келдыш М. Вп Успели матам. наук, вып. Ч1П (1941), 171 — 232. — Прим. рвд,) б 4 Краевая ввдвчв зоб чения, связан с понятием емкости, имеюгцнм также самостоятельное значение.
Чтобы определить емкость замкнутой поверхности Г в и-мерном пространстве (мы можем прн этом подразумевать случай и =- 3), мы будем рассматривать Г как внутреннюю границу оболочки Я с внешней границей Г" и предположим, что для о' решена краевая задача с граничными значениями и = 1 на Г и и = 0 на 1', Независимо от того, существуют .чи производные функции и на границе, интеграл по любой гладкой поверхности Г', лежащей внутри 8 и гомологичной 1' и Г*, вида ди — с(з = х дл г существует; он не зависит от выбора Г', в чем легко убедиться, применив формулу Грина к внутренней оболочке, ограниченной двумя поверхностями Г'.
Величина х определяет „емкость" 5 относительно Г, Г', если Г' есть бесконечно удаленная точка, то х называется просто емкостью Г. Это понятие сохраняет смысл даже для обобщенных решений в указанном выше смысле; Г может быть, в частности, конечным куском поверхности, который превращается н замкнутое многообразие, если отдельно считать каждую его сторону.
Физически х означает полный электрический заряд, который надо распределить на проводнике Г, чтобы на Г образовался постоянный потенциал 1, а потенциал на Г' оставался бы равным нулю. Теорема Винера характеризует те точки Р границы области 6, в которых решение не всегда принимает граничные значения, если краевая задача решается в обобщенном смысле').
Такие ,исключительные точки" в примере п. 4 соответствуют концам острия или, проще, точкам отрезка, который направлен внутрь области и искусственно считается частью границы. На малой сфере радиуса ). вокруг точки Р мы рассмотрим часть Н,, лежащую в 0 и ограничивзющую вместе с 1' малую подобласть 6, содержащую Р в качестве граничной точки. Емкость множества Нч в описанном выше смысле обозначим через ха. Теорема Винера утверждает, что граничная точка Р является исключительной тогда и только тогда, когда е.мкость хг ') Такую обобщенную постановку задачи можно дать, если рассматривать 0 как монотонный предел областей 6„с гладкой границей, состоящей нз регулярных точек, таких, что область 6„, содержит область 6„и что любая замкнутая подобласть области 0 содержится во всех областях 0„, кроме, может быть, конечного их числа.
Тогда можно показать, что решения и" соответствующих областям 0„краевых задач сходятся к гармонической функции и в 0 н что и не зависит от способа приближения 6 областями 0„. Таким образом определенную функцшо и естественно считать решением краевой задачи для 0 (см. Винер [Ц ).
(См. также статью М. В. Келдыша, указанную в примечании на стр. 304. — При.м, ред.) зоб Г,!. 7[7. Теория лотенчиили и эллиптические уриинэии!л достаточно быстро стремится н нулю вместе с !., а именно когда сходится ряд Ях д ) =() . =1 Напомним, что в й 4, п. 1 были приведены достаточные условия регулярности граничной точки. 5. Метод субгармоническнх функций Перрона, В этом пункте мы рассмотрим изящный метод, принадлежащий Перрону [1[. Метод не содержит конструктивных элементов и является чистым доказательством существования решения. Он связан с существенными общими понятиями и в той форме, в которой он рассматривается здесь, имеет то преимущество, что его можно обобщать на другие эллиптические уравнения второго порядка (см.
замечания в Э 7). Чтобы найти функцию, гармоническую в заданной ограниченной области 6, непрерывную в ее замыкании 6+ У и принимающую заданные непрерывные граничные аначения !у на границе Г, Перрон применяет понятие субгармоннческих и супергармонических функций, которые являются для пространств высших размерностей обобщением вогнутых и выпуклых функций одного переменного, так же как гармонические функции являются обобщением линейных функций одного переменного (т.
е. решений одномерного уравнения Лапласа). Сейчас мы определим эти функции, а также некоторые другие основные понятия. Пусть ю — непрерывная функция в области В, а С вЂ” шар в В. (С на протяжении всего этого пункта будет обозначать шар в В.) Через Мс[ю[ мы будем обозначать однозначно определенную непрерывную функцию, гармоническую внутри С и равную о в остальной части области В. Ыы говорим, что функция ю субгармоничесная (супергармоничесная) в В, если для любого шара С в В функция ю удовлетворяет неравенству 6. Мс [6[ (6 Мс [й[). Например, любая функция ш, удовлетворяющая соотношению Ьш ) 0 — субгармоническая, что следует из принципа максимума в $ б, п. 4, Субгармонические (супергармонические) функции обладают следующими очевидными свойствами.
Во-первых, из того, что ю)~0, следует Мс [ю[)~ О (так как минимум функции Мс [ю[ в С достигается на границе С); следовательно, если ю)~ ш, то Мс [и[ — Мс [ш[= = Мс [ю — ш[) О. Во-вторых, если функция ю субгармоническая (супергармоническая), то — ю супергармоннческая (субгармоническая); и, наконец, любая линейная комбинация субгармонических (супергармоннческнх) функций с неотрицательными коэффициентами также является субгармонической (супергармонической) функцией. д 4. Краевая задача Нам понадобятся также некоторые дополнительные свойства, ко- торые будут сформулированы только для субгармонических функций; аналогичными свойствами обладают и супергармонические функции, поскольку изменение знака превращает супергармоническую функцию я субгармоническую. 1.
Принцип максимума для субгармонических функций: Если гг — субгарлгоническая функция в замкнутой области О и имеет точку максимулга внутри О, гпо о=сопз1; отсюда следует, что если функция о субгармонична в некоторой замкнутой области н непрерывна з ее замыкании, то о принимает свое максимальное зна- чение на границе области. Чтобы доказать зто, мы рассмотрим функцию ш = Мс[о[. где С вЂ” шар в области О с центром в точке максимума Р. Обозначим через [с максимум функции о на границе С; мы имеем )г -.
о(Р)а.то(Р). Таким образом, оказывается, что гармоническая з С функция ш имеет внутреннюю точку максимума; из этого следует (как мы пока- зали в Э 1, п. 3, стр. 25), что пг = сопя( в С, так что о = ш = о(Р) на границе С. Так как это рассуждение можно провести для любого шара меныпего радиуса с центром в Р, то мы имеем о= о(Р) всюду в С. Это показывает, что множество точек максимума в об- .гасти О открыто. Но в силу непрерывности о это множество также и замкнуто в О и.
так как область О связна, оно совпадает со всей О. Из эгих рассуждений следует свойство 1'. Если функция о непрерывна и субгармонична в окрест- ности лобок точки области, то она субгармонична зо всей области, т. е. субгармоничность является локальным свойством, Чтобы убедиться в этом, мы сначала заметим, что, выбирая доста- точно малые шары С, мы можем распространить доказательство принципа максимума, данное выше, на функции, которые субгармо- ничны только локально.
Пусть теперь С вЂ” любой шар в области; положим и=М [о[. То~да функция о — ш локально субгармонична в С и, согласно нашему замечанию, удовлетворяет принципу макси- мума. Так как о — си=О на границе С, то о (ти в С, ив чего следует субгармоничность функции тг. 2. Если он о„..., о„— субгармонические функции в об- ласти О, то функция о= шах(он о,... о„) также субгар- лгонична. Заметим, что для любого шара С из О, согласно предыду- щему замечанию, ог ™с [ог[~~™с [о[ (= 1 так что о~( Мс[о[.
3. Если функция о субгармонична з О, то функция нг=Мс[о[ также субгармоначна з О. Пусть С' — произвольный шар в О. Нам надо показать, что ш = Ма[о[ ( Мс [ш[. 308 Гл !]г, Теория потенциала и эллиптические уравнения Несомненно, это справелливо, если шар С' лежит либо целиком в С, либо целиком вне С. Таким образом, достаточно рассмотреть случай, котла С' находится частично внутри, а частично вне С. Если Р— точка области С' -- С (заштрихованная область на рис. 20), то в точке Р ио ™с ]о] = о < М с' 101 -~ М с' ]ю! так как он пг. Предположим теперь, что Р принадлежит пересечению С н С', В этой области функции ю и Мс [пг] гармоничны, а на границе то — Мс [ш] ~ 0 в силу С только что полученных результатов для заштрихованной области.
Согласно принципу максимума, это неравенство справедливо для гармонических функций во всей области. Р Краевая задача будет решена с помощью специальных субгармонических и супергармонических функций. Рнс. 20. Фуггкция ш непрерывная в 6+Г, называется нижней (верхней) функцией, если она субгармонична (супергармонична) в 6 и если на грангще Г области 6 имеем о: гу (п)~р), где р — заданные граничные значения. Ясно, что постоянные ш!п э и шах с являются соответственно нижней и верхней функциями. Свойства субгармонических функций можно распространить на нижние функции. Мы сформулируем следующую лемму. Леммя.
Пусть Р— гсласс всех нижних функций. Тогда а) есе функции класса Р раенолгерно ограничены сверху (величиной шах р); б) если п„о„.,., о„принадлежат Р, то функция шах(о,, о,„..., пн) также принадлежит Р; в) если о ггринадлежит Р и С вЂ” люоои тар е 6, то функция Мс [о] также принадлежит Р. Заметим далее, что, в силу принципа максимума, ни олна нижняя функция ни в одной точке 6 не может быть больше никакой верхней функции. гЫетод решения краевой аадачи опирается на сяедующие соображения. Предположим, что то есть решение.
Тогда, если о — произвольная нижняя функция, то о: ю всюду в 6+Г. Это следует из того, что функция о — ю субгармонична в 6 и неположительна на Г, так как для субгармонических функций справедлив принцип максимума. Кроме того, сама функция ю является нижней функцией. Поэтому, если мы введем функцию и, в каждой точке 6 + Г равную верхней грани значений всех нижних функций в этой точке, то д 4. Краевая задача ш= и.
Метод Перрона состоит в доказательстве того, что таким образом определенная функция и (которая всегда существует) гармош1чна в 6, непрерывна и совпадает с р в „регулярных" точках границы (онн будут определены ниже). Теогзмл. Функция и, определенная в 6+Г формулой и (Р) = з ар о (Р), ьее гармонична в 6. Д о к а з а т е л ь с т в о '). Пусть К вЂ” шар в области 6, а К, — концентрический шар половинного радиуса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
